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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章平面向量章末检测


章末检测
一、选择题 1. 与向量 a=(1, 3)的夹角为 30° 的单位向量是 1 3 A.( , )或(1, 3) 2 2 C.(0,1) B.( 3 1 , ) 2 2 3 1 , ) 2 2 ( 2 2 ) ( )

D.(0,1)或(

1 1 2. 设向量 a=(1,0),b=( , ),则下列结论中正确的是 2 2 A.|a|=|b| C.a-b 与 b 垂直 B.a· b= D.a∥b

3. 已知三个力 f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物 体保持平衡,现加上一个力 f4,则 f4 等于 A.(-1,-2) C.(-1,2) B.(1,-2) D.(1,2) ) ( )

→ → → 4. 已知正方形 ABCD 的边长为 1,AB=a,BC=b,AC=c,则 a+b+c 的模等于( A.0 B.2+ 2 C. 2 D.2 2 (

5. 已知|a|=5,|b|=3,且 a· b=-12,则向量 a 在向量 b 上的投影等于 A.-4 B.4 12 C.- 5 12 D. 5

)

6. 若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于 1 3 A.- a+ b 2 2 3 1 C. a- b 2 2 1 3 B. a- b 2 2 3 1 D.- a+ b 2 2

(

)

7. 若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)· c=30,则 x 等于 A.6 B.5 C.4 D.3

(

)

→ → 8. 向量BA=(4,-3),向量BC=(2,-4),则△ABC 的形状为 A.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形

(

)

→ → 9. 设点 A(1,2)、B(3,5),将向量AB按向量 a=(-1,-1)平移后得到A′B′为( A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,7) (

)

10.若 a=(λ,2),b=(-3,5),且 a 与 b 的夹角是钝角,则 λ 的取值范围是

)

10 A.? 3 ,+∞? ? ? 10 C.?-∞, 3 ? ? ? → → 11.在菱形 ABCD 中,若 AC=2,则CA· 等于 AB A.2 → C.|AB|cos A

10 B.? 3 ,+∞? ? ? 10 D.?-∞, 3 ? ? ? ( B.-2 D.与菱形的边长有关 )

12.如图所示,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最 大的是 → → A.P1P2· 1P3 P → → B.P1P2· 1P4 P → → C.P1P2· 1P5 P → → D.P1P2· 1P6 P 二、填空题 13.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 14.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ,|a|=2,|b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b= ________. 15.已知非零向量 a,b,若|a|=|b|=1,且 a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),则实数 k 的值为 ________. 16.如图所示,半圆的直径 AB=2,O 为圆心,C 是半圆上不同于 A,B → → → 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则(PA+PB)· 的最小值是 PC ________. 三、解答题 17.已知 a,b,c 在同一平面内,且 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c; (2)若|b|= 5 ,且(a+2b)⊥(2a-b),求 a 与 b 的夹角. 2 ( )

18.已知|a|=2,|b|=3,a 与 b 的夹角为 60° ,c=5a+3b,d=3a+kb,当实数 k 为何值时: (1)c∥d;(2)c⊥d.

19.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· =0,求 t 的值. OC

→ → → → → → → → → 20.已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|OP3|=1. 求证:△P1P2P3 是正三角形.

21.已知正方形 ABCD,E、F 分别是 CD、AD 的中点,BE、CF 交于点 P.求证: (1)BE⊥CF;(2)AP=AB.

答案 1. 2.C D 1 16.- 2 17.解 (1)∵c∥a,∴设 c=λa,则 c=(λ,2λ). 又|c|=2 5,∴λ=± 2,∴c=(2,4)或(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)· (2a-b)=0. ∵|a|= 5,|b|= 5 5 ,∴a· b=- . 2 2 3.D 4.D 5.A 6.B 7.C 8. 9.B 10.A 11.B 12.A 13. C -1 14. 15.6 3

a· b ∴cos θ= =-1,∴θ=180° . |a||b| 18.解 由题意得 a· b=|a||b|cos 60° 1 =2×3× =3. 2 (1)当 c∥d,c=λd,则 5a+3b =λ(3a+kb). 9 ∴3λ=5,且 kλ=3,∴k= . 5 (2)当 c⊥d 时,c· d=0,则(5a+3b)· (3a+kb)=0. ∴15a2+3kb2+(9+5k)a· b=0, 29 ∴k=- . 14 → → 19.解 (1)AB=(3,5),AC=(-1,1), → → → → 求两条对角线的长即求|AB+AC|与|AB-AC|的大小. → → 由AB+AC=(2,6), → → 得|AB+AC|=2 10, → → 由AB-AC=(4,4), → → 得|AB-AC|=4 2. → (2)OC=(-2,-1), → → → → → → ∵(AB-tOC)· =AB· -tOC2, OC OC → → → 易求AB· =-11,OC2=5, OC 11 → → → ∴由(AB-tOC)· =0 得 t=- . OC 5 → → → 20.证明 ∵OP1+OP2+OP3=0,

→ → → ∴OP1+OP2=-OP3, → → → ∴(OP1+OP2)2=(-OP3)2, → → → → ∴|OP1|2+|OP2|2+2OP1· 2 OP → =|OP3|2, 1 → → ∴OP1· 2=- , OP 2 → → OP1· 2 OP 1 cos∠P1OP2= =- , 2 → → |OP1|· 2| |OP ∴∠P1OP2=120° . → → → ∴|P1P2|=|OP2-OP1|= = → → ?OP2-OP1?2

→ → → → OP12+OP22-2OP1· 2= 3. OP

→ → 同理可得|P2P3|=|P3P1|= 3. 故△P1P2P3 是等边三角形. 21.证明 如图建立直角坐标系 xOy,其中 A 为原点,不妨设 AB=2, 则 A(0,0),B(2,0),C(2,2), E(1,2),F(0,1). → → → (1)BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2), → → → CF=OF-OC=(0,1)-(2,2) =(-2,-1), → → ∵BE· =-1×(-2)+2×(-1) CF =0, → → ∴BE⊥CF,即 BE⊥CF. → → (2)设 P(x,y),则FP=(x,y-1),CF=(-2,-1), → → ∵FP∥CF,∴-x=-2(y-1), 即 x=2y-2. → → 同理由BP∥BE,得 y=-2x+4,代入 x=2y-2. 6 8 6 8 解得 x= ,∴y= ,即 P?5,5?. ? ? 5 5 6 8 → → ∴AP2=?5?2+?5?2=4=AB2, ? ? ? ?

→ → ∴|AP|=|AB|,即 AP=AB.


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