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分式不等式及绝对值不等式的解法


分式不等式及绝对值 不等式的解法

解以下不等式:
x?4 (1) ?0 x?3 x?4 (3) ?2 x ?3 x?4 (2) ?0 x?3

f ( x· ( x) ? 0 )g
)g ? f ( x· ( x ) ? 0, ? ? f ( x ) ? 0.
g ( x) f ( x· ( x) ? 0 )g ?0?. f ( x) )g g ( x) ? f ( x· ( x ) ? 0, ?0? ? f ( x) ? f ( x ) ? 0.

小结
(1)标准化:①右边化零,②系数化正. (2)转 换:化为整式不等式(组)

1 分式不等式的求解通法: 2 应注意的问题:

(1)标准化之前不要去分母;只有分母恒正或恒负 时才可以直接移项。 (2)解不等式中的每一步要求“等价”即同解变形 (3)对应的方程如果出现多个根,利用穿根法写出 对应不等式的解集 (4)结果用集合的形式表示

复习绝对值的意义:
提问:正数的绝对 值是什么?零的绝对 值是什么?负数的绝 对值呢? x |x|= 0 -x X>0 X=0 X<0 一个数的绝对 一个数的绝对值表示: 值在数轴上表 与这个数对应的点到 示什么意义? 原点的距离,|x|≥0

x2
B O

x1
A X

|x1| =|OA|

|x2|=|OB|

代数的意义

几何意义

绝对值不等式的解法

方程│x│=2的解集?
-2 0 2

为{x│x=2或x=-2}

观察、思考: 不等式│x│<2的解集 为{x│-2 < x < 2 }
-2 0 2 -a a 不等式│x│> 2解集 为{x│x > 2或x<-2 } -2 0 2 -a a 类比:|x|<3的解 |x|>3 的解 1 归纳:|x|<a(a>0)|x|> 1 的解 -a<x<a |x|< 的 解
5

|x|>a |x|<0的解 (a>0)|x|>0的解 X>a 或 x<-a |x|>-2的解 |x|<-2的解

5

变式例题:

如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是
| x-1 | <2如何解? 如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是
解题反思: >2如何解?f(x)|<a | | 3x-1 |
1、采用了整体换元。 2、归纳:型如| f(x)|<a, |f(x)|>a (a>0)
| f(x)|>a

-a<f(x)<a f(x)<-a或 f(x)>a

不等式的解法。

巩固练习:
求下列不等式的解集

① |2x+1|<5
② 3|1-4x|>9 ③ |4x|<-1

(-3,2) (-∞,-1/2)∪(1,+ ∞)

?
R

④ |x2-5x|>-6

⑤ 3<| 2x+1 | <5

(-3,-2)∪(1,2)

变式例题:型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中
“a”用代数式替换,如何解?

解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
思考一:关键是去绝对值符号, 能用定义吗? x X≥0
|x|=
- x X<0

思考二:是否可以转化为熟悉问题求解? 思考三:还有什么方法去绝对值符号? 依据: |a|>|b| a2>b2

解:对绝对值里面的代数式符号讨论:

解不等式 | 5x-6 | < 6 – x

(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时,不等式化为 5x-6<6-x,解得x<2, 所以6/5≤x<2 (Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时,不等式化为 -(5x-6)<6-x,解得x>0
所以0<x<6/5 综合(Ⅰ)、 (Ⅱ)取并集得(0,2) 解:
5x-6 ≥ 0
(Ⅰ) 或

5x-6<0
(Ⅱ)

-(5x-6)<6-x 5x-6<6-x 解(Ⅰ)得:6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得:0<x<6/5 取它们的并集得:(0,2)

解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析:对6-x 符号讨论, 当6-x≦0时,显然无解; 当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x) 解: 由绝对值的意义,原不等式转化为: 6-x≤0 6-x>0 -(6-x)<5x-6<(6-x)

(Ⅰ)或

(Ⅱ)

无解

解(Ⅰ)得:0<x<2; (Ⅱ) 无解

综合得0<x<2

解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析:对6-x 符号讨论, 进一步反思:不等式组 当6-x≦0时,显然无解; 中6-x>0是否可以去掉 当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x) 解: 由绝对值的意义,原不等式转化为:

有更一般的结论: 6-x>0 X<6 |f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x) -(6-x)<5x-6 -(6-x)<5x-6<(6-x) |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x) 5x-6<(6-x)
0<x<2

练习:把下列绝对值不等式转 化为同解的非绝对值不等式。
1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|>4 3、| x-1 | > 2( x-3)
x x ? x?2 x?2

4、

5、| 2x+1 |> | x+2 |

反思评价我们的解题方法:

解不等式:|x-1| > |x-3|
方法一 方法二 方法三

依据: |a|>|b|
解:因为 |x-1| > |x-3|

a2>b2

所以 两边平方可以等价转化为
(x-1)2>(x-3)2
化简整理:x>2

平方法:注意两边都为非负数

解:如图,设“1”对A,“3”对应B,
“X”对应 M(不确定的),即为动点。
由绝对值的几何意义可知 :

|x-1| =MA

|x-3|=MB

|x-1| > |3-x| 几何的意义 为MA>MB,
A 0 1 2 B 3

分类讨论:
分析:两个|x-1| 、|x-3|要讨论,按照绝对值 里面的代数式符号进行讨论。可以借助数轴分 类。
解: 0 1 3

找零点

分段
讨论 综合

使|x-1|=0,|x-3|=0,未知数x的值 为1和3 1、当x≧3时,原不等式可以去绝对值符号 化为:x-1>x-3 解集为R,与前提取交集, 所以x≧3; 2、当1≦x<3时,同样的方法可以解得2<x<3 3.当x<1时, x无解
综合有:x>2

课堂小结: (1)数学知识: 分式不等式的解法 常见的绝对值不等式的解法 (2)数学思想 转化的思想 分类讨论的思想 整体的思想


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