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【推荐】高中数学奥赛系列辅导材料数论函数教案


小学 +初中 +高中 +努力 =大学 数论函数 【内容综述】 本讲介绍数论中常见的一些函数的概念、性质及其应用,主要有 除数函数 ——自然数 n 的正因数的个数函数; ——自然数 n 的全部正因数的和函数; 欧拉函数 ——设 n 是大于 1 的自然数, 则欧拉函数 是表示与 n 互素且不大于 n 的自然数的个数;(高斯函数或称方括号函数 [X] 在下讲介绍)为书写清楚,同学们应熟 悉连加符号“ ”与连乘符号“ ”: ; 特别是“ ”表示对称式的和 ; “ ”表示对称式的积 abc……; 【要点讲解】 § 1.约数个数函数 § 2.约数和函数 § 3.欧拉函数 φ (n) ★ ★ ★ § 1. 约数个数函数 定义 1 设 ,则 的正约数的个数称为函数 。 定理 1 设 ,且 是质数 , 则 略证: 由乘法原理,约数系由 有 得证 、 、…、 的不同取法而生成,它们的取法分别 种(含不取该约数的 1 种取法),故 例 1. 求 24 的正约数个数。 解: 事实上,易求得约数分别是 § 2 约数和函数 1, 2,3, 4, 6, 8, 12,24;个数正是 8 个。 定义 设 , ,则称 的正约数和为函数 。 定理 2 自然数 的正约数和函数 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 )。 略证 注意到( (其中 为 的素数, ) , 展开后,其项数恰为 的约数个数 , 又每项皆形如 可见每项皆自然数 , 的约数且每个约数只出现一次,由此可见该积即 ,于是有 例 2. 求 780 的正约数和 。 解: 定理 3 若 、 是互质的自然数,即 (a , b)=1 ,则 证明: 设 ∵ ,故 , , 与 各不相同( i=1 ,2,…, j=1 , 2,…, m) § 3. 欧拉函数 定义 设 如 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 互素且不大于 的自然数的个数 ( ), 称为欧拉函数。 ,易证 是素数 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 (∵每个小于 的自然数都与它互素) 。 关于欧拉函数 ,有以下性质定理 ;反之可见,若 是合数,必有 定理4 设 P 是素数,且 则 证明 ∵P是素数,显然有 与 互素的充要条件是 ,即有: , 反之若 ,且知在 1 和 之间,有以下 个数是 p 的倍数: 自然数个数。 ,而其余的数都与 互素,从而可知不超过 且与 互素的 当自然数 的素因数分解式中,不只包含一个素因数时,有 定理 5 设大于 1 的自然数的素因数分解式为 , 其中 则有 证明: 因为素因数的个数 数的自然数 )。 (i )当 ,故考虑采用数学归纳法(下设 表有 k 个素因 ; (ii )设 ; 注意到加入第个 k+1 素因数 后,有 , 且当 于是由归纳假设就有 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 从而 时,定理成立; 综上,对任意 ( ★ 的补证: 引理 设 、 、c∈N,则 (i) 若 则 , 从而 可见 故 同理可证 ( ii )若 ,则存在素因数 ,由 同理,若 再证定理 若 ,则 ( ★★ ) 注意到 ,故 中有一个数为 1 时,( ★★ )显然成立,现假设 并把从 1 到 的自然数排成长 方阵: 1 m+1 2 …… m+2 …… 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 r …… m m+r …… 2m 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 2m+1 2m+2 …… 2m+r …… 3m …… (n-1)m+1 (n-1)m+2 …… (n-1)m+r nm 则 为上面这组数中与 互素的自然数的个数, 由引理知它等于这组数中同时 与 都互素的自然数个数。 注意到 (km+r , m)=(r , m), 所以当 时,第 列中的每一个数都与 互素,从而这 列数中共有 列数与 互素。 下面再证这 列的每列数中,恰好有 个自然数与 互素,这样就能证明 共有 · 个数,既与 互素,也与 互素,即定理为真。 事实上,从第 列看,∵ , ∴这列中的 个数中,任意两个数被 除时,所得余数都不会相同。 (若不然,设 除同余,则 , 其中 ,于是有 因题设 ) 可见这第 列中的 个数被 除的余数分别是 0,1, 2, 3,…,( -1 )(不计顺 序),而这 个数中与 互素的自然数个数正是 ,即第 列中存在 个与 互素的数。 这就证明了 。 例 3 求与 300 互素且不超过 300 的自然数的个数。 解 所求的数即 ★★★ 例 4. 试判断是否存在自然数 ,使 解设 ) 则 即 这里应估计到 ,于是 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 中必有一个是奇数(否则若它们全是偶数,则 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 但 则 ,只有 ,不妨令 而 7 是素数, ★★★ 式中 是 必是 2 的倍数, 但它不等于 14,(否 ,且 (★★★ ) 也是素数,因而不可能成立! ),于是只能 因此也不是成立的! 综上知,不存在 。 例 5. 试证: 证明: ( i )当 是奇数时, ,注意到 (ii )当 是偶数时,不妨设 ,于是 综 i,ii ,原命题成立。 例 6. 证明 的值或者是 1 或者是偶数,其中 证明: ( i )当 =1, 2 时, ( ) =1; ( ii )当 >2 时,若 则 是偶数; 若 。 ,于是 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 【能力训练】 1.证明自然数 的所有正约数

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