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人教版高中数学课件 第二册:二面角1


空间两个平面

罗移丰

二 面 角
? ? ? ?

?

?

打开的书
1

一条直线上的一个点把这条直线分成两

个部分,其中的每一部分都叫做射线。

一个平面内的一条直线把这个平面分成

两个部分,其中的每一部分都叫做半平面。

2

二面角的记法

形式
O F

B

二面角?-AB- ?
A

∠AOB
A E B

C
A B

D

?
?
l
5

B

? A 二面角?- l- ?

D

C

二面角C-AB- D
? ?

?

l

A
B ? ?

O

B A

从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。 二面角的范围
3

[00,1800]

角 A 边 图形 顶点 O 边 B A 棱a B

二面角 ? 面 面 ?

定义

从一点出发的两 条射线所组成的 图形叫做角。
边—点—边 (顶点)
∠AOB

构成

从一条直线出发的 两个半平面所组成 的图形叫做二面角。 面—直线—面 (棱)
二面角?—l—? 或二面角?—AB—?

表示法
6

以二面角的棱上任意一点为端点,在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
B1 B ?

? ∠A O B
1 1

1

平面角是直角的二 面角叫做直二面角 l
O1

O
9

A

A1

?

以二面角的棱上任意一点为端点,在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足: 1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 ? 3)角的边都要垂直于二面角的棱

注意:
A

?

l
O
10

A

? B
? B

×
O

此 图 正 确 ?

二面角的平面角的作法:
1、定义法 A

?

根据定义作出来
O 2、垂面法

l
B

?

?

作与棱垂直的平面 与两半平面的交线得 到 3、三垂线定理法 借助三垂线定 理或其逆定理作出 来
12

l
O

?
B

γ

A A

?
O

D

l

?

练习: 作出下列各图中的二面角的平面角:

A

B
E 二面角A--BC--D
A, B ? l

D O C C’ B’ O D C

?
C

D’ Bl D

AC ? ? BD ? ?

?

A’

AC⊥l BD ⊥l
14

A O A

二面角?--l--?

B 二面角B--B’C--A

二面角的计算:
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明

(指出)1中的角就是所求的



3、计算出此角的大小

一“作”二“证”三“计算”
16

练习:

A

A

1D 1 C B 2
二面角B--AD--C

B

D O
C

E 二面角A--BC--D

AE=3OE
1 3

1)900

2)argcos

21

例1、已知锐二面角?- l- ? ,A为面?内一点,A到 ? 的距离为 2 3 ,到 l 的距离为 4,求二面角 ?- l - ? 的大小。
① 解: 过 A作 AO⊥?于O,过 O作 OD⊥ l 于D, 连AD 则由三垂线定理得 AD⊥ l A ② ∴∠ADO就是二面角 ?- l- ? 的平面角

? ∵ AO为 A到?的距离 , AD为 A到 l 的距离



∴AO=2 3 D
O

,AD=4 在Rt△ADO中,
? 3 2

l
17

?

AO ? 2 3 ∵sin∠ADO= AD 4

∴ ∠ADO=60°

∴二面角 ?- l- ? 的大小为60 °

例1、已知锐二面角?- l- ? ,A为面?内一 3 点,A到? 的距离为 2 ,到 l 的距离为 4; 求二面角 ?- l- ? 的大小。
过 解: A作 AO⊥?于O,过 O作 OD⊥ l 于D,连AD 则由三垂线定理得 AD⊥ l ∴∠ADO就是二面角 ?- l- ? 的平面角 A ∵ AO为 A到?的距离 , AD为 A到 l 的距离
?

∴AO=2 3
?

,AD=4 在Rt△ADO中,

D

O

3 AO 2 3 ? ∵sin∠ADO= AD ? 2 4

l
18

∴ ∠ADO=60°

∴二面角 ?- l- ? 的大小为60 °

(3)判定定理: 性质定理

如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线,那么这两个平面相互垂直。 已知:直线 AB⊥平面β 于B点,AB ? 平面α , 证明:设α ∩β =CD,则B∈CD,
在平面β 内过B点作BE⊥CD。 ∴AB⊥CD,AB⊥BE。


α A

D

β

E ∴∠ABE=90 是二 B 面角α —CD—β 的平面角, C ∴二面角α —CD —β 是直二面角,即α ⊥β 。

例 2 如图,已知A、B是120?的 二面角?—l—?棱l上的两点,线段 AC,BD分别在面?,?内,且 AC⊥l,BD⊥l ,AC=6,BD=8, AB=4,求线段CD的长。
向量法:

?
B C A

?
D

解:|CD|2=CD· (CA+AB+BD)2= CD=
|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA · AB+2CA · BD+2AB · BD=36+16+64+2|CA||BD|COS 60?=164

∴ |CD|=2

41

例 2 如图,已知A、B是120?的二 面角?—l—?棱l上的两点,线段AC, C BD分别在面?,?内,且AC⊥l, BD⊥l ,AC=6,BD=8,AB=4,求 线段CD的长。
解:∠OAC =120?
CO
2

?
B

l

?
D

A O

AO=BD=8, AC=6
?

? AC

2

? AO

2

? 2 AO ? AC ? COS 120

? 148

四边形ABDO为矩形,
19

DO=AB=4

求CD的长转化到直角三角形COD中去求

l 例 2 如图,已知A、B是120?的二面角 B ? ?—l—?棱l上的两点,线段AC,BD分别 C D 在面?,?内,且AC⊥l,BD⊥l ,AC=6, O BD=8,AB=4,求线段CD的长。 A 解:在平面?内,过A作AO⊥l ,使AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是 二面角?—l—?的平面角,即 ∠OAC =120?, ∵BD⊥l ∴ AO∥BD,∴四边形ABDO为矩形, ∴ DO∥ l , AO=BD ∵ AC⊥l , AO⊥l , ∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO

E ?

CO

2

? AC

2

? AO
2

2

? 2 AO ? AC ? COS 120

?

? 148

19

14

2 ? 61 ? 841

?

2

OD ?

OC

? DC

从一条直线出发的两个半 二 面 角 ?-AB- ? 1、二面角的平面角 二 面 角 C-AB- D 平面所组成的图形叫做二 必须满足三个条件 二 面 角 ?- l- ? 1、根据定义作出来 面角。这条直线叫做二面 2、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 2、利用直线和平面垂 的大小与 做二面角的面。 其顶点 直作出来 3、借助三垂线定理或 二、二面角的表示方法: 在棱上的位置无关 3、二面角的大小用 其逆定理作出来 1、找到或作出二面角的平面角 它的平面角的大 三、二面角的平面角: 2、证明 1中的角就是所求的 角 小来度量 3、计算所求的角

一、二面角的定义:

二 面 角

四、二面角的平面角的作法: 五、二面角的计算:

一“作”二“证”三“计算”
22


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