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第Ⅰ卷 （选择题 60 分）
一、选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.）
1. 函数 y ? x(x ?1) ? x 的定义域为（ ）
A．?x | x≥0? B． ?x | x≥1?
C．?x | 0≤ x ≤1?
D．?x | x≥1? ?0?
2.
设等比数列{an
}
的公比
q
?
2
，前
n
项和为
Sn
，则
S4 a2
?（
）
A．2
B． 4
C． 15 2
D． 17 2
3. 若 a ? b,ab ? 0 ，则不等式恒成立的是 （ ）
A． 2a ? 2b B． lg( a ? b) ? 0
C． 1 ? 1 ab
D． b ? 1 a
4.
若变量
x,
y
满足约束条件
?x
? ?
y
? ?
?1 x
，则 z ? 2x ? y 的最大值为（ ）
??3x ? 2 y ? 5
A．1
B．2
C．3
D．4
5. 设｛an｝是公比为正数的等比数列，若 a1 ? 1, a5 ? 16 ,则数列{an} 前 7 项的和为（
）
A．63
B．64
C．127
D．128
6. 已知等比数列{an} 的公比为正数，且 a3 · a9 =2 a52 ， a2 =1，则 a1 = （
）
A． 1 2
B． 2 C． 2 2
D．2
7. 已知 ?ABC中， ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a,b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75o ，则 b ?
（）
A．2
B．4＋ 2 3
C．4— 2 3
D． 6 ? 2
8. 在锐角 ?ABC 中， BC ? 1, B ? 2A, 则 AC 的值等于（ ） cos A
A．1
B．2
C．3
D．4
9. 设 a ? 0,b ? 0.若 3是3a与3b的等比中项，则 1 ? 1 的最小值为（
）
ab
A．8
B．4
C．1
D． 1 4
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10.
已知?an ?是等比数列， a2
? 2，a5
?
1 4
，则
a1a2
? a2a3
? ? ? an an?1=（
）
A．16（1? 4?n ）
B．16（1? 2?n ）
C． 32 （1? 2?n ） 3
D． 32 （1? 4?n ） 3
11. 已 知 等 比 数 列 {an} 满 足 an ? 0 ,n ? 1 , 2 , ， 且 a5 ? a2n? 5 ?22n ( n ? 3 )， 则 当 n ?1 时 ，
l o g2 a 1? l o 2ga 3? ? l o2agn?2 ?1（
）
A． n(2n ?1)
B． (n ?1)2
C． n2
D． (n ?1)2
12. 不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． (??, ?1] [4, ??) B． (??, ?2] [5, ??)
C．[1, 2]
D． (??,1] [2, ??)
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案填写在答题卷的横线上.） 13. 设 △ ABC 的 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab , 则 角 C ? _________.
14. 在等差数列{an} 中， a3 ? a7 ? 37 ，则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? __________.
? ? 15. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S4 ? 10, S5 ? 15 ，则 a4 的最大值为_____.
16. 设 ?ABC 的内角 A, B,C 所对的边为 a,b, c ;则下列命题正确的是 _____.
①若 ab ? c2 ;则 C ? ? 3
②若 a ? b ? 2c ;则 C ? ? 3
③若 a3 ? b3 ? c3 ;则 C ? ? 2
④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ? ? 2
⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ? ? 3
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分 10 分）
解不等式组
??4x
? ??
x
2
2 ? 27x ?18 ? 4x ? 4 ? 0
?
0
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18.（本小题满分 12 分）
在 △ABC 中， cos B ? ? 5 ， cos C ? 4 ．
13
5
（Ⅰ）求 sin A 的值；
（Ⅱ）设 △ABC 的面积 S△ABC
?
33 2
，求
BC
的长．
19. （本小题满分 12 分） 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6
个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白 质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花 费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
20. （本小题满分 12 分）
已知等差数列?an? 满足： a3 ? 7 ， a5 ? a7 ? 26 .?an? 的前 n 项和为 Sn .
（Ⅰ）求 an 及 Sn ；
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（Ⅱ）令 bn
?
1 an2 ?1
（
n?N?
）,求数列 ?bn ?
的前
n
项和 Tn
.
21. （本小题满分 12 分）
已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,{ bn }是等比数列,且 a1 = b1=2 , a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 . (Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记Tn =anb1+an?1b2 + +a1bn , n ? N+ ,求 Tn
22. （本小题满分 12 分）
设数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ?1 , n ? N* ,且 a1 、 a2 ? 5 、 a3 成等差数列.
(Ⅰ)求 a1 的值;
(Ⅱ)求数列?an? 的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有 1 ? 1 ? ? 1 ? 3 .
a1 a2
an 2
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桂林中学 2016 届 高二段考数学答案
二、填空题：
13． 2 ? ；
14.
3
74 ；
15． 4 ；
16．_①②③_
三、解答题：（本大题有 6 小题，共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解：由
??4 ? ??x
x
2
2 ? 27x ?18 ? 4x ? 4 ? 0
?
0
可得
? ?
x
?
?
3 或x 4
?
6
??x ? -2
?不等式组的解集为{x ? ?2或 ? ?2 ? x ? 3 或x ? 6}… …10 分 4
18. 解：（Ⅰ）由 cos B ? ? 5 ，得 sin B ? 12 ，
13
13
由 cos C ? 4 ，得 sin C ? 3 ．
5
5
所以 sin A ? sin(B ? C) ? sin B cos C ? cos B sin C ? 33 ． ····································6 分 65
（Ⅱ）由 S△ABC
?
33 2
得
1 2
?
AB ?
AC ? sin
A
?
33 2
，
由（Ⅰ）知 sin A ? 33 ， 65
故 AB? AC ? 65 ， ························································································8 分
又 AC ? AB ?sin B ? 20 AB ， sin C 13
故 20 AB2 ? 65 ， AB ? 13 ．
13
2
所以 BC ? AB ? sin A ? 11 ． ·········································································12 分 sin C 2
19．解：设为该儿童分别预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐，设费用为 Z ，则 Z ? 2.5x ? 4 y ，
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由题意知：
12x ? 8y ? 64
6x ? 6y ? 42
6x ?10y ? 54
x ? 0, y ? 0
画出可行域：… …6 分
当目标函数过点 A ，即直线 6x ? 6 y ? 42与6x ?10 y ? 54 的交点（4,3）时，Z取得最小。
即要满足营养要求，并且花费最少， 应当为该儿童分别预定 4 个单位的 午餐和 3 个单位的晚餐。 … …12 分
20. 解析】（Ⅰ）设等差数列?an? 的公差为 d，因为 a3 ? 7 ， a5 ? a7 ? 26 ，所以有
???2a1a?1 ?21d0?d
7 ?
26
，解得 a1
?
3,d
?
2
，
所以 an
?
3 ? （2 n
? 1)=2n+1 ；
Sn
= 3n+
n(n-1) 2
?2
= n2 +2n
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 an
?
2n+1，所以 bn=
1
1
an2 ?1 =（2n+1)2
= ?1
1? 1 4 n(n+1)
=
1?( 1 4n
- 1 )， n+1
所以
Tn
=
1 4
?
(1-
1 2
+
1 2
?
1 3
+
+ 1 - 1 ) = 1 ? (1- 1 )= n ， n n+1 4 n+1 4(n+1)
即数列
?bn
?
的前
n
项和
Tn
=
n 4(n+1)
。
21 ．【 解 析 】 (1) 设 等 差 数 列 ?an? 的 公 差 为 d , 等 比 数 列 ?bn? 的 公 比 为 q , 由 a1 ? b1 ? 2 , 得
a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q3, S4 ? 8 ? 6d
,由条件得方程组
??2 ? ?
3d ?
2q3 ?
??8 ? 6d ? q23 ?
2 ?
7?? ?
?d
3
,故
1 0??q ? 2
an ? 3n ?1, bn ? 2n (n ? N *)
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（2）Tn ? anb1 ? an?1b2 ? an?2b3 ? ? a1bn ? 2n a1 ? 2n?1a2 ?
an 2n?1
?
3n ?1 2n?1
?
3n ? 2 2n?2
?
3n ? 5 2n?1
?
cn
? cn?1
?
2an
?
2n (a1
?
a2 2
?
Tn ? 2n[(c1 ? c2 ) ? (c2 ? c3 ) ? ? (cn ? cn?1)] ? 2n (c1 ? cn?1)
?
an 2n?1
)
? 10? 2n ? 2(3n ? 5)
(Ⅲ) 因 为 3n ? 3?n1 ? 2 ? ?3n1
? 2 ??n12
,? n所2 以 3n ? 2n?
?31n , 所 以
1? 1 an 3n?1
,于是
1?1? a1 a2
? 1 ?1? 1 ?
an
3
?
1 3n?1
?
1
?
? ??
1 3
?n ??
1? 1
?
3 2
? ?1 ??
?
? ??
1 3
?n ??
? ? ??
?
3 2
.
3
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