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湖南师大附中2013届高三第六次月考文科数学试题


湖南师大附中 2013 届高三第六次月考
数学(文科)
命题:湖南师大附中高三数学备课组
(考试范围:高中文科数学全部内容)

一.选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ? y y ? i 4 ? (i 为虚数单位), N ? ? y y ? x 2,x ? R? ,则 M ? N ? (C) A. (0, ?) ? B. ?0, ?? ? C. (1, ?) ? D. ?1 ? ?? ,

解析:? M ? ? y y ? 1? , N ? ? y y ? 0? ,? M ? N ? ? y y ? 1? ,选 C. 2.设命题 p: m ? 7 ,命题 q:函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 9(m ? R) 有零点,则 p 是 q 的 (A) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,

解析:函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 9(m ? R) 有零点,则 ? ? m2 ? 36 ? 0 ,即 m ? 6 或
m ? ?6 ,显然,P 可以推出 q,而 q 不能推出 P,故选 A.

3.曲线 y ? lg x 在 x ? 1 处的切线的斜率是 (A) A.
1 ln10

B. ln10

C. ? lg e

D. ?

1 lg e

1 1 1 ,? y ' x ?1 ? ,即切线的斜率为 ,选 A. x?ln10 ln10 ln10 ? 1 ? 4.若 sin( ? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值为 (B) 6 3 3

解析:? y ' ?

A. ?

1 3

B.

1 3

C.

2 2 2

D. ?

2 2 3

? ? 1 ?? ? ? 解析: cos( ? ? ) ? cos ? ? ( ? ? ) ? ? sin( ? ? ) ? ,选 B. 3 6 3 ?2 6 ?
5.若 Sn 是等差数列 ?an? 的前 n 项和,且 S8 ? S3 ? 10 ,则 S11 ? A.12 B.18 C.22 (C)

D.44 8? 7 3? 2 d ? (3a1 ? d ) ? 10 ,即 a1 ? 5d ? 2 , 解析:? S8 ? S3 ? 10 ,? 8a1 ? 2 2

(a1 ? a 1 1? 1 1 ) ? 1 1 6 1? a (? d 5? ) ,故选 C. a ? 1 1 22 2 6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45? ,腰和上底均为 1 的等腰梯形,则原平面图形的面积为 (D) ? S1 1?

1 2 A. ? 2 2

B. 1 ?

2 2

y

C. 1 ? 2

D. 2 ? 2
45? 0 45

解析:原图形是上底为 1,下底为 1 ? 2 ,高为 2 的直 角梯形. ? S原 ?
(1 ? 1 ? 2) ? 2 ? 2 ? 2 .选 D. 2

x

7.已知点 P( x,y) 的可行域是如图阴影部分(含边界),若目标函数 z ? 2 x ? ay 取 y 得最小值的最优解有无数个,则 a 的取值为 (C) A. ?2 B.0 C.6 D.8 A (1, 解析:①当 a ? 0 时, z ? 2 x 的最小值在点 B 处取得,故舍去; 1) 2 z 0 ②当 a ? 0 时,有 y ? x ? , a a 2 1 ? (i ) 当 a ? 0 时, ? 0, ? 0 , z ? 2 x ? ay 只在点 A 处取得最小值,故舍去; a a 2 1 2 2 1? ? ? a ? 6 时, (ii ) 当 a ? 0 时, ? 0, ? 0 , 若 ? k AC ? 目标函数 z ? 2 x ? ay a a a 4 ?1 在线段 AC 上的所有点处都取得最小值,? a ? 6 ,选 C. 8.如图所示,A、B、C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与线 ??? ? ??? ? ??? ? 段 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D,若 OC ? mOA ? nOB , 则 m ? n 的取值范围是
1) A. (0,
? C. (??, 1)

C(4, 2) B (5, 1) x

(D)

? B. (1, ?)

C

·
B

O

D A

0) D. (?1,

???? ???? 解析:? 线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线的交点为 D,则 OD ? tOC ,? D

??? ? ??? ? ??? ? 在圆外,? t ? ?1 ,又 D、A、B 共线,故存在 ?、? ,使得 OD ? ?OA ? ?OB ,且

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ? ? ? ? 1 ,又 OC ? mOA ? nOB ,?tmOA ? tnOB ? ?OA ? ?OB .? m ? n ? ,
t

? m ? n ? (?1, .选 D. 0)

9.在计算机语言中有一种函数 y=int(x)叫做取整函数(也叫高斯函数),它 ? ? ? ? ? ? 1 表示不超过 x 的最大整数,如 int(0.9)=0,int(3.14)=3,已知 ? 0.1 4 2 8 5 7 . 7 n 10 令 a n ? int( ), b1 ? a1 , 令当 n>1 时, bn ? an ? 10an?1 (n ? N*), 则当 n>1 时,则 7 ( D ) b2013 ? A. 2009 B. 1 C. 2010 D. 2 解析:由题意可知, n, an , bn 地对应情况如下表: n an 1 1 1 2 1 4 4 3 14 2 2 4 142 8 8 5 1428 5 5 6 14285 7 7 7 142857 1 1 8 1428571 4 4 9 14285714 2 2 … … …

bn

观察上表可知: {bn } 是一个周期为 6 的周期函数,所以 b2013 ? b335?6?3 ? b3 ? 2, 故 选 D. 二.填空题:本大题共 7 个小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把 答案填在答题卡中对应题号后的横线上. (一)选做题:从下列两题中任意选做一题,若两题全做,则只按第 9 题记分. 10.在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知射线 ? ?

?

?x ? t ?1 与曲线 ? (t 为参数)相交于 A、B 两点,则线段 AB 的 2 4 ? y ? (t ? 1)

5 5 中点的直角坐标为 ( , ) 2 2

解析:记 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,将 ? ?

?
4

转化为直角坐标方程为 y ? x( x ? 0) ,曲

线为 y ? ( x ? 2)2 ,联立上述两个方程得 x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 5 ,? 线段 AB
5 5 的中点坐标为 ( , ) . 2 2 11.(优选法与试验设计初步)用 0.618 法寻找实验的最优加入量时,若当前存优

范围是 ?628, ? ,好点是 718,则此时要做试验的加入点值是 774 解析:此时要做实验的加入点的值是 628 ? 774 ? 718 ? 684 . (二)必做题(11~16 题)

684

.

12.在区间 ? ??,? ? 内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数

f ( x) ? 4 x2 ? 4ax ? b2 ? ? 2 有零点的概率为 1 ?

? 4

解析:若使函数有零点,必须满足 ? ? (4a)2 ?16(?b2 ? ? 2 ) ? 0 ,即 a 2 ? b2 ? ? 2 , 于是函数有零点的概率为 1 ?

?? 2 ? ? ? 1? . 2 4? 4

13.由“半径为 R 的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为 2R2”,类 比猜想关于球的相应命题为: __________________________________________________ 解析:半径为 R 的球的内接长方体中以正方体的体积为最大,最大值为
8 3 3 R 9

14. 直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F,且交抛物线于 P、Q 两点,由 P、 Q 分别向准线引垂线 PR、QS,垂足分别为 R、S,如果|PF|=a,|QF|=b,M 为 RS 的中点,则|MF|= ___________ 1 1 (a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? ab . 解析: 易证明 ?RFS ? 90?, 故 MF ? RS ? 2 2 1 cos 15.在 ?ABC 中, 已知 AB ? 4, B ? , B 的平分线 BD 交 AC 于点 D, BD ? 6 , 角 且 3 则 sin A ?
3 . 3
1 B 6 B 3 ,? cos ? , sin ? ,在 ?ABD 中, 3 2 3 2 3

解析:? cos B ?

AD 2 ? AB 2 ? BD 2 ? 2 AB?BD?cos

B ?? ? 6 , AD ? 6 , BD ? 6 , A ? ?ABD , 又 ? 2

? sin A ? sin

B 3 . ? 2 3

16. 设函数 f ( x) ? x ? a ? ax, 其中 a 为常数若函数 f (x) 存在最小值的充要条件 是 a ? A, 则(1)集合 A ? _______;(2)当 a ? A 时,函数 f (x) 的最小值为 _________. 解析: (1) [?1,1] 当 x ? a 时,f ( x) ? (1 ? a) x ? a; 当 x ? a 时,f ( x) ? a ? (1 ? a) x;

要使 f (x) 有最小值,需满足 1 ? a ? 0, 即 ? 1 ? a ? 1 时, f (x) 存在最小值.

(2) ? a 2

当 x ? a 时,(2) f (x) 取得最小值 ? a 2 .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 汽车是碳排放量比较大的行业之一. 欧盟规定, 2012 从 年开始,将对 CO2 排放量超过 130g/km 的 M1 型新车进行惩罚(视为排放量 超标).某检测单位对甲、乙两 M1 型品牌车各抽取 5 辆进行 CO2 排放量检 测,记录如下(单位:g/km)

经测算发现,乙品牌 CO2 排放量的平均值为 X 乙=120g/km. (1)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,则 CO2 排放量都不超标的概率 是多少? (2)若 80<x<130,试比较甲、乙两类品牌车 CO2 排放量的稳定性. 解析:(1)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,共有 10 种不同的 CO2 排放 量结果: (80,110);(80,120);(80,140);(80,150);(110,120); (110,140);(110,150);(120,140);(120,150);(140, 150),…………………………………3 分 设“CO2 排放量都不超标”为事件 A, 则事件 A 包含以下 3 种不同的结果: (80, 3 110); (80,120); (110,120);? P ( A)= ………………………………………………6 10 分 (2)由题可知 x甲 ? x乙 =120 , x+ y = 220

5S 2甲 ? (80 ?120)2 ? (110 ?120)2 ? (120 ?120)2 ? (140 ?120)2 ? (150 ?120)2 ? 3000 5S 2乙 ? (100 ?120)2 ? (120 ?120)2 ? ( x ?120)2 ? ( y ?120)2 ? (160 ?120)2
? 2000 ? ( x ?120)2 ? ( y ?120)2 ……………………………………………8 分
? x ? y ? 220

?5S 2乙 ? 2000 ? ( x ?120)2 ? ( x ?100)2 ? 2x2 ? 440x ? 26400 ?5S 2乙 ? 5S 2甲 ? 2x2 ? 440x ? 24400 ? 2( x2 ? 220x ?11700) ? 2( x ? 90)( x ?130)
? 80 ? x ? 130
3 0 ? 当 当0 S S ? 当 80 ? x ? 90 时, 2乙 ? S 2甲 ; x ? 90 时, 2乙 =S 2甲 ; 9 ? x1

时, 2乙 ? S 2甲 S

又 x甲 ? x乙 =120

? 当 80 ? x ? 90 时,甲类品牌车碳排放量的稳定性好; 当 x ? 90 时,两类品牌车碳排放量的稳定性一样好;

当 90 ? x ? 130 时,乙类品牌车碳排放量的稳定性好.…………………………12 分 18.如图,斜三棱柱 ABC – A1B1C1 的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点 B1 在 底面内的射影恰好是 BC 的中点,且 BC=CA=2 B1 (I)求证:平面 ACC1A1 ⊥平面 BCC1B1; (Ⅱ )若 A1A=2,求点 B 到平面 B1CA 的距离. 解析:(1)取 BC 中点 M,连接 B1M,则 B1M ? 面 ABC,

A1 C1

? 面 BB1C1C ? 面 ABC ? BC=面 BB1C1C ? 面 ABC,AC ? BC
? AC ? 面 BB1C1C

? AC ? 面 ACC1A1

B A

B

? 面 ACC1A1 ? 面 BB1C1C………………………………… 6 分
(2)设点 B 到平面 B1CA 的距离为 h, 1 1 1 1 由 VB?B1CA ? VB1 ?BCA 有 ( ? 2 ? 2)h ? ( ? 2 ? 2) ? 3 , 3 2 3 2

? h ? 3 …………………………………
19.已知数列 {an } 的首项 a1 ? t ? 0 , an?1 ?

12 分
3an 2, , n ? 1, ? 2an ? 1

?1 ? 3 (1)若 t ? ,求证 ? ? 1? 是等比数列并求出 {an } 的通项公式; 5 ? an ? (2)若 a n?1 ? a n 对一切 n ? N * 都成立,求的取值范围. 2a ? 1 1 1 1 2 解析:(1) 由题意知 a n ? 0, , ? ? , ? n a n 3a n 3 a n ?1 3a n
? 1 2 1? 1 ? 0, …………………………………… 3 分 ?1 ? ? 1 ? ? ? 1? , ?a ? a1 3 an ?1 3? n ? ?1 ? 2 1 所以数列 ? ? 1? 是首项为 ,公比为 的等比数列;……………………… 4 分 3 3 ? an ? 1

1 ? 5 ?? 1 ? ? 1 ? ? ? 1?? ? an ? 3 ?? 3 ?
(2)由(1)知

n ?1

?

3n 2 , an ? n 3 ?2 3n

………………………………6 分
n ?1

? 1? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ……………… 8 分 ? 1 ? ? ? 1? , ? 1 ? ? ? 1?? ? ?a ? a an ?1 3? n ? t ?? 3 ? n ? 3an 1 1 ? 由 a1 ? 0, an ?1 ? 知 an ? 0 ,故 an?1 ? an 得 …………………… 10 分 2an ? 1 an?1 an 1 1 1 1 1 即 ( ? 1)( )n ? 1 ? ( ? 1)( ) n ?1 ? 1 得 ? 1 ? 0 ,又 t ? 0 ,则 0 ? t ? 1 ……… 12 分 t t 3 t 3 20.在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线(记作 MA)的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老 王在研究股票的走势图时, 发现一只股票的 MA 均 线近期走得很有特点: 如果按如图所示的方式建立 平面直角坐标系 xoy,则股价 y(元)和时间 x 的 1

x ? ? ) ? 19 (0 ? ? ? ? ) 来描述,从 C 72 点走到今天的 D 点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且 D 点和 C 点正好关于直线 l : x ? 34 对称.老王预计这只股票未来的走势如图中虚 线所示,这里 DE 段与 ABC 段关于直线对称,EF 段是股价延续 DE 段的趋势(规 律)走到这波上升行情的最高点 F.现在老王决定取点 A(0,22),点 B(12,

关系在 ABC 段可近似地用解析式 y ? a sin(

?

19),点 D(44,16)来确定解析式中的常数 a,b, ? (1)请你帮老王算出 a,b, ? ,并回答股价什么时候见顶(即求 F 点的横坐标); (2) 老王如能在今天以 D 点处的价格买入该股票 5000 股, 到见顶处 F 点的价格 全部卖出,不计其它费用,这次操作他能赚多少元? 解:(1)∵C,D 关于直线 l : x ? 34 对称∴C 点坐标为(2×34-44,16), 即(24,16),…………………………………………………………2 分

? ?a sin ? ? 19 ? 22..........................1) ? ? ? 把 A、B、C 的坐标代入解析式,得 ?a sin( ? ? ) ? 19 ? 19.................2) 6 ? ? ? ?a sin( 3 ? ? ) ? 19 ? 16.................3) ?
2) ? 1) : 3) ? 1) : a(sin( ? ? ) ? sin ? ) ? ?3.........................4) 6 a(sin( ? ? ) ? sin ? ) ? ?6 ..........................5) 3
又? 0 ? ? ? ?

?

?

5) 3 ,整理得 tan? ? ? 4) 3

?? ?

5? ……………6 分 6

5? 代入 1)得 a ? 6 ……………………………………………………7 分 6 ? 5? 于是, ABC 段的解析式为 y ? 6 sin( x ? ) ? 19 …………………… 8分 72 6 ? 5? 由对称性得, DE 段的解析式为 y ? 6sin[ (68 ? x) ? ] ? 19 72 6 ? 5? ? ? ,得 x ? 92 ………………………………… 10 分 所以,由 (68 ? x) ? 72 6 2 所以当 x ? 92 时,股票见顶. ……………………………… ………… 11 分

将? ? ?

(2)由(1)可知, y F ? 25,故这次操作老王能赚 5000×(25-16)=45000 元.… 13 分

21.已知抛物线 y 2 ? 4x ,过点 M (0, 2) 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点,且直线与

x 轴交于点 C .
(1)求证: | MA | , | MC | , | MB | 成等比数列;

??? ? ???? ??? ? ???? (2)设 MA ? ? AC , MB ? ? BC ,试问 ? ? ? 是否为定值,若是,求出此定值;若
不是,请说明理由. 解析:(1)设直线的方程为: y ? kx ? 2 (k ? 0)

? y ? kx ? 2 联立方程 ? 2 得 k 2 x 2 ? (4k ? 4) ? 4 ? 0 ? y ? 4x
2 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C (? ,0) , k

则 x1 ? x 2 ? ?

4k ? 4 4 , x1 ? x 2 ? 2 2 k k

①…2 分

2 2 | MA | ? | MB |? [ x12 ? ( y1 ? 2) 2 ] ? [ x 2 ? ( y 2 ? 2) 2 ] ? (1 ? k 2 ) 2 x12 x 2 ? (1 ? k 2 ) x1 x 2

4(1 ? k 2 ) ? k2

……………………………………………………………………………………… 4分
2 4(1 ? k 2 ) | MC | 2 ? (? ) 2 ? 2 2 ? k k2

…………………………………………5 分 即 | MA | , | MC | , | MB | 成等比数列…………6 分

所以 | MC |2 ?| MA || MB |

(2)由 MA ? ? AC, MB ? ? BC ,得,
( x1 , y1 ? 2) ? ? (? x1 ? 2 2 ,? y1 ), ( x 2 , y 2 ? 2) ? ? (? x 2 ? ,? y 2 ) k k

即得: ? ?

kx1 kx2 ? 2k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) 则? ? ? ? 2 ,? ? kx1 ? 2 kx2 ? 2 k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

………10 分

将①代入得 ? ? ? ? ?1 ,故 ? ? ? 为定值且定值为 ?1 ………………………12 分 22.已知函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1 ( p ? R) . (1) p ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 p ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最大值为-1,求 p 的取值;
2 2 (3)若对任意 x1, x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2 恒成立,

求 p 的取值范围。

解析:(1)当 p ? 1 时, f ' (1) ? 0 , f (1) ? 0
? 曲线在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? 0 .

(2)函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1的导函数为 f ' ( x) ? 令 f ' ( x) ? 增; 令 f ' ( x) ?

1 ? p, x

1 1 1 ? p ? 0 得 0 ? x ? ,所以函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1在 (0, ) 上单调递 x p p

1 1 1 ? p ? 0 得 x ? ,所以函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1在 ( , ??) 上单调递减. x p p

①当 0 ?

1 ? 1 ,即 p ? 1 时, f (x) 在区间 [1, e] 上的最大值为 f (1) ? ? p ? 1 ,由 p

f (1) ? ? p ? 1 ? ?1 得 p ? 2 ,符合题意;

②当 1 ?

1 1 1 ? e ,即 ? p ? 1 时, f (x) 在区间 [1, e] 上的最大值为 f ( ) ? ? ln p ,由 e p p

1 f ( ) ? ? ln p ? ?1 得 p ? e ,不符合题意,舍去; p

③当 e ?

1 1 ,即 0 ? p ? 时, f (x) 在区间 [1, e] 上的最大值为 f (e) ? 2 ? pe ,由 e p

f (e) ? 2 ? pe ? ?1 ,得 p ?

3 ,不符合题意,舍去. e

综上所述, p ? 2 . (3)设 g ( x) ? f ( x) ? x2 ,则 g ( x) ? ln x ? x2 ? px ? 1 ,只要 g ( x) 在 (0, ??) 上单调 递增即可.而 g ' ( x) ? 立即可. 因为 x ? 0 , 所以只需 2 x2 ? px ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立即可. 即 p ?
1 1 2 ? 2 2 当且仅当 2x ? 即 x ? 时,最小值为 2 2 x x 2

1 2 x 2 ? px ? 1 ? 2x ? p ? ,所以只需 g ' ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成 x x

2 x2 ? 1 1 ? 2x ? x x

即可.而 2 x ?

所以 p ? 2 2 ,即 p 的取值为 (??, 2 2] .


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