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创新设计】(北师大版)2015届高考数学一轮精品第7篇 第4讲 垂直关系


第4讲

垂直关系

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.设平 面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内, 且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 解析 ( ).

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

若 α⊥β,因为 α∩β=m,b β,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质

定理可得 b⊥α,又 a α,所以 a⊥b;反过来,当 a∥m 时,因为 b⊥m,且 a, m 共面,一定有 b⊥a,但不能保证 b⊥α,所以不能推出 α⊥β.故选 A. 答案 A

2.(2014· 临川一中模拟)设 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下 列命题正确的是 A.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α B.若 m α,n β,m⊥n,则 n⊥α
[来源:学科网]

(

).

C.若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α D.若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β 解析 与 α,β 两垂直平面的交线垂直的直线 m,可与 α 平行或相交,故 A

错;对 B,存在 n∥α 情况,故 B 错;对 D;存在 α∥β 情况,故 D 错;由 n ⊥α,n⊥β,可知 α∥β,又 m⊥β,所以 m⊥α,故 C 正确. 答案 C

3.(2013· 浙江温岭中学模拟)设 a 是空间中的一条直线,α 是空 间中的一个平面, 则下列说法正确的是 A.过 a 一定存在平面 β,使得 β∥α B.过 a 一定存在平面 β,使得 β⊥α C.在平面 α 内一定不存在直线 b,使得 a⊥b D.在平面 α 内一定不存在直线 b,使得 a∥b ( ).
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解析

当 a 与 α 相交时,不存在过 a 的平面 β,使得 β∥ α,故 A 错误;当 a

与 α 平行时,在平面 α 内存在直线 b,使得 a∥b,故 D 错误;平面 α 内的直 线 b 只要垂直于直线 a 在平面 α 内的投影,则就必然垂直于直线 a,故 C 错 误;直线 a 与其在平面 α 内的投影所确定的平面 β 满足 β⊥α,故选 B. 答案 B

4.(2014· 白鹭洲中学模拟)如图,在四面体 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列正确的是 ( ).

A.平面 ABC⊥平面 ABD

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B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 解析 因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE ⊥AC,

于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又 由于 AC 平面 ACD,所以平面 ACD⊥平面 BDE,所以选 C. 答案 C

5. (2014· 西安中学)已知平面 α, β, γ 和直线 l, m, 且 l⊥m, α⊥γ, α∩γ=m, β∩γ =l,给出下列四个结论: ①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β. 其中正确的是 A.①④ C.②③ B.②④ D.③④ ( ).

解析

如图,由题意,β∩γ=l,∴l γ,由 α⊥γ,α∩γ=m,且 l⊥m,∴l⊥α,

即②正确;由 β∩γ=l,∴l β,由 l⊥α,得 α⊥β,即④正确;而①③条件不

充分,不能判断. 答案 B

二、填空题 6.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD(只要填写一个 你认为正确的条件即可).

解析

∵PC 在底面 ABCD 上的射影为 AC, 且 AC⊥BD, ∴BD⊥PC.∴当 DM

⊥PC(或 BM⊥PC)时, 即有 PC⊥平面 MBD, 而 PC 平面 PCD, ∴平面 MBD ⊥平面 PCD. 答案 DM⊥PC(或 BM⊥PC)

7.设 α,β 是空间两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线.从 “①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为 结论,写出你认为正确的一个命题:________(用代号表示). 解析 逐一判断.若①②③成立,则 m 与 α 的位置关系不确定,故①②③?

④错误;同理①②④?③也错误;①③④?②与②③④?①均正确. 答案 ①③④?②(或②③④?①)

8.如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E,F 分别是点 A 在 PB,PC 上的正投影,给出下列结论:

①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 解析 由题意知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC.

又 AC⊥BC,且 PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC,∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC,且 BC∩PC=C,∴AF⊥平面 PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.又 AE ⊥PB,AE∩AF=A, ∴PB⊥平面 AEF,∴PB⊥EF.故①②③正确. 答案 ①②③

三、解答题 9.(2013· 北京卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证:

(1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 证明 (1)因为平面 PAD∩平面 ABCD=AD.

又平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA⊥AD. 所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以 ABED 为平行四边形.所以 BE∥AD. 又因为 BE 平面 PAD,AD 平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,且四边形 ABED 为平行四边形.所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD.所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. 又 E, F 分别是 CD 和 CP 的中点, 所以 EF∥PD, 故 CD⊥EF.CD 平面 PCD, 由 EF,BE 在平面 BEF 内,且 EF∩BE=E, ∴CD⊥平面 BEF.所以平面 BEF⊥平面 PCD.

10.(2013· 商洛模拟)

如图所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,DB=BC,DB⊥AC,点 M 是棱 BB1 上一点. (1)求证:B1D1∥平面 A1BD; (2)求证:MD⊥AC;
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(3)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1⊥平面 CC1D1D. (1)证明 由直四棱柱,得 BB1∥DD1,

又∵BB1=DD1,∴BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD. 而 BD 平面 A1BD,B1D1 平面 A1BD, ∴B1D1∥平面 A1BD. (2)证明 ∵BB1⊥平面 ABCD,AC 平面 ABCD,

∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC,且 BD∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D. 而 MD 平面 BB1D,∴MD⊥AC.

(3)解

当点 M 为棱 BB1 的中点时,

平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.

取 DC 的中点 N,D1C1 的中点 N1,连接 NN1 交 DC1 于 O,连接 OM,如图所 示. ∵N 是 DC 的中点,BD=BC, ∴BN⊥DC.又∵DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线, 而平面 ABCD⊥平面 DCC1D1, ∴BN⊥平面 DCC1D1.又可证得 O 是 NN1 的中点, ∴BM∥ON 且 BM=ON,即 BMON 是平行四边形. ∴BN∥OM.∴OM⊥平面 CC1 D1D. ∵OM 平面 DMC1,∴平面 DMC1⊥平面 CC1D1D. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.如图, 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC=90° , BC1⊥AC, 则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在 ( ).

A.直线 AB 上 C.直线 AC 上 解析

B.直线 BC 上 D.△ABC 内部

由 BC1⊥AC,又 BA⊥AC,则 AC⊥平面 ABC1,因此平面 ABC⊥平面

ABC1,因此 C1 在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上. 答案 A

2.(2014· 衡水中学模拟)

如图, 正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H.则 以下命题中,错误的命题是 A.点 H 是△A1BD 的垂心 B.AH 垂直于平面 CB1D1 C.AH 延长线 经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45° 解析 对于 A,由于 AA1=AB=AD,所以点 A 在平面 A1BD 上的射影必到点 ( ).

A1、B、D 的距离相等,即点 H 是△A1BD 的外心,而 A1B=A1D=BD,故点 H 是△A1BD 的垂心, 命题 A 是真命题; 对于 B, 由于 B1D1∥BD, CD1∥A1B, 故平面 A1BD∥平面 CB1D1,而 AH⊥平面 A1BD,从而 AH⊥平面 CB1D1,命 题 B 是真命题;对于 C,由于 AH⊥平面 CB1D1,因此 AH 的延长线经过点 C1,命题 C 是真命题;对于 D,由 C 知直线 AH 即是直线 AC1,又直线 AA1 ∥BB1,因此直线 AC1 和 BB1 所成的角就等于直线 AA1 与 AC1 所成的角,即 2 ∠A1AC1,而 tan∠A1AC1= 1 = 2,因此命题 D 是假命题. 答案 D
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二、填空题 3.(2013· 河南师大附中二模)如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形, PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面 ABC⊥平面 PBC;③直线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45° . 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).

解析

由 PA⊥平面 ABC,AE 平面 ABC,得 PA⊥AE,又由正六边形的性质

得 AE⊥AB,PA∩AB=A,得 AE⊥平面 PAB,又 PB 平面 PAB,∴AE⊥PB, ①正确;又平面 PAD⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 PBC 不成立,②错; 由正六边形的性质得 BC∥AD,又 AD 平面 PAD,∴BC∥平面 PAD,∴直

线 BC∥平面 PAE 也不成立, ③错; 在 Rt△PAD 中, PA=AD=2AB, ∴∠PDA =45° ,∴④正确. 答案 ①④

三、解答题 4.(2 014· 北京西城一模)

在如图所示的几何体中, 面 CDEF 为正方形, 面 ABCD 为等腰梯形, AB∥CD, AC= 3,AB=2BC= 2,AC⊥FB. (1)求证:AC⊥平面 FBC; (2)求四面体 F-BCD 的体积 ; (3)线段 AC 上是否存在点 M,使 EA∥平面 FDM?证明你的结论. (1)证明 在△AB C 中,因为 AC= 3,AB=2,BC=1,则 AB2=AC2+BC2,

所以 AC⊥BC,又因为 AC⊥FB,且 FB∩BC=B,所以 AC⊥平面 FBC. (2)解 因为 AC⊥平面 FBC,所以 AC⊥FC.

因为 CD⊥FC,且 CD∩AC=C, 所以 FC⊥平面 ABCD. 则 FC 为四面 体 F-BCD 的高, 在等腰梯形 ABCD 中可得 CB=DC=1,所以 FC=1, 3 所以△BCD 的面积为 S= 4 . 1 3 所以四面体 F-BCD 的体积为 VF-BCD=3S· FC= 12 .

(3)解

线段 AC 上存在点 M,且 M 为 AC 中点时,

有 EA∥平面 FDM,证明如下: 连接 CE,与 DF 交于点 N,连接 MN,因为四边形 CDEF 为正方形,所以 N 为 CE 中点,所以 EA∥MN.因为 MN 平面 FDM,EA 平面 FDM,所以 EA ∥平面 FDM,所以线段 AC 上存在点 M,使得 EA∥平面 FDM.


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