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人教A版高中数学选修2-1课件:第一章 常用逻辑用语 本章小结


第一章 常用逻辑用语 本章小结 知识网络建构 热点专题剖析 一、命题及其关系 本章常用逻辑用语所涉及的内容主要有以下两方 面: (1)命题的四种形式及原命题与其逆否命题的等价 性,以及含有一个量词的全称命题、特称命题的否 定. (2)充分条件、必要条件的判定,充要条件的证明 及应用. [例1] 写出命题“平行四边形的对角线互相平分” 的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假. [分析] 结合四种命题的概念写出逆命题、否命题、 逆否命题,再结合它们的关系及命题的具体含义进行 真假的判断. [解] 原命题:平行四边形的对角线互相平分,是 真命题; 逆命题:对角线互相平分的四边形是平行四边形, 是真命题; 否命题:若一个四边形不是平行四边形,则这个 四边形的对角线不互相平分,是真命题; 逆否命题:对角线不互相平分的四边形,不是平 行四边形,是真命题. [例 2] 写出下列命题的否定: (1)各数位数字之和能被 3 整除的整数都能被 3 整 除; (2)有的素数是偶数; (3)所有的人都喝水; (4)存在有理数 x0,使 x2 0- 2= 0. [分析 ] 全称命题的否定是特称命题,特称命题的 否定是全称命题,要特别注意量词的变化. [解] (1)存在各数位数字之和能被 3整除的整数不 能被3整除; (2)所有的素数都不是偶数; (3)有的人不喝水; (4)?x∈Q,x2-2≠0. [例3] 已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0, a∈R,求方程有两正根的充要条件. [分析] 先求出方程有两个实根的充要条件,再讨 论 x 2 的系数及运用根与系数的关系求出要求的充要条 件. [解 ] 方程 (1- a)x2+ (a+ 2)x- 4= 0 有两个实 ?1- a≠ 0 ? 根的充要条件是? 2 ? ? a + 2 ? + 16? 1- a?≥ 0 ? ?a≠ 1, ? ?? ? ?a≤ 2,或 a≥ 10, 即 a≥ 10,或 a≤ 2,且 a≠ 1. 设此时方程的两实根为 x1, x2,有两个正根的充要条 件是: ?a≠1, ?a≤2,或a≥ 10 ? ?x1+ x2>0 ?x 1 · x2>0 ? ?a ≠ 1 ?a≤2,或a≥ 10, ?a+ 2 ?? >0 a - 1 ? ? 4 >0 ? a - 1 ? ? 1<a≤ 2,或 a≥ 10. 即方程有两个正根的充要条件是 1<a≤ 2,或 a≥ 10. 二、复合命题真假判断 1.判断复合命题真假的方法 (1) p∧ q形式的复合命题,当 p、 q都为真时, p∧ q 为真,当p、q中至少有一个为假时,p∧q为假. (2) p∨ q形式的复合命题,当 p 、 q至少有一个为真 时,p∨q为真,当p、q都为假时,p∨q为假. p为假时,綈p为真. (3)綈p形式的复合命题,当p为真时,綈p为假;当 2.判断复合命题真假的步骤: (1)确定这个复合命题的构成形式; (2)判断其中简单命题的真假; (3)根据其真值表判断复合命题的真假. 1 1 a [例 4] 设命题 p:若 a>b,则 < ;命题 q: <0 a b b ?ab<0.给出下列四个复合命题:①p 或 q;② p 且 q; ③綈 p;④綈 q.其中真命题的个数为( ) A.0 C.2 B.1 D.3 [解] 本题考查简单命题与复合命题的真假关 系.由已知条件容易判断命题 p为假,命题q为真.再 由简单命题和

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