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学案-等比数列(学生版)


等比数列 一、目标与要求: 1. 理解等比数列的概念. 2. 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应 的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 二、要点知识: 1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么 这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则 它的通项 an ? a1qn?1 . 3.等比中项 若 G 2 ? ab ? 0 ,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0), 其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn= a1? 1 -qn? a1?qn-1? a1qn a1 = = - . 1-q q-1 q-1 q-1

5. 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广: an ? amqm?n ,(n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则 ak ? al ? am ? an . 1 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),{a },{a2 bn}, n},{an·
n

an {b }仍是等比数列.
n

(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an
+2k

,an+3k,…为等比数列,公比为 qk.即项数成等差数列则对应项成等比.

6.等比数列前 n 项和的性质 公比 q 不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等
1

比数列,其公比为 qn . 7.等比数列的单调性.
?a1>0 ?a1<0 ? ? ①? 或? ? {an}为递增数列; ? ? ?q>1 ?0<q<1 ? ? ?a1>0 ?a1<0 ②? 或? ? {an}为递减数列; ?0<q<1 ?q>1 ? ?

③q=1 ? {an}为非零常数列; ④q<0 ? {an}为摆动数列. 8.等比数列其他性质. 1 2 ①若数列{an}是等比数列,则{can}(c≠0),{|an|},{an },{a }也是等比数列,若
n

{bn}是等比数列,则{an· bn}也是等比数列. ②数列 am,am+k,am+2k,am+3k,…仍成等比数列. ③若等比数列{an}的项数为 2n,则 和与奇数项的和. an ④ =qn-m(m,n∈N*) am 9.部分解题方法 (1)对于等比数列的有关计算问题,可类比等差数列问题进行,在解方程组的过 程中要注意“相除”消元的方法,同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用. (2)在涉及等比数列前 n 项和公式时要注意对公式 q 是否等于 1 的判断和讨论. (3)等比数列的判定方法: an+1 an ①定义法:若 a =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数且 n≥2),则{an}是等 a n n-1 比数列. ②中项公式法:若数列{an}中 an≠0 且 a2 an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数 n+1=an· 列. ③通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c· qn-1(c,q 均为不为 0 的常数, n∈N*),则{an}是等比数列. ④前 n 项和公式法:若数列{an}的前 n 项和 Sn=k· qn-k(k 为常数且 k≠0,q≠0,1),
2

S偶 =q,其中 S 偶,S 奇分别是数列的偶数项的 S奇

则{an}是等比数列. 需要说明的是:对于第一、二种方法适用于任何题型,强调推理过程,而第 三、四种方法适合于选择、填空题,强调结论的应用,若要判定一个数列不是 等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比即可. 三、典例分析: 题型一 基本量计算 【例 1】 正项等比数列 ?an ? 的公比为 2,若 a2 a10 ? 16 ,则 a9 的值是 A.8 B.16 C.32 D.64

【变式训练】1 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? a2 ? 10a1 , a5 = 9,则

a1 = (
A.



B. -

C.

D. -

【变式训练】2.已知等比数列 {an } 是递增数列, Sn 是 {an } 的前 n 项和,若 a1 , a3 是 方程 x2 ? 5x ? 4 ? 0的两个根,则S6 ? 题型二 性质基本用 【例 2】 若三个正数 a , b , c 成等比数列,其中 a ? 5 ? 2 6 , c ? 5 ? 2 6 ,则
b?

.



【变式训练】1.已知数列 {an} 为等比数列,若 a4 ? a6 ? 10, 则 a1a7 ? 2a3a7 ? a3a9 的值 为 A.10 B.20 C.60 D.100 ( )

【变式训练】 2 已知数列 {an } 是递增的等比数列,a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8 , 则数列 {an } 的前 n 项和等于 .

【变式训练】3.在正项等比数列 {an } 中, lg a3 ? lg a6 ? lg a9 ? 6 ,则 a1 a11 的值是 ( ) B. 1000 C. 100
3

A. 10000

D. 10

【变式训练】4 设 {an } 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 ,且 a1 , a3 , a 6 成等比数列, 则 a5 的值为 . )

1 【变式训练】5 在等比数列 {an } 中,若有 an ? an ?1 ? 3 ? ( ) n ,则 a5 ? ( 2 1 1 1 1 A. B. C. D. 8 16 32 4

题型三 等比数列的判定 【例 3】 ( )
1 B. (1 ? 310 ) 9 4 已知数列 {an } 满足 3an?1 ? an ? 0 , a2 ? ? ,则 {an } 的前 10 项和等于 3

A. ?6(1 ? 3?10 )

C. 3(1 ? 3?10 )

D. 3(1 ? 3?10 )

【变式训练】1 数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 , 则n? .

【变式训练】2 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1.求证:数列{an+1}是等比数列; 【变式训练】3 已知数列{an}为等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= ,求证数列{bn}为等比数列;

四、过关演练: 1.在等比数列 {an } 中,如果公比 q ? 1 ,那么等比数列 {an } 是( A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 ).

D.无法确定数列的增减性 )

2.对任意等比数列 {an } ,下列说法一定正确的是(

A.a1 , a3 , a9 成等比数列
C.a2 , a4 , a8 成等比数列

成等比数列 B. a 2 , a 3 , a 6 成等比数列 D. a 3 , a 6 , a 9 B )

3.等比数列{an}的各项都是正数,若 a1=81,a5=16,则它的前 5 项和是( A.179 B.211 C.248 D.275 4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 等于( D ) A.11 B.5 C.-8 D.-11

4

5.设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,若 A. 2 B.
7 3

S S4 ? 3 ,则 6 ? ( S2 S4
3 10



C.

D. 1或 2

6.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂 为 2 个,现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒(假设病毒不繁殖),问细菌 将病毒全部杀死至少需要 A.6 秒钟 ( ) C.8 秒钟 D.9 秒钟

B.7 秒钟

7.若 x,2x+2,3x+3 是一个等比数列的连续三项,则 x 的值为 . 8.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( D ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 9.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-a,则实数 a 的值为( B ) A.0 B.1 C.3 D.不存在 10.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 Sn=a1+a2+…+an 的取值范围是 11.设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 A.-11 B.-8 C.5 D.11
S5 ?( S2

.

).[来源

12.若 {an } 是由正数组成的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,已知 a2a4 ? 1 且 S3 ? 7 , 则 S5 ? ( A.
17 2

) B.
33 4

C.

31 4

D.

15 2

13. 等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 的首项都是 1 , 公差公比都是 2 ,则 ba1 ba3 ba5 ? ( ) B. 32 C. 256 D. 4096

A. 64

14.已知 ?an ? 为正项等比数列, Sn 是它的前 n 项和,若 a1 ? 16 ,且 a 4 与 a 7 的等
9 差中项为 ,则 S5 的值( 8

) D.35

A.29

B.31

C.33

5


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