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【苏教版】2015-2016学年高中数学(苏教版选修2-1)课件:第1章 常用逻辑用语 3.1_图文


第1章—— 1.3 全称量词与存在量词 1.3.1 量 [学习目标] 词 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的 含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义,并能用数 学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性. 栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测 挑战自我,点点落实 重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功 预习导学 挑战自我,点点落实 [知识链接] 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)x>3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R,x>3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数. 1.3.1 量 词 4 答:语句(1)(2)含有变量x,由于不知道变量x代表什么数, 无法判断它们的真假,因而不是命题. 语句 (3) 在 (1) 的基础上,用短语 “ 对所有的 ” 对变量 x 进行 限定; 语句 (4) 在 (2) 的基础上,用短语 “ 对任意一个 ” 对变量 x 进 行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,因此语句 (3)(4)是命题. 1.3.1 量 词 5 [预习导引] 1.全称量词和全称命题 (1)全称量词:短语“所有”“每一个”“任意”在逻辑中 通常叫做 全称量词 ,并用符号 “?” 表示. (2)全称命题:含有 全称量词 的命题叫做全称命题.全称命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M, p(x) ,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. 1.3.1 量 词 6 2.存在量词和存在性命题 (1)存在量词:短语“存在一个”“有一个”“有些”在逻 辑中通常叫做 存在量词 ,并用符号 “?” 表示. (2)存在性命题:含有存在量词 的命题叫做存在性命题 .存在 性命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为 ?x0∈M,p(x0),读作 “ 存在 M 中的一个元素 x ,使 p(x ) 成 0 0 立”. 1.3.1 量 词 7 课堂讲义 重点难点,个个击破 要点一 全称量词与全称命题 例1 试判断下列全称命题的真假: (1)?x∈R,x2+2>0; 解 由于?x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2>0, 即x2+2>0,所以命题“?x∈R,x2+2>0”是真命题. 1.3.1 量 词 8 (2)?x∈N,x4≥1; 解 由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立, 所以命题“?x∈N,x4≥1”是假命题. (3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1. 解 由于?α∈R,sin2α+cos2α=1成立. 所以命题“对任意角α,都有sin2α+cos2α=1”是真命题. 1.3.1 量 词 9 规律方法 判断全称命题为真时,要看命题是否对给定 集合中的所有元素成立.判断全称命题为假时,可以用反 例进行否定. 1.3.1 量 词 10 跟踪演练1 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数; 解 2是素数,但2不是奇数. 所以,全称命题“所有的素数是奇数”是假命题. 1.3.1 量 词 11 (2)?x∈R,x2+1≥1; 解 ?x∈R,总有x2≥0,因而x2+1≥1. 所以,全称命题“?x∈R,x2+1≥1”是真命题. 1.3.1 量 词 12 (3)对每一个无理数x,x2也是无理数. 解 2是无理数,但( 2)2=2 是有理数. 所以,全称命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假 命题. 1.3.1 量 词 13 要点二 存在量词与存在性命题 例2 判断下列命题的真假: (1)?x0∈Z,x3 0<1; 解 ∵-1∈Z,且(-1)3=-1<1, ∴“?x0∈Z,x3 0<1”是真命题. (2)存在一个四边形不是平行四边形; 解 真命题,如梯形. 1.3.1 量 词 14 (3)有一个实数α,使tan α无意义; π 解 真命题,当 α=2时,tan α 无意义. π (4)?x0∈R,cos x0=2. π 解 ∵当 x∈R 时,cos x∈[ -1,1] ,而2>1, π ∴不存在 x0∈R,使 cos x0=2, ∴原命题是假命题. 1.3.1 量 词 15 规律方法 存在性命题是含有存在量词的命题,判定 一个存在性命题为真,只需在指定集合中找到一个元 素满足命题结论即可. 1.3.1 量 词 16 跟踪演练2 判断下列存在性命题的真假: (1)有一个实数 x0,使 x2 0+2x0+3=0; 解 由于?x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2, 因此使x2+2x+3=0的实数x不存在. 所以,存在性命题“有一个实数 x0,使 x2 0+2x0+3=0”是 假命题. 1.3.1 量 词 17 (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; 解 由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的, 因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线. 所以,存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线” 是假命题. 1.3.1 量 词 18 (3)有些整数只有两个正因数. 解 由于存在整数3只有两个正因数1和3, 所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题. 1.3.1 量 词 19 要点三 全称命题、存在性命题的应用 例3 (1)对于任意实数x,不等式sin x+cos x>m恒成立.求实 数m的取值范围; 解 令y=sin x+cos x,x∈R, π ∵y=sin x+cos x= 2sin(x+4)≥- 2, 又∵?x∈R,sin x+cos x>m恒成立, ∴只要 m<- 2即可. ∴所求 m 的取值范围是(-∞,- 2). 1.3.1 量 词 20 (2)存在实数x,不等式sin x+cos x>m有解,求实数m的取值 范围.

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