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广西桂林中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题


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第Ⅰ卷 (选择题 60 分)

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.)

1. 函数 y ? x(x ?1) ? x 的定义域为( )

A.?x | x≥0? B. ?x | x≥1?

C.?x | 0≤ x ≤1?

D.?x | x≥1? ?0?

2.

设等比数列{an

}

的公比

q

?

2

,前

n

项和为

Sn

,则

S4 a2

?(



A.2

B. 4

C. 15 2

D. 17 2

3. 若 a ? b,ab ? 0 ,则不等式恒成立的是 ( )

A. 2a ? 2b B. lg( a ? b) ? 0

C. 1 ? 1 ab

D. b ? 1 a

4.

若变量

x,

y

满足约束条件

?x

? ?

y

? ?

?1 x

,则 z ? 2x ? y 的最大值为( )

??3x ? 2 y ? 5

A.1

B.2

C.3

D.4

5. 设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1 ? 1, a5 ? 16 ,则数列{an} 前 7 项的和为(



A.63

B.64

C.127

D.128

6. 已知等比数列{an} 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a52 , a2 =1,则 a1 = (



A. 1 2

B. 2 C. 2 2

D.2

7. 已知 ?ABC中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a,b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75o ,则 b ?
()

A.2

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

8. 在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2A, 则 AC 的值等于( ) cos A

A.1

B.2

C.3

D.4

9. 设 a ? 0,b ? 0.若 3是3a与3b的等比中项,则 1 ? 1 的最小值为(



ab

A.8

B.4

C.1

D. 1 4

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10.

已知?an ?是等比数列, a2

? 2,a5

?

1 4

,则

a1a2

? a2a3

? ? ? an an?1=(



A.16(1? 4?n )

B.16(1? 2?n )

C. 32 (1? 2?n ) 3

D. 32 (1? 4?n ) 3

11. 已 知 等 比 数 列 {an} 满 足 an ? 0 ,n ? 1 , 2 , , 且 a5 ? a2n? 5 ?22n ( n ? 3 ), 则 当 n ?1 时 ,

l o g2 a 1? l o 2ga 3? ? l o2agn?2 ?1(



A. n(2n ?1)

B. (n ?1)2

C. n2

D. (n ?1)2

12. 不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( )

A. (??, ?1] [4, ??) B. (??, ?2] [5, ??)

C.[1, 2]

D. (??,1] [2, ??)

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写在答题卷的横线上.) 13. 设 △ ABC 的 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab , 则 角 C ? _________.
14. 在等差数列{an} 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? __________.
? ? 15. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为_____.
16. 设 ?ABC 的内角 A, B,C 所对的边为 a,b, c ;则下列命题正确的是 _____.

①若 ab ? c2 ;则 C ? ? 3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ? ? 3

③若 a3 ? b3 ? c3 ;则 C ? ? 2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ? ? 2

⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ? ? 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 10 分)

解不等式组

??4x

? ??

x

2

2 ? 27x ?18 ? 4x ? 4 ? 0

?

0

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18.(本小题满分 12 分)

在 △ABC 中, cos B ? ? 5 , cos C ? 4 .

13

5

(Ⅰ)求 sin A 的值;

(Ⅱ)设 △ABC 的面积 S△ABC

?

33 2

,求

BC

的长.

19. (本小题满分 12 分) 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6
个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白 质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花 费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

20. (本小题满分 12 分)
已知等差数列?an? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 .?an? 的前 n 项和为 Sn .
(Ⅰ)求 an 及 Sn ;
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(Ⅱ)令 bn

?

1 an2 ?1



n?N?

),求数列 ?bn ?

的前

n

项和 Tn

.

21. (本小题满分 12 分)
已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,{ bn }是等比数列,且 a1 = b1=2 , a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 . (Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记Tn =anb1+an?1b2 + +a1bn , n ? N+ ,求 Tn

22. (本小题满分 12 分)
设数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ?1 , n ? N* ,且 a1 、 a2 ? 5 、 a3 成等差数列.

(Ⅰ)求 a1 的值;

(Ⅱ)求数列?an? 的通项公式;

(Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有 1 ? 1 ? ? 1 ? 3 .

a1 a2

an 2

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桂林中学 2016 届 高二段考数学答案

二、填空题:

13. 2 ? ;

14.

3

74 ;

15. 4 ;

16._①②③_

三、解答题:(本大题有 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.解:由

??4 ? ??x

x
2

2 ? 27x ?18 ? 4x ? 4 ? 0

?

0

可得

? ?

x

?

?

3 或x 4

?

6

??x ? -2

?不等式组的解集为{x ? ?2或 ? ?2 ? x ? 3 或x ? 6}… …10 分 4

18. 解:(Ⅰ)由 cos B ? ? 5 ,得 sin B ? 12 ,

13

13

由 cos C ? 4 ,得 sin C ? 3 .

5

5

所以 sin A ? sin(B ? C) ? sin B cos C ? cos B sin C ? 33 . ····································6 分 65

(Ⅱ)由 S△ABC

?

33 2



1 2

?

AB ?

AC ? sin

A

?

33 2



由(Ⅰ)知 sin A ? 33 , 65

故 AB? AC ? 65 , ························································································8 分

又 AC ? AB ?sin B ? 20 AB , sin C 13

故 20 AB2 ? 65 , AB ? 13 .

13

2

所以 BC ? AB ? sin A ? 11 . ·········································································12 分 sin C 2

19.解:设为该儿童分别预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐,设费用为 Z ,则 Z ? 2.5x ? 4 y ,
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由题意知:
12x ? 8y ? 64
6x ? 6y ? 42
6x ?10y ? 54
x ? 0, y ? 0
画出可行域:… …6 分
当目标函数过点 A ,即直线 6x ? 6 y ? 42与6x ?10 y ? 54 的交点(4,3)时,Z取得最小。
即要满足营养要求,并且花费最少, 应当为该儿童分别预定 4 个单位的 午餐和 3 个单位的晚餐。 … …12 分

20. 解析】(Ⅰ)设等差数列?an? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

???2a1a?1 ?21d0?d

7 ?

26

,解得 a1

?

3,d

?

2



所以 an

?

3 ? (2 n

? 1)=2n+1 ;

Sn

= 3n+

n(n-1) 2

?2

= n2 +2n



(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an

?

2n+1,所以 bn=

1

1

an2 ?1 =(2n+1)2

= ?1

1? 1 4 n(n+1)

=

1?( 1 4n

- 1 ), n+1

所以

Tn

=

1 4

?

(1-

1 2

+

1 2

?

1 3

+

+ 1 - 1 ) = 1 ? (1- 1 )= n , n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列

?bn

?

的前

n

项和

Tn

=

n 4(n+1)



21 .【 解 析 】 (1) 设 等 差 数 列 ?an? 的 公 差 为 d , 等 比 数 列 ?bn? 的 公 比 为 q , 由 a1 ? b1 ? 2 , 得

a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q3, S4 ? 8 ? 6d

,由条件得方程组

??2 ? ?

3d ?

2q3 ?

??8 ? 6d ? q23 ?

2 ?

7?? ?

?d

3
,故

1 0??q ? 2

an ? 3n ?1, bn ? 2n (n ? N *)

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(2)Tn ? anb1 ? an?1b2 ? an?2b3 ? ? a1bn ? 2n a1 ? 2n?1a2 ?

an 2n?1

?

3n ?1 2n?1

?

3n ? 2 2n?2

?

3n ? 5 2n?1

?

cn

? cn?1

?

2an

?

2n (a1

?

a2 2

?

Tn ? 2n[(c1 ? c2 ) ? (c2 ? c3 ) ? ? (cn ? cn?1)] ? 2n (c1 ? cn?1)

?

an 2n?1

)

? 10? 2n ? 2(3n ? 5)

(Ⅲ) 因 为 3n ? 3?n1 ? 2 ? ?3n1

? 2 ??n12

,? n所2 以 3n ? 2n?

?31n , 所 以

1? 1 an 3n?1

,于是

1?1? a1 a2

? 1 ?1? 1 ?

an

3

?

1 3n?1

?

1

?

? ??

1 3

?n ??

1? 1

?

3 2

? ?1 ??

?

? ??

1 3

?n ??

? ? ??

?

3 2

.

3

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