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2013年高三数学二轮复习专题2


QG-(文科)

名师诊断 对点集训

专案突破 决胜高考

?

【考情报告】
题 型 2010年 小 题 2011年 2012年 第12题:递推关系式(构造 新数列求和或分组求和). 第14题:等比数列(用前n 项和公式求基本量).

大 题 第17题:等差数列 (求基 第17题:等比数列(通 本量,求通项;用函数的观 项公式、前n项和公 点求前n项和的最值). 式、综合对数求和). 第20题:椭圆综合等差数 列(等差中项).
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【考向预测】
数列一直是高考的重点与热点.由于它既具有函数特征,又能构成独 特的递推关系,使得它既与中学数学其他部分知识如:函数、方程、 不等式、解析几何等有较紧密的联系,又有自己鲜明的特征,因此在 高考中占有极其重要的地位.以考查数列的通项公式,前n项和及数 列的基本性质为主要内容,在试卷中约占10分或12分,一个选择题和 一个填空题,或一道解答题;小题一般为概念性问题,常用等差数列、

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等比数列的概念和性质来解决,属于中低档题;而大题的综合性较强, 常从数列的递推关系入手,再转化为等差数列和等比数列中的求通 项或求和.考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力 以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.复 习时仍应当以基础知识为主,不要片面追求难度.数列可视为一种特 殊的函数,因此可以用函数的观点来解决数列问题.

【知能诊断】

1.已知:数列{an}中,a1=1,a2=2,2an+1=2an+3(n≥2,n∈N*),判断{an}是否
为等差数列. 【解析】a2-a1=1,a3-a2=? ,∴{an}不是等差数列.
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3 2

2.(黑龙江省哈六中2012届高三第三次模拟)已知数列{an}的前n项和 为Sn,且an+1=5Sn-3,a1=1,则{an}的通项公式是 .
a an

n ?1 【解析】由an+1=5Sn-3,得an=5Sn-1-3(n≥2),两式相减得an+1-an=5an,即?
2 =6(n≥2),由a1=1,得a2=2,? ≠6,故an=? n?2 ?

a a1

?1, n ? 1, ?2 ? 6 , n ? 2.

【答案】an=?6n?2 , n ? 2. ? 2?
?

?1, n ? 1,

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3.(2012年3月北京市丰台区高三一模)设Sn为等比数列{an}的前n项
2 an 和,若a1=1,且2a2,S3,a4+2成等差数列,则数列{?}的前5项和为? (

)

(A)341.

(B)? .

1000 3

(C)1023.
2 ? n

(D)1024.

a12 (1 ? 45 ) 【解析】由2S3=2a2+a4+2,得q=2,则{ a }的公比为4,S5=? ? 4 =341. 1

【答案】A

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4.在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a3,a7成等比数列,S7=35,求数列通

项an. 【解析】由S7=35,得?1
7(a ? a7 ) =35,即2a1+6d=10,a4=5; 2

2 a3 又?=a1a7,即(a4-d)2=(a4-3d)(a4+3d),得d=1,故an=a4+(n-4)d=n+1.

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5.(陕西省西安市八校2012届高三年级数学试题)在公差不为0的等 差数列{an}中,a1=-12,且a8,a9,a11成等比数列.

(1)求数列{an}的公差; (2)设Sn为数列{an}的前n项和,求Sn的最小值,并求出此时n的值.
【解析】(1)由a8,a9,a11成等比数列知(a1+8d)2=(a1+7d)(a1+10d), 即16a1d+64d2=17a1d+70d2,整理得a1d+6d2=0. 因为d≠0,所以a1=-6d.从而d=2,即数列{an}的公差为2.

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(2)(法一)由(1)可知Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.
13 因为n2-13n=(n-?)2-169 , ? 2
4

且n∈N+,所以当n=6或7时,n2-13n有最小值-42,
因此,Sn的最小值为-42,此时的n为6或7. (法二)由(1)可知数列{an}的通项公式为an=2n-14,令an≤0,得n≤7. 据数列{an}单调递增可知,其前6项均为负项,第7项为0,从第8项开始

均为正项,所以,S6=S7,且均为Sn的最小值,最小值为-42,此时的n为6或
7.

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6.已知数列{an}是首项a1=? 的等比数列,其前n项和Sn中S3=? ,求数列 16 {an}的通项公式.
3 3 【解析】若q=1,则S3=? ? ≠ 16 不符合题意,∴q≠1. 4

1 4

3

1 ? 1 ? a1 ? , a1 ? , ? ? 4 ? ? 当q≠1时,由 ? 得 ? 41 3 ?q ? ? , ? S3 ? a1 (1 ? q ) ? 3 ? ? 1? q 16 2 ? ?

?
1 2

?

∴an=? ? =(-? . · )n-1 ()n+1

1 4

1 2

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7.(东北四校2012届高三第一次高考模拟)已知{an}为等比数列,a1=1, a6=243,Sn为等差数列{bn}的前n项和,b1=3,S5=35. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)设Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,求Tn. 【解析】(1)a6=a1q5=243,得q=3,an=3n-1;S5=? bn=2n+1.
(2)Tn=3×1+5×3+…+(2n-1)×3n-2+(2n+1)×3n-1, ① 3Tn=3×3+5×32+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n, ② ①-②得:-2Tn=3+2×(3+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n,整理得:Tn=n·n. 3
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5(3 ? b5 ) =35,b5=11,又b1=3,得 2

【诊断参考】 1.应用an与Sn的关系解题时,一般要分n=1和n≥2来讨论,要注意验证 能否统一到一个式子中,当a1不符合an=Sn-Sn-1(n≥2)的表达式时,通项 公式必须分段表示.注意隐含条件n≥2,n∈N*,要验证是不是从第一 项开始. 2.等差数列求Sn最值的结论为:
?ar ? 0, (1)当a1>0,d<0时,若Sr最大,则应有 ?a ? 0; ? r ?1

? ?

?ar ? 0, (2)当a1<0,d>0时,若Sr最小,则应有 ?a ? 0. ? r ?1

仅解不等式an<0是不正确的,仅解an+1≥0也是不正确的.

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3.等差等比数列综合时,要分清谁是等差,谁是等比.灵活运用公式:等 差an=am+(n-m)d;等比an=amqn-m,使运算简便.尤其是求通项公式时,不一

定求a1,可以利用已知求得am;等比数列不一定求q,求出q3或q2有时可
以直接利用,减少运算量.在求等比数列前n项和时,注意分q≠1,q=1 两种情况讨论. 4.用错位相减求和时注意:(1)写出qSn的倒数第二项,以便相减;(2)SnqSn的第一项不要丢掉;(3)Sn-qSn的最后一项是减号;(4)用公式求和时 要注意项数.

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【核心知识】

一、等差、等比数列的概念、判定、公式与性质
等差数列 定义
?是等差数列?an+1-an=d ?a n ?

等比数列

?a n是等比数列? ?
不为零的常数) an=a1qn-1=akqn-k

a n ?1 an

=q(

(常数) 通项公式 an=a1+(n-1)d=ak+(n-k)d 中项公式 a,A,b成等差数列?A= 推广:2an=an-m+an+m
a?b 2

.

a,G,b成等比数列?G2=ab. 推广:?=an-m · n + m a a2 n

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通项

①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
ak ②若{kn}(n∈N+)成等差数列,则{?}
n

①若m+n=p+q,则aman=apaq.
ak ②若{kn}(n∈N+)成等差数列,则{?}
n

性质

也为等差数列.
an ? a1 am ? an ③d=?1 ?(m≠n) n?= m?n

成等比数列. ③q =?
n-1

an n-m a a1 ,q = n (m≠n) am

?

?

Sn=

?

n( a1 ? an ) 2

Sn=

=na1+?d 2 =?n2+(a1-?)n 2 2 和的 性质
d d

n( n ? 1)

?

(q ?na1  ? 1) ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q

在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn ,S3n-S2n,…成 在公比不为—1的等比数列{an}中,Sn, 等差数列 S2n-Sn ,S3n-S2n,…成等比数列

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二、判断或证明数列是等差(或等比)的方法
n ?1 1.定义法:验证an+1-an=d(常数)或? =q(常数);

a an

2 an 2.中项公式法:验证2an=an-m+an+m或?=an-m·n+m; a

3.通项公式法: (1)数列{an}为等差数列?an=An+B(A,B为常数,n∈N*); (2)数列{an}为等比数列?an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*). 三、求通项公式的常用方法 1.观察法:找到项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式an;
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1 2.利用前n项和与通项的关系:an=?? S ? S

? S (n ? 1), n ?1 ( n ? 2); ? n

3.公式法:利用等差(比)数列的通项公式;
n ?1 4.累加法,如an+1-an=f(n);累乘法,如? =f(n);

a an

5.转化法: (1)an+1=Aan+B(A≠0,A≠1),可以通过待定系数法an+1+λ=A(an+λ),求出 λ,化为等比数列后,再求通项; (2)an+1=can+rn(c≠0,r≠0),可以通过两边除以rn+1,转化为类型(1)求解.

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四、数列的常用求和方法 数列求和要先研究数列的通项,根据通项选择方法,化归为基本数列 求和. 1.公式法:用等差(比)数列的求和公式; 2.分组求和法:若cn=an+bn,则用分组求和法;

3.错位相减法:若cn=an·n,{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则用错位 b
相减法; 4.裂项相消法:形如cn=?
1 (其中{an}为等差数列). an ? an?1

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五、常用的结论 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn:
?an ? 0, (1)若a1>0,d<0,则当且仅当 ?a ? 0 时,Sn取最大值; ? n?1

? ?

?an ? 0, (2)若a1<0,d>0,则当且仅当 ?a ? 0 时,Sn取最小值; ? n?1

2.常用拆项公式(k,n∈N*) (1)?
1 1 1 =? ; -? n(n ? 1) n n ? 1

(2)?

1 1 1 1 =?? -? ); ( (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

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(3)若{an}是等差数列,公差为d(d≠0),则? =??? ); (a n

1 an an?1

1 d

1

1 an ?1

(4)?

1 1 =??n ? k -?k ). ( n?k ? n k

【考点突破】 热点一:数列的概念与性质 数列的概念、性质及其基本量的关系是高考中经常考查的内容,一 般出现在选择题,填空题或解答题的第一问,属于容易题,中档题,主 要考查数列性质的灵活应用及对概念的理解.

?
(A)13.

(1)(广东省六校2012年2月高三第三次联考)等差数列 )

{an}中,已知a3=5,a2+a5=12,an=29,则n为?(

(B)14.
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(C)15.
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(D)16.
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(2)(2012年· 新课标全国)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+ a10=?( )

(A)7.

(B)5.

(C)-5.

(D)-7.

【分析】(1)a2+a5不能用等差中项,故用基本量,又已知a3,所以a2+a5= (a3-d)+(a3+2d)=12,求得公差,结合an=29可解.(2)要看清{an}为等比数 列,所以a5a6=a4a7,然后用基本量表示,根据韦达定理构造方程,解方程

得出a4,a7的值,或是解方程组;然后求出q3即可,后面直接用q3,减少计
算量. 【解析】(1)a2+a5=(a3-d)+(a3+2d)=12,得d=2,an=a3+(n-3)d=29,得n=15.

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(2)由题意并根据等比数列的性质得a5a6=a4a7=-8,又a4+a7=2,
4 4 设a4,a7是方程x2-2x-8=0的两根,则解得?或?故q3=-2或-?.当 ? ?

?a ? ?2, ?a7 ? 4
2

?a ? 4, ?a7 ? ?2,

1 2

a4 q3=-2时,a1+a10=?+a7q3=-7;同理可知当q3=-1 时,a1+a10=-7. ? 3 q

故a1+a10=-7,故选D.

【答案】(1)C (2)D 【归纳拓展】关于等差、等比数列的问题,首先应抓住a1、d、q,通 过列方程组来解.此方法具有极大的普遍性,需用心掌握,但有时运算 量较大,熟练运用性质或公式特征量可大幅度简化运算.运用an=am+ (n-m)d和an=amqn-m可减少运算量.方程思想、分类讨论思想是解决数 列的常用思想方法.
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变式训练1 (1)等差数列{an}中,a4=10且a3,a6,a10成等比数列,则数列 {an}前20项的和S20= .

(2)(山东省实验中学2012届高三第四次诊断考试)等差数列{an}中,a4
+a10+a16=30,则a18-2a14的值为
d ?a ?a 3 ? ???35d? 10,(a ? 2d )(a ? 9d ), 即???d d 10, ? ? (a ) ? ad 7 ,
1 1 1

.

【解析】(1)由a4=10和a3,a6,a10成等比数列得:
?
2 1 1 1

?

2

?a1 ? 10, ?a1 ? 7, 解得 ? 或? ?d ? 0, ?d ? 1.

?

?

故S20=200或330.
(2)由a4+a10+a16=30得a10=10,a18-2a14=(a10+8d)-2(a10+4d)=-a10=-10.

【答案】(1)200或330 (2)-10
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?

(1)(山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中)已 )

2 知数列{an}的通项为an=(?)n-1·2?)n-1-1],下列表述正确的是?( [( 3 3

(A)最大项为0,最小项为-?. (B)最大项为0,最小项不存在. (C)最大项不存在,最小项为-?.
20 81

20 81

(D)最大项为0,最小项为a4.

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(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为 . 【分析】(1)先求出数列的前四项,然后确定an+1-an的符号,从而确定 数列的单调性,即可求出数列的最大项和最小项.(2)根据S4≥10,S5≤ 15转化为基本量,减少参数,用一个参数的范围来求a4的范围. 【解析】(1)a1=0,∵当n>1时,0<(? <1,(? -1<0,∴an最大项为a1=0; )n-1 )n-1 a2=(? [(? -1]=-? 3=(? · ? -1]=-?; )2-1 )2-1 ;a )3-1 [( )3-1 a4=(? [(? -1]=-? , )4-1 )4-1
2 3 2 3 2 3 2 3 2 9 2 3 2 3
2 3 2 3

20 81

152 729

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5 3n?1 ? ? 2n 2 2 2 2 2 6 an+1-an=(?n[(?n-1]-(?n-1[(?n-1-1]=(?n-1× ) 3) ) 3) ) . 3 3 3 3n

?

当n≥3时,an+1-an>0;n<3时,an+1-an<0,最小项为a3=-?.故选A.
(2)∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4≥10,S5≤15.
4?3 ? S4 ? 4a1 ? d ? 10, ? ? 2 ∴? 即?? 4 ? S ? 5a ? 5 d ? 15 1 ? 5 2 ?

20 81

?
2

?2a1 ? 3d ? 5, ? ?a1 ? 2d ? 3,

5 ? 3d ∴?≤a1≤3-2d,?5 ? 3d ≤3-2d,d≤1. 2

∴a4=(a1+2d)+d≤3+d≤3+1=4. 故a4的最大值为4.

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【答案】(1)A

(2)4

【归纳拓展】(1)本题主要考查了数列的函数特性,同时考查了计算 能力,属于中档题.求数列的最大最小项,一般可以先研究数列的单调
n 性,可以用? ?

?a ? an?1 , ?an ? an?1 , 或? 也可以转化为函数最值问题或利用数形 an ? an?1 ? ?an ? an?1 ,

?

结合.(2)由已知得出不等式,利用消元思想确定d或a1的范围是解题 的关键;若题干中没有给出不等式,求d的范围,先要列出a1,d的等量关 系,然后应用判别式法或配方法产生不等式.

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变式训练2 (1)(山东省烟台市2012届高三期末检测)已知数列{an} 满足a1=a,an=an+1+2,定义数列{bn},使得bn=? (n∈N*).若4<a<6,则数列
1 an

{bn}的最大项为? ( (A)b2. (B)b3.

) (C)b4. (D)b5.

(2)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满 足S5S6+15=0.①若S5=5,求S6及a1;②求d的取值范围. 【解析】(1)an=a+(n-1)(-2)=-2n+a+2,bn=? ? = a
n

1

1 1 ,解得a= +2n-2, ?2n ? a ? 2 bn

?

∵4<a<6,解得6-2n<? <8-2n,由此可知b3最大,当n≥4时,bn<0.
1 bn

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(2)①由题意知S6=-3,a6=-8,
?5a1 ? 10d ? 5, ∴ ? 解得a1=7,∴S6=-3,a1=7. ?a1 ? 5d ? ?8,

?

a12 ②∵S5S6+15=0,∴2?+9a1d+10d2+1=0,(4a1+9d)2=d2-8,∴d2≥8,故d的取

值范围为d≤-2?2 或d≥2?.2

【答案】(1)B (2)①S6=-3,a1=7 ②d≤-2?2 或d≥2?2

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热点二:数列的通项与求和 数列的通项与求和是高考的热点,主要运用转化思想转化为等差、 等比数列问题.其中求数列通项公式是核心,而求通项公式的常用方

法有:定义法、公式法、累加法、累乘法、转化法等.主要考查性质
的灵活运用及对概念的理解,考查基本技巧与基本思想方法.在求和 问题中,既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律,又 要注意项数.

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?

(1)(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考)如果 )

a2 数列a1,?,a3 ,…,?,…是首项为1,公比为-?的等比数列,则a5等于 ( ? an 2 a1 a2

an ?1

(A)32.

(B)64.

(C)-32.

(D)-64.

(2)(2012年· 新课标全国)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60 项和为 .
a a an ?1 an ?1

n n 【分析】(1)先分析通项? ,? =(-?2 )n-1,用累乘法;(2)列出前几项,观

察规律.
2 【解析】(1)a5=a1×? ? ? ? 1q1+2+3+4=(-?2 )10=32. × a3 × a4 × a5 =a a

a

a

a

a

1

2

3

4

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(2)由题意得,由an+1+(-1)nan=2n-1得an+2=(-1)nan+1+2n+1=(-1)n[(-1)n-1an+2n1]+2n+1=-an+(-1)n(2n-1)+2n+1,

即an+2+an=(-1)n(2n-1)+2n+1,
也有an+3+an+1=-(-1)n(2n+1)+2n+3, 两式相加得an+an+1+an+2+an+3=-2(-1)n+4n+4,设k为整数,则a4k+1+a4k+2+a4k+3 +a4k+4 =-2(-1)4k+1+4(4k+1)+4=16k+10,
? ? 于是S60=?(a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4)=k?(16k+10)=1830. k ?0 ?0
14 14

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【答案】(1)A

(2)1830
a an

n ?1 【归纳拓展】形如an+1-an=f(n),? =f(n),an+1=Aan+B(A≠0,A≠1)等,可

通过累加法,累乘法,待定系数法转化为等差或等比数列求通项.由递 推公式求通项公式,关键是数学式的变形,结合待定系数法进行适当

的构造,或组合转化为等差数列或等比数列解决问题.通项公式是数
列的灵魂,只有抓住它的特征,再去联想常用数列的求和方法,才能快 速解题.

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变式训练3
1 2

求满足下列条件的数列的通项公式:

(1)a1=1,an=?1 +an-1(n≥2,n∈N*); n? (2)a1=1,an+1=3an+2.
1 1 1 1 1 【解析】(1)由已知得an-an-1=?1,用累加法,an-a1=?+?+…+?=1-(?)n-1, 2 n? n?1

2

2

2

2

2

1 得an=2-(?)n-1. 2

(2)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),
n?1 ∴?=3,∴{an+1}为等比数列,公比为3,

a ?1 an ? 1

∴an+1=(a1+1)×3n-1,∴an=2·n-1-1. 3

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专案突破

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决胜高考

?

(2012烟台一模)已知数列{an}是公差为2的等差数列,且

a1+1,a3+1,a7+1成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)令bn=? (n∈N*),记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<? . 2 【分析】(1)利用等比中项列式,转化为求基本量,可求通项;(2)由(1) 求得an,看bn=? 的形式,可用裂项相消法求和. 2
1 an ? 1 1 an ? 1
1 4

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决胜高考

【解析】(1)数列{an}是公差为2的等差数列,a1+1,a3+1,a7+1成等比数 列,a3=a1+4,a7=a1+12. 所以由(a3+1)2=(a1+1)· 7+1)得(a1+5)2=(a1+1)· 1+13), (a (a 解之得a1=3,所以an=3+2(n-1),即an=2n+1.
1 1 (2)由(1)得an=2n+1,∴bn=?=?=?· =?(?-?). ? 1 1 1 2 2

an ? 1 (2n ? 1) ? 1 4 n(n ? 1)

1 1 4 n n ?1

∴Tn=?(1-?+?-?+…+?-?) =?(1-?)=?-?<?.
1 4

1 4

1 2

1 1 2 3

1 1 n n ?1

1 n ?1

1 1 4 4(n ? 1)

1 4

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决胜高考

【归纳拓展】解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”
1 是常用的方法,等差中项,等比中项是常考的考点;若cn=?,数列 an ? bn

{cn}的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”,通项拆 成两项之差求和,正负项相消剩下首尾若干项(注意一般情况下剩下 正负项个数相同). 变式训练4 (北京市东城区2012年1月高三考试)在等差数列{an}中,

a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且
S2 b2+S2=12, q=?. b2

(1)求an与bn;
(2)数列{cn}满足cn=? ,求{cn}的前n项和Tn.
名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考

1 Sn

【解析】(1)设{an}的公差为d,
?b2 ? S2 ? 12, ? ∵ ?q ? S2 , ∴ ? b2 ?

?

?

?q ? 6 ? d ? 12, ? 6?d ? q? . ? q ?

解得q=3或q=-4(舍),d=3.故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.
2 2 n(3 ? 3n) 1 (2)∵Sn=?,∴cn=?=?=?(?-?),1

2

Sn

n(3 ? 3n)

1 3 n n ?1
2 3

∴Tn=?[(1-?)+(?-?)+…+(?-?)]=?(1-?)=?.

2 3

1 2

1 1 2 3

1 1 n n ?1

1 n ?1

2n 3(n ? 1)

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?
1 2

(广东省惠州市2012届高三一模)已知数列{an}满足:a1=

1,a2=? ,且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0 , n∈N*.

(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式; (2)设bn=a2n-1·2n,求数列{bn}的前n项和Sn. a
【分析】(1)由于有(-1)n,可按奇数,偶数进行分类;(2)由bn=a2n-1·2n的形 a 式,可以看出用错位相减法,通项bn的求法是关键.

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【解析】(1)经计算a3=3,a4=? 5=5,a6=? ,a . 当n为奇数时,an+2=an+2,即数列{an}的奇数项成等差数列, ∴a2n-1=a1+(n-1)· 2=2n-1;

1 4

1 8

当n为偶数时,an+2=?n,即数列{an}的偶数项成等比数列, a
∴a2n=a2·? =(? . ( )n-1 )n
(n ?n 为奇数), ? n 因此,数列{an}的通项公式为an= ? 1 2 (n ?( )  为偶数). ? 2
1 2 1 2

1 2

?

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(2)∵bn=(2n-1)·?)n, (1
2 1 1 1 1 ∴Sn=1· +3·?)2+5·?)3+…+(2n-3)·?)n-1+(2n-1)·?)n, ? (1 ( ( ( 2 2 2 2 2



1 1 1 1 1 1 ?Sn=1·?)2+3·?)3+5·?)4+…+(2n-3)·?)n+(2n-1)·?)n+1. ② ( ( ( ( ( 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ①-②得:?Sn=1· +2[(?)1+(?)3+…+(?)n]-(2n-1)·?)n+1 ? 1 ( 2 2 2 2 2 2

1 1 ? [1 ? ( ) n?1 ] 1 1 3 1 2 =?+2 -(2n-1)·?)n+1=?-(2n+3)·?)n+1. ( ( 1 2 2 2 2 1? 2

?

∴Sn=3-(2n+3)·?)n. (1
2

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【归纳拓展】数列是一种特殊的函数,像分段函数一样数列通项可 以分段表示,主要考查等差数列、等比数列的概念.用转化思想把递 推关系式转化为等差等比数列问题是解题的常用方法;若cn=an·n, b
?b ? ?an ?是等差数列,?n ?是等比数列,主要用错位相减法求和.

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决胜高考

变式训练5 3,….

数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2?)an+sin2?,n=1,2,

n? 2

n? 2

(1)求a3,a4,并求数列{an}的通项公式;
2 n? (2)设bn=?1 ,求数列{bn}的前n项和Sn.

a a2 n

【解析】(1)因为a1=1,a2=2,所以a3=(1+cos2? 1+sin2? 1+1=2,a4=(1+ )a =a

? 2

? 2

cos2π)a2+sin2π=2a2=4.
一般地,当n=2k-1(k∈N*)时,a2k+1=[1+cos2? 即a2k+1-a2k-1=1. 所以数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列,因此a2k-1=k.
(2k ? 1)? 2

]a2k-1+sin2? π=a2k-1+1,

2k ? 1 2

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决胜高考

当n=2k(k∈N*)时,a2k+2=(1+cos2? )a2k+sin2? =2a2k. 所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列,因此a2k=2k.
? n ?1 , n ? 2k ? 1(k ? N* ), ? 故数列{an}的通项公式为an= ? n2 ? 2 * ?2 , n ? 2k (k ? N ).

2 k? 2

2 k? 2

?
2

1 2 n a2 n 1 n (2)由(1)知,bn=??=?n,Sn=?+?+33 +…+n?, ① ? 2

a2 n

2

2

2

2

1 n 2 3 ?Sn=1?+3?+?+…+??. ② n 1 2

22

2

24

2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 n 1 n n 2 ①-②得:?Sn=?+2?+3?+…+?-?1 =2 1-?=1-1?-?. n?1 ? 2 2 2 2 n 2n 2n 2 2n ? 2 1? 2 n? 1 n 所以Sn=2-?1-?=2-?n.2 2 2n? 2 n

?

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?

(天津市六校2012届高三第三次联考)已知数列{an}、

{bn}满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1,数列{bn}的前n项和为Sn. (1)求证:数列{? }为等差数列; (2)设Tn=S2n-Sn,求证:Tn+1>Tn. 【分析】(1)用定义证明等差数列是常用方法.此题不容易凑成bn=an1的形式,所以考虑把an=bn+1代入an-1=an?n?1 ? 1?,两边同时除以bnbn+1, ?a 整理成? 的形式可得为等差数列.(2)先求Tn,数列与不等式综合,证明
1 bn 1 bn

不等式可以考虑作差法.

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?a 【解析】(1)由bn=an-1得an=bn+1,代入an-1=an?n?1 ? 1?得bn=?n ? 1? bn+1, ?b

整理得bn-bn+1=bnbn+1.
∵bn≠0,否则an=1,与a1=2矛盾, 从而得? -? =1,
1 1 bn?1 bn

∵b1=a1-1=1 ∴数列{? }是首项为1,公差为1的等差数列.
1 1 1 1 (2)∵?=n,则bn=1?,Sn=1+?+?+…+?.

1 bn

bn

n

2

3

n

∴Tn=S2n-Sn=1+?+?+…+?+?+…+?-(1+?+?+…+?)=?+?+…
1 +?. 2n

1 2

1 3

1 n

1 n ?1

1 2n

1 2

1 3

1 n

1 1 n ?1 n ? 2

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决胜高考

(法一)∵Tn+1-Tn=?+?+…+?-(?+?+…+?) =?+?-?=?-?=?>0, ∴Tn+1>Tn.
1 1 1 1 1 2 n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2 n ? 1 2n ? 2

1 n?2

1 n?3

1 2n ? 2

1 1 n ?1 n ? 2

1 2n

1 (2n ? 1)(2n ? 2)

(法二)∵2n+1<2n+2,∴?>?, ∴Tn+1-Tn>?+?-?=0,
∴Tn+1>Tn.
1 2n ? 2 1 1 2n ? 2 n ? 1

1 1 2 n ? 1 2n ? 2

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决胜高考

【归纳拓展】在解数列问题时,除常用数学思想方法的运用外,还要
特别注意,在解题中一定要有“目标意识”.此题为了出现目标? ,两
1 bn

边同时除以bnbn+1是常用的方法.求证等差数列,可从两个方面出发,一 是等差数列的定义,即证 an+1-an=d;二是等差中项2an=an-m+an+m;数列与 不等式综合,主要应用不等式的证明方法:作差法,放缩法,或转化为 函数的最值问题.

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变式训练6 (2012届广东省中山市四校12月联考)设数列{an}的前n 项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*). (1)求证:数列{an+1}为等比数列; (2)若bn=?
n ,数列{bn}的前n项和为Tn,n∈N*,证明:Tn<2. an?1 ? an

【解析】(1)∵Sn+1=2Sn+n+1,当n≥2时,Sn=2Sn-1+n,
n?1 ?a 两式相减得:an+1=2an+1,∴an+1+1=2? n ? 1? ,即?

a ?1 =2. an ? 1

2 又S2=2S1+2,a1=S1=1,∴a2=3,∴? =2;

a ?1 a1 ? 1

所以?n +1? 是公比为2的等比数列. ?a ?
名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考

(2)由(1)知an=2n-1,∴bn=?1 ?=?. = n? n

?2

n ? 1? ? ? 2 ? 1?

n 2n?1 ? 2n

n 2n

1 n 3 ∴Tn=?+2?+3?+…+?, 2 n 2

2

2

2

1 n 2 ?Tn=1?+3?+…+? 1 +?. ? n?1 n n 2

22

2

2

2

1 1 1 1 n 1 ∴Tn=2(?+?+3?+…+?n-?)=2-n?1 -nn <2. ?? 2 n ?1 2

2

2

2

2

2

2

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热点三:数列的综合应用 数列与其他分支知识的综合应用,一般是以数列与函数、方程、不 等式、三角、解析几何等知识的综合应用为主.解决此类综合问题, 首先要分析出在每个分支中各是什么问题;其次,要把整个大题分解 成若干个小题或“步骤”,使它们成为在各自分支中的基本问题;最 后,分别求解这些小题或步骤,从而得到整个问题的结论.

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?

已知数列{an}中,a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*).

(1)写出a2、a3的值(只写结果),并求出数列{an}的通项公式; (2)设bn=? +? +? +…+?,若对任意的正整数n,当m∈[-1,1]时,不
an?2

1 an ?1

1

1 an?3

1 a2 n

等式t2-2mt+? n恒成立,求实数t的取值范围. >b

1 6

【分析】(1)由递推关系式可知用累加法求通项;(2)对于bn的求法,由
于是分式形式,可以考虑用裂项相消;对于恒成立问题,可以转化为函 数的最值,先判断函数的单调性.

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【解析】(1)∵a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*),∴a2=6,a3=12. 当n≥2时,an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1),…,a3-a2=2×3,a2-a1=2×2, ∴an-a1=2[n+(n-1)+…+3+2], ∴an=2[n+(n-1)+…+3+2+1]=?
2n(n ? 1) =n(n+1). 2

当n=1时,a1=1×(1+1)=2也满足上式, ∴数列{an}的通项公式为an=n(n +1).
1 1 1 1 (2)bn=?+?+…+?=?+?+…+?

an ?1

an?2

a2 n

(n ? 1)(n ? 2)
1 1 2n 2n ? 1

1 (n ? 2)(n ? 3)

1 2n(2n ? 1)

=?-?+?-?+…+?-?

1 1 n ?1 n ? 2

1 1 n?2 n?3

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=?-?=?=?. 2
1 x

1 n 1 1 n ? 1 2n ? 1 2n ? 3n ? 1 (2n ? 1 ) ? 3 n

令f(x)=2x+?(x≥1),则f'(x)=2-?, 2 当x≥1时,f'(x)>0恒成立,∴f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数, 故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=?,要使对任意的正整数n, 当m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+?>bn恒成立,则须使t2-2mt+?>(bn)max=?, 即 t2-2mt>0,对?m∈[-1,1]恒成立,
?t 2 ? 2t ? 0, ∴ ? 2 解得,t>2或t<-2,∴实数t的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞). ?t ? 2t ? 0,
1 6 1 6 1 6 1 6

1 x

?

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决胜高考

另解:bn+1-bn=?-?-?+?=?+?-(?+?) =?-?<0. 2
3n ? 4 3n ? 3 2n ? 5n ? 2 2n2 ? 5n ? 3
1 6

1 1 1 1 1 n ? 2 2 n ? 3 n ? 1 2n ? 1 n ? 2

1 2n ? 1

1 1 2n ? 3 n ? 1

∴数列{bn}是单调递减数列,∴(bn)max=b1=?,要使对任意的正整数n,当 m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+?>bn恒成立,则须使t2-2mt+?>(bn)max=?,即t21 6 1 6 1 6

2mt>0,对?m∈[-1,1]恒成立,
?t 2 ? 2t ? 0, ∴ ? 2 解得,t>2或t<-2,∴实数t的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞). ?t ? 2t ? 0,

?

【归纳拓展】数列是一种特殊的函数,要注意其特殊性:(1)若用导数 研究数列的单调性、最值等,要构造辅助函数,因为导数是对连续函 数定义的;(2)辅助函数的单调性与数列的单调性的联系与区别.

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2 an 变式训练7 (2012· 南昌期末)已知各项均为正数的数列{an}满足??1
2 an =2?+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)令cn=1+? ,记数列{cn}的前n项积为Tn,其中n∈N*,试比较Tn与9的 a
n

n

大小,并加以证明.
2 2 an an 【解析】(1)因为??1=2?+anan+1,即(an+1+an)· n-an+1)=0. (2a

又an>0,所以有2an-an+1=0,所以2an=an+1. 所以数列{an}是公比为2的等比数列. 由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,

故数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).

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决胜高考

(2)构造函数f(x)=ln(1+x)-x(x≥0),则f'(x)=?-1=-?, 当x>0时,f'(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)<f(0)=0,∴ln(1+x)-x<0,

1 1? x

x 1? x

1 n n 所以ln cn=ln(1+?)=ln(1+?)<nn ,所以ln Tn<?22 ?3+?+…+?, ? + 3 n n
n an

2

2

2

2

2

2

1 1 n 1 2 3 n ?1 n 记An=?+22 +3?+…+?,则?A2n=?+?+?+…+??+?, ?3 n 4 n n 1 3 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 1 1 n n?2 所以有An-?An=?12 ?+?+…+?1-?=1-??<1, + 13 n n 1 n? 2 2

2

2

2

2

2

即An<2,所以ln Tn<2,所以Tn<e2<9.

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?

(2012北京房山区一模)在直角坐标平面上有一点列P1
13 4

?x ?x ?x ?1 , y1 ? ,P2? 2 , y2 ? ,…,Pn? n , yn ? ,…,对一切正整数n,点Pn位于函数y=3x+? 的
5 图象上,且Pn的横坐标构成以-? 为首项,-1为公差的等差数列? n ?. ?x 2

(1)求点Pn的坐标; (2)设抛物线列C1,C2,C3,…,Cn,…中的每一条的对称轴都垂直于x轴,第

n条抛物线Cn的顶点为Pn,且过点Dn? n2 ? 1? ,记与抛物线Cn相切于Dn的 ? 0,
1 直线的斜率为kn,求? +? +…+? ; k1k2
1 k 2 k3
1 kn?1kn

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(3)设S=?| x ? 2x n , n ? N*? ,T={y|y=4yn,n∈N*},等差数列?n ?的任一项an∈ ?a ?x S∩T,其中a1是S∩T中的最大数,-265<a10<-125,求{an}的通项公式. 【分析】(1)求点Pn的横坐标,即求等差数列的通项公式;(2)直线与圆 锥曲线相切问题可以用导数的几何意义解决,对于分式求和,用裂项 相消法;(3)数列与集合综合,先求S∩T是入手点.
?? 【解析】(1)xn=-? ? ? 1? ×? 1? =-n-? n=3xn+? +? n ,∴y =-3n-? ,
5 2 3 2

13 4

5 4

∴Pn=(-n-? ? ,-3n- ).

3 2

5 4

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(2)∵Cn的对称轴垂直于x轴,且顶点为Pn,
2n ∴设Cn的方程为:y=a(x+??23?12n ? 5n?代入上式,得a=1, ) - ,把D ? 0, n2 ? 1? 2
4

? 2n ? 3 2 ∴Cn的方程为:y=x2+?x+n?+1,y'=2x+2n+3.

当x=0时,kn=2n+3,
1 1 ∴?=?=?(?-?),1

kn?1kn

(2n ? 1)(2n ? 3)

1 1 2 2n ? 1 2 n ? 3
1 5 7 1 1 7 9

1 1 1 1 1 1 1 ∴?+?+…+?=?[(?-?)+(?-?)+…+(?-?)]

k1k2

k 2 k3

kn?1kn

2

2n ? 1 2 n ? 3

=?(?-?)=10 -?. ?

1 1 1 2 5 2n ? 3

1

1 4n ? 6

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(3)S=?,x ? ? ? 2n ? 3? , n ? N, n ? 1? ?x T=?={y|y=-2(6n+1)-3,n∈N,n≥1}中最大数a1=-17. ?y y ? ? ?12n ? 5? , n ? N, n ? 1? 设?的公差为d,则a10=-17+9d∈?,由此得-?<d<-12, ? ?265, ?125? ?an ? 又∵an∈T,∴d=-12m?,∴d=-24, ? m? N* ? ∴an=7-24n?. N* ? ? n?
248 9

【归纳拓展】数列在日常经济生活中广为应用,如增长率问题、银 行存款利率问题、贷款问题等,都是与等比数列有关.另外,有些实际 问题,可转化为数列问题,注意是求项还是求和,是解方程还是不等式 问题.

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变式训练8

已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)

都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn. (1)求数列{an}的通项公式;
2k (2)若bn=? an,求数列{bn}的前n项和Tn;
n

(3)设Q={x|x=kn,n∈N*},R={x|x=2an,n∈N*},等差数列{cn}的任一项cn ∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,110<c10<115,求{cn}的通项公式.

【解析】(1)∵点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,∴Sn=n2+2n(n
∈N*),当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1.当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列 {an}的通项公式为an=2n+1.

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(2)由f(x)=x2+2x求导可得f'(x)=2x+2, ∵过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn,∴kn=2n+2.
2k ∴bn=?an=4· (2n+1)·n. 4
n

∴Tn=4×3×41+4×5×42+4×7×43+…+4×(2n+1)×4n, ① 由①×4,得4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4×(2n+1)×4n+1. ② ①-②得:-3Tn=4[3×4+2×(42+43+…+4n)-(2n+1)×4n+1]
42 (1 ? 4 n?1 ) =4[3×4+2×?1 ? 4 -(2n+1)×4n+1],

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

∴Tn=?·n+2-?. 4

6n ? 1 9

16 9

(3)∵Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*},∴Q∩R=R. 又∵cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,∴c1=6. ∵{cn}的公差是4的倍数,∴c10=4m+6(m∈N*). 又∵110<c10<115,∴?解得m=27. ? *
?110 ? 4m ? 6 ? 115, ?m ? N ,

10 1 所以c10=114,设等差数列的公差为d,则d=?=?=12,

c ?c 10 ? 1

114 ? 6 9

∴cn=6+(n-1)×12=12n-6,所以{cn}的通项公式为cn=12n-6.

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

限时训练卷(一) 一、选择题 1.在等比数列?n ?中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8等于? ( ?a (A)95. (B)100. (C)135. (D)80.
3 2

)

?a ?a 【解析】a3+a4=?1 ? a2 ? q2=40q2=60,q2=? 7+a8=?3 ? a4 ? q4=135. ;a

【答案】C

名师诊断

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决胜高考

2.(广东省惠州市2012届高三第三次调研)公差不为零的等差数列{an} 中,a1+a2+a3=9,且a1,a2,a5成等比数列,则数列{an}的公差为?( )

(A)1.

(B)2.

(C)3.

(D)4.

2 a2 ?a ?a 【解析】由已知得a2=3,?=a1a5=9,即?2 ? d ? ?2 ? 3d ?=9,解得d=2.

【答案】B

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

3.(广东省惠州市2012届高三一模)公差不为零的等差数列{an}的前n

项和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于? (
(A)18. (B)24. (C)60. (D)90.

)

2 a4 【解析】由?=a3a7得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d)得2a1+3d=0,

再由S8=8a1+?d=32得2a1+7d=8,则d=2,a1=-3, 所以S10=10a1+?d=60.故选C. 【答案】C
90 2

56 2

名师诊断

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对点集训

决胜高考

4.(广东省执信中学2012届高三3月测试)设等差数列?n ?的前n项和为 ?a

Sn,若a1=-11,a3+a7=-6,则当Sn取最小值时,n等于? (
(A)9. (B)8. (C)7. (D)6.

)

【解析】a3+a7=-6,a5=-3,d=2,Sn=n2-12n,当Sn取最小值时,n等于6. 【答案】D

名师诊断

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决胜高考

5.数列?n的首项为3,??bn ? 为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b2=12, ?a ? 则a8等于?( )

(A)0.

(B)-109.

(C)-181.

(D)121.

7 ? b1 ? b7 ? 7 【解析】d=-14,an+1-an=bn,a8-a1=b1+b2+…+b7=? =? 2 2
?? b ? 2 ? d ? ? ? b2 ? 5d ?? =-112,则a8=-109. ? ?

【答案】B

名师诊断

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对点集训

决胜高考

6.在等差数列{an}中,a3+a8+a13=m,其前n项和Sn=5m,则n等于? ( (A)7. (B)8. (C)15.
3

)

(D)17.
2

15 ? a ? a ? m 【解析】a3+a8+a13=m,得a8=? 15=? 1 15 =15a8=5m. ,S

【答案】C

名师诊断

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对点集训

决胜高考

7.(2012北京西城区期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a2+a5=0,

则下列式子中数值不能确定的是? (
5 (A)? .

)
S Sn

a a3

5 (B)? . S 3

S

n ?1 (C)? .

a an

n?1 (D)? .

a5 S 5 1 ? q 5 Sn?1 1 ? q n?1 3 【解析】 a =q =-8,q=-2, S = 1 ? q 3 ; = ,数值由n来决定. Sn 1 ? qn 2 3

?

?? ? ?

【答案】D

名师诊断

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决胜高考

8.(北京市西城区2012年4月联考)设等比数列{an}的各项均为正数, 公比为q,前n项和为Sn.若对?n∈N*,有S2n<3Sn,则q的取值范围是( )

(A)(0,1].

(B)(0,2).

(C)[1,2).

(D)(0,?2 ).

a1 (1 ? q n ) a1 (1 ? q 2 n ) 【解析】当q≠1时,∵S2n<3Sn,∴ 1 ? q <3× 1 ? q ,∴qn<2.

?

?

当q>1时,n<logq2对?n∈N*恒成立,∴logq2>nmax不成立,∴舍去;

当0<q<1时,n>logq2对?n∈N*恒成立,∴logq2<nmin,∴logq2<1,即0<q<
2,又0<q<1, ∴0<q<1. 当q=1时,S2n=2Sn<3Sn成立,∴综上可得:0<q≤1.故选A. 【答案】A
名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考

9.(山东省枣庄市2012届高三上学期期末)数列?n ?中a1=a,a2=b,且满 ?a

足an+1=an+an+2,则a2012的值为? (
(A)b. (B)b—a. (C)—b.

)
(D)—a.

【解析】经验证得周期为6,a2012=a335×6+2=a2=b. 【答案】A

名师诊断

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决胜高考

二、填空题

10.已知{an}为等比数列,且a3+a6=36,a4+a7=18,若an=? ,则n=

1 2

.

?a1 ? 128, ? 【解析】设an=a1qn-1,a3+a6=36,a4+a7=(a3+a6)q=18,解之得 ? 1 进而an ?q ? 2 , ? =128·? ,由an=128·? =? ( 1 )n-1 ( 1)n-1 1,解得n=9. 2 2 2

?

【答案】9

名师诊断

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对点集训

决胜高考

n 11.已知Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,且? ? (n∈N+), =

S Tn

2n ? 1 4n ? 2

则?10 +?11 =
a b3 ? b18 a b6 ? b15
a b3 ? b18 a b6 ? b15

.
a ? a11 a1 ? a20 S 20 41 = = =?. b1 ? b20 b1 ? b20 T20 78

10 【解析】?10 +?11 =?

?

?

【答案】?

41 78

名师诊断

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决胜高考

12.已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9则数列{an} 的通项公式为 .

【解析】设等差数列{log2(an-1)}的公差为d, 由a1=3,a3=9,得log2(a3-1)=log2(a1-1)+2d,解得d=1, 所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1. 【答案】an=2n+1

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决胜高考

三、解答题
?a 13.已知数列? n ?是首项a1=? 的等比数列,其前n项和Sn中S3、S4、S2成
1 4

等差数列. (1)求数列?n ?的通项公式; ?a
g1 a (2)设bn=lo??n ,求和:Tn=? +? +…+? .
2

1 b1b2
3 4

1 b2b3

1 bnbn?1

【解析】(1)若q=1,则S3=? 4=1,S2=? ,S ,显然S3、S4、S2不构成等差数 列.
a1 (1 ? q 4 ) a1 (1 ? q3 ) a1 (1 ? q 2 ) ∴q≠1,由S3、S4、S2成等差数列得2· 1 ? q = + 1? q , 1? q

1 2

?

?

?

名师诊断

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决胜高考

∴2q4=q3+q2 ?2q2-q-1=0?(2q+1)(q-1)=0, ∵q≠1,∴q=-? , ∴an=? ? =(-? . · )n-1 ()n+1
g1 a g (? )n?1 (2)∵bn=lo??n=lo?1?=n+1,
2 2

1 2

1 4

1 2

1 2

1 2

1 1 ∴?=?=?-?.

bnbn?1

(n ? 1)(n ? 2)

1 1 n ?1 n ? 2
1 2 3 1 3 4

1 1 1 1 1 ∴Tn=?+?+…+?1 ?-?)+(?-?)+…+(?-?)=?-?. =(
b1b2

b2b3

bnbn?1

1 n ?1 n ? 2

1 1 2 n?2

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决胜高考

限时训练卷(二) 一、选择题
2 an 1.数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2Sn+1+?,a2=-1,则数列{an}的首项为?

(

) (B)±1. (D)2或-1.

(A)1或-2. (C)±2.

a12 【解析】由S1=2S2+?,得a1=1或-2.

【答案】A

名师诊断

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对点集训

决胜高考

2n ? 1 321 2.在数列{an}中,an=? ,若它的前n项和Sn=? ,则n等于? 2n 64

(

)

(A)3.

(B)4.

(C)5.

(D)6.

2n ? 1 321 1 1 【解析】an=? =1-?,Sn=? =n-(1-?),代人验证得n=6. 2n 2n 2n 64

【答案】D

名师诊断

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决胜高考

3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+? ),则an等于? ( (A)2+ln n. (C)2-ln n. (B)3+ln n. (D)3-ln n.
1 1
1 2

1 n

)

【解析】a2=a1+ln(1+? 3=a2+ln(1+? ),a ),…,an=an-1+ln(1+? )?an=a1+ln
2 (?3 · · ? )=2+ln n. ·? ?4 …· n 1 2 3

1 n ?1

n ?1

【答案】A

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

4.在数列{an}中,a1=1,an+1=?n (n∈N*),则? 是这个数列的第( (A)4. (B)5. (C)6.
an ?1
1 an

2a an ? 2

2 7

)项.

(D)7.
1 2
1 an

1 1 【解析】由已知得?=?+?,∴{?}是以?=1为首项,公差d=?的等

a1

1 2

差数列.

∴? =1+(n-1)· ,∴an=? =? ? ,∴n=6. a
n

1

1 2

2 2 n ?1 7

【答案】C

名师诊断

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对点集训

决胜高考

n 5.已知数列{an}满足a1=0,an+1=?

a ? 3 (n∈N*),则a20等于? 3an ? 1

(

)

(A)0.

3 (B)-? .

3 (C)? .

(D)2.

n 【解析】由a1=0,an+1=?

a ? 3 (n∈N*),得a2=-?3 ,a3=?3 ,a4=0,…,由此可 3an ? 1

3 知: 数列{an}是周期变化的,且周期为3,所以a20=a2=-? .

【答案】B

名师诊断

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对点集训

决胜高考

6.数列{an}的通项公式为an=2n+1,令bn=? 项和为? ( (A)?
n ?1 . 2( n ? 2)

1 ,则数列{bn}的前n a1 ? a2 ??? an

) (B)? . (D)? -?
2

n ?1 n?2

(C)? -?

2n ? 3 3 . 2 (n ? 1)(n ? 2)

2n ? 3 3 . 4 2(n ? 1)(n ? 2)

【解析】bn=? ? 2n ? 1 =? n ?3 ? n ? n ? 2?
1
? =? ? ? ?
1 1 2?n

1 ? ?, n?2? 1? 1 1 1 ? ? 故Tn=?1 ? ? ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? ?

?

=? -?

3 2n ? 3 . 4 2(n ? 1)(n ? 2)

【答案】D
名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考

7.设{an}是正项数列,其前n项和Sn满足:4Sn=(an-1)(an+3),则数列{an}的

通项公式an等于? (
(A)2n+1. (B)2n-1.

)
(C)2n-1. (D)2n+1.

?a ?a ?a 【解析】由4Sn=(an-1)(an+3)得4Sn-1=?n?1 ? 1??n?1 ? 3? ,两式相减得?n ? an?1 ?

?a ?n ?n ? an?1 ? 2? =0,又{an}是正项数列,∴an-an-1-2=0? ? 2? ,则数列{an}为等差

数列,a1=3,an=2n+1. 【答案】D

名师诊断

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决胜高考

8.已知数列{an}的通项公式an=log3? (n∈N*),设其前n项和为Sn,则使

n n ?1

Sn=-4 的自然数n等于? (
(A)83. (B)82.
1 2 ?

)
(D)80.
?

(C)81.
n

? 【解析】Sn=log3? 3 ??? n ? 1 ? =log3? ,即log3? =-4,? =? ,n=80. ? ? ? 81 2

1 n ?1

1 n ?1

1 n ?1

1

【答案】D

名师诊断

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对点集训

决胜高考

9.在数列{an}中,an=4n-? 1+a2+…+an=an2+bn,n∈N*,其中a,b为常数, ,a 则ab等于? ( (A)2. (B)1. ) (C)-2. (D)-1.

5 2

3 5 n( ? 4n ? ) 5 3 n 【解析】∵an=4n-? 1=? ,∴a 2 ,从而Sn= 2 2 2 =2n2-? . 2 2

?

∴a=2,b=-? ,则ab=-1.
【答案】D

1 2

名师诊断

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对点集训

决胜高考

二、填空题

10.数列{an}中,a1=? n+1=? ,a

1 2

nan (n∈N+),则数列{an}的前2012项的 (n ? 1)(nan ? 1)

和为
【解析】?
nan

.
1 1 1 - =1,∴{ }是公差为1,首项为2的等差数列,∴ nan (n ? 1)an?1 nan

?

?

1 1 2012 ? =n+1,an=?1 ,S2012=1-? =? .

n ? n ? 1?

2013

2013

【答案】?

2012 2013

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决胜高考

11.已知数列{an}满足an+1=?n+? 1=? a ,且a ,则{an}的通项公式为 . 【解析】an+1-? ? n-? n-? 1-? (? ,an=? ? . = (a ),a =(a )· )n-1 +3( )n-1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 4

7 2

【答案】an=? ? +3( )n-1

1 2

1 2

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决胜高考

n 12.对于正项数列?,定义Hn=?,若Hn=?,则数列{an} ?an ?

的通项公式为

2 n?2

a1 ? 2a2 ? 3a3 ??? nan

.

【解析】∵? ①

n ? n ? 2? 2 n =? ,∴a1+2a2+3a3+…+nan=?2 , a1 ? 2a2 ? 3a3 ??? nan n ? 2

? n ? 1?? n ? 1? n ? 1? an-1=? ? a1+2a2+3a3+…+? , 2



由①-②得nan=? ,所以an=? . 【答案】an=?
2n ? 1 2n

2n ? 1 2

2n ? 1 2n

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决胜高考

三、解答题

13.(2012广东惠州)已知函数f(x)=? ,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n ∈N*). (1)证明数列{? }是等差数列,并求数列{an}的通项公式; a
n

x 3x ? 1

1

(2)记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,求Sn. 【解析】(1)由已知得an+1=?n 即? -? =3, a
a 3an ? 1
1 1 an ?1 n

∴数列{? }是首项为1,公差为3的等差数列. a
n

1

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决胜高考

1 ∴?=1+3(n-1)=3n-2,即an=?(n∈N*).
1 an

3n ? 2

(2)∵anan+1=?=?(?-?),

1 (3n ? 2)(3n ? 1)

1 1 1 3 3n ? 2 3n ? 1
1 1? 4

∴Sn=a1·2+a2·3+…+an·n+1=?+?+…+?=?[(1-?)+(?-?) a a a
1 1 1 1 +…+(?-?)]=?(1-?)=?. 3n ? 2 3n ? 1

1 4? 7

1 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

1 3

1 4

1 1 4 7

3

3n ? 1

n 3n ? 1

名师诊断

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对点集训

决胜高考

限时训练卷(三) 一、选择题 1.(浙江省温州市2012年2月高三第一次适应性测试)已知数列{an}满
7 足a1=5,anan+1=2n,则? 等于? (

a a5

) (D)? .
5 2

(A)2.

(B)4.

(C)5.

26 26 2 6 a7 【解析】a7= a ,? a a =? = =2. a5 25 6 5 6

?

?

【答案】A

名师诊断

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对点集训

决胜高考

n 2.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n,?)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象

S n

上,则数列{an}的通项公式为? ( (A)3n-2. (B)6n-2.
S n

) (D)6n-5.
S n

(C)? n-2.

3 2

n n 【解析】(n,? )在y=3x-2的图象上,故? =3n-2,Sn=n(3n-2),从而求出an=

6n-5. 【答案】D

名师诊断

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决胜高考

3.(山东省济宁一中2012届高三第三次定时检测)已知函数y=loga(x-1) +3(a>0,a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项
1 与第三项,若bn=? an ? an?1

,数列{bn}的前n项和为Tn,则T10等于? (
(C)1. (D)? .
12 11

)

(A)? .

9 11

(B)? .

10 11

【解析】定点为? ? ,则a2=2,a3=3,d=1,an=n, ? 2,3 bn=?
1 1 1 10 1 1 = =? ,T10=1-? ?. -? = 11 11 an ? an?1 n ? n ? 1? n n ? 1

?

【答案】B

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决胜高考

4.(广东省深圳高级中学2010届高三一模)数列{an}前n项和为Sn,已知 a1=? ,且对任意正整数m,n,都有am+n=am·n,若Sn<a恒成立,则实数a的最 a 小值为? ( (A)? .
1 3
2 3

1 3

) (C)? .
1 3
3 2

(B)? .

(D)2.

【解析】当m=1时,an+1=ana1=?n,则数列为等比数列, a
1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 n 1 1 1 3 3 Sn= [1-( 3 ) [1-( 3 ) 3 . 1 =? ? ]≥? ? ]=? 2 2 1? 3

?

【答案】A

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决胜高考

5.(浙江省杭州十四中2012年2月高三月考)设Sn为数列?的前n项和, ?an ?
S2n 若??是非零常数,则称该数列?为“和等比数列”.若数列 ?an ? ? n? N* ? Sn

?? d ? 0? ?bn是首项为6,公差为d??的等差数列,且数列?是“和等比数列”, ?bn ?

则d等于?(

)

(A)4.

(B)5.
2

(C)6.

(D)12.
2

2n ? b ? b ? n ?b ? b ? n S2n ? ?6 【解析】S2n=? 1 2 n =n? ? ? 2n ? 1? d ? ,Sn=?1 n =?6 ? ? n ? 1? d ? ,设?=k ? ? ? ? ?

2

Sn

?4d ? kd , k ? 0? ,则4dn+12-2d=kdn+6k-kd,即 ? ? ? 解得d=6. 12 ? 2d ? 6k ? kd , ?

?

【答案】C

名师诊断

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决胜高考

1 ? 2an ,(0 ? an ? ), ? 6 ? 2 6.数列{an}满足an+1= ? 若a1=? 2012的值为? ,则a 1 7 ?2a ? 1,( ? a ? 1), n ? n 2 ?

?
6 7

(

)

(A)? .

3 7

(B)? .
5 7

5 7

(C)? .

(D)? .
3 7 6 7 5 7

2 7

【解析】a2=2a1-1=? 3=2a2-1=? 4=2a3=? ,a ,a ,…,故周期为3,a2012=a2=? . 【答案】B

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决胜高考

7.已知{an}是首项为a,公差为1的等差数列,数列{bn}满足bn=? n ,若 对任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,则实数a的取值范围是? (
?? (A)?8, ?7 ? . ?? (B)?7, ?6? .

1? a an

)

?? (C)?8, ?6? .

?? (D)?6, ?5? .

? a8 ? 0, 1 1 【解析】恒有bn≥b8成立,即? ? ≥ ,∵d=1为递增数列,∴ ?a ? 0, 即a∈ an a8 ? 9

?

?? ?8, ?7 ? .

【答案】A

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决胜高考

8.已知函数f(x)=3x2+bx+1是偶函数,g(x)=5x+c是奇函数,正数数列{an}
2 an 满足a1=1,f(an+an+1)-g(an+1an+?)=1,则数列{an}的通项公式为? (

)

(A)(? . )n-1
(C)(? . )n-1
3 5

2 3

(B)(? . )n-1
(D)2n-1.

5 3

【解析】f(x)是偶函数?b=0?f(x)=3x2+1,g(x)是奇函数?c=0?g(x)=
a 5x,f(an+an+1)-g(an+1·n+?)=1?3(an+an+1)2+1-5(an+1an+?n2)=1?(an+an+1)[3 a an2
n? (an+an+1)-5an]=0?3(an+an+1)=5an??1=? n}是等比数列?an=(?n-1 ?{a )

a an

2 3

2 3

(n∈N*). 【答案】A

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9.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(x-3)=f(x),f(-2)=-3,数列
? ?an ?满足a1=-1,且an=2an-1-1,则f(a5)+f(a6)等于? (

)

(A)3.

(B)-2.

(C)-3.

(D)2.

【解析】an=2an-1-1,即an-1=2(an-1-1)(n≥2),an=1-2n,f(x-3)=f(x),∴周期为
3,∴f(-31)=f(-33+2)=f(2)=3;f?63?=f? ?=0. ?? ?0 ∴f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=3. 【答案】A

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二、填空题

10.已知{an}是递增数列,且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立,则实数

λ的取值范围是

.
λ 2 3 2

【解析】数列{an}是递增数列,且an=n2+λn,则-? ? ≤ ,故λ≥-3.
【答案】[-3,+∞)

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x x 11.已知函数f(x)=cos?· ??-?)·cos(π-?),将函数f(x)在(0,+∞)的所有 cos( x 4

2 4

2

极值点从小到大排成一数列,记为{an}.数列{an}的通项公式为 .
1 1 x x x x 【解析】f(x)=cos?· x?(-cos?)=-?sin?· 1 ?=-?x ? x,f‘?= sin cos ? sin

4

4

2

2

2

2

4

4

-

? cos x,由cos x=0,得x=kπ+?.
2

∴函数f(x)在(0,+∞)的所有极值为:??,?,…,? ,
∴数列{an}的通项公式为an=? 【答案】an=?
(2n ? 1)? 2 (2n ? 1)? 2

? 3? 5? 2 2 2

(2n ? 1)? ,…… 2

.

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12.已知数列{an}中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥ 3),则数列{an}的通项公式为 .

【解析】由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3),即an=an-1+2n-1(n≥3), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=2n-1+2n-2+…+22+5=2n-1+2n-2+…+22 +2+1+2=2n+1(n≥3). 检验知n=1、2时,结论也成立,故an=2n+1. 【答案】an=2n+1

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三、解答题
2 Rn 13.(广东省佛山市2012年高三质检一)设n∈N*,圆Cn:x2+y2=? (Rn>0)与

x y轴正半轴的交点为M,与曲线y=? 的交点为N(xn,yn),直线MN与x轴的

交点为A(an,0). (1)用xn表示Rn和an; (2)若数列{xn}满足:xn+1=4xn+3,x1=3. ①求常数p的值使数列{an+1-p·n}成等比数列; a ②比较an与2·n的大小. 3

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【解析】(1)y=?x 与圆Cn交于点N,
2 2 2 x Rn xn yn xn 则?2 =? +? =? +xn,Rn=?n2 ? xn ,

x 由题可知,点M的坐标为(0,Rn),从而直线MN的方程为 a n
n 由点N(xn,yn)在直线MN上得:? ? + n =1. a n

y ? ?=1, + R
n

x

y Rn

1 x x 将Rn=?n2 ? xn ,yn=? n 代入化简得:an=1+xn+? ? xn .

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(2)由xn+1=4xn+3得:1+xn+1=4(1+xn), 又1+x1=4,故1+xn=4·n-1=4n,∴an=4n+?4n n+2n. 4 =4

①an+1-p·n=4n+1+2n+1-p· n+2n)=(4-p)·n+(2-p)·n, a (4 4 2
an+2-p·n+1=4n+2+2n+2-p· n+1+2n+1)=(16-4p)·n+(4-2p)·n. a (4 4 2 令an+2-p·n+1=q(an+1-p·n)得: a a (16-4p)·n+(4-2p)·n=q(4-p)·n+q(2-p)·n. 4 2 4 2 由等式(16-4p)·n+(4-2p)=q(4-p)·n+q(2-p)对任意n∈N*成立得: 2 2

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?16 ? pq ? ?? 4 p ? q解得:),?或?8, ?? (4 ? p ? ? ?4 ? 2 p ? q(2 ? p)

? p ? q ? 6,

? p ? 2, ? ?q ? 4

? p ? 4, ? ?q ? 2.

故当p=2时,数列{an+1-p·n}成公比为4的等比数列; a
当p=4时,数列{an+1-p·n}成公比为2的等比数列. a ②由①知:an=4n+2n,当n=1时,a1=41+21=6=3·1; 2 当n≥2时,an=4n+2n>2·n. 3 事实上,令f(x)=(x+1)n-xn(x>0),则f'(x)=n· [(x+1)n-1-xn-1]>0, 故f(x)=(x+1)n-xn(x>0)是增函数, ∴f(3)>f(2)即:4n-3n>3n-2n,即an=4n+2n>2·n. 3 综上所述,当n=1时,an=2·n,当n≥2时,an>2·n 3 3

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一、选择题
1.(2012年4月北京市海淀区高三一模)在等比数列{an}中,a1=8,a4=a3a5, 则a7等于?( )
1 8

(A)? . 16

1

(B)? .

(C)? .

1 4

(D)? .
1 8 1 8

1 2

a4 【解析】a4=a3a5=?2 ,得a4=1,q3=? 7=a4q3=? ,a .

【答案】B

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2.(山东省潍坊市重点中学2012届高三2月月考)在等差数列{an}中,a9 =?12+6,则数列{an}前11项的和S11等于? ( a (A)24. (B)48.
1 2

1 2

)

(C)66.
1 2

(D)132.
11? 2a6 =132. 2

?a 【解析】由a9=?12+6,得a6+3d=? 6 ? 6d ? +6,a6=12,则S11=? a ?

【答案】D

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?a 3.(天津市六校2012届高三第三次联考)在等差数列?n ?中,4?3 ? a4 ? a5 ? ?a

+3(a6+a8+a14+a16)=36,那么该数列的前14项和为? ( (A)20. (B)21. (C)42. (D)84.

)

?a ?a 【解析】由4?3 ? a4 ? a5 ?+3?6 ? a8 ? a14 ? a16 ?=36,得12a4+12a11=36,即a4+a11
14 ? a ? a ? =3,则S14=? 1 14 =7(a4+a11)=21. 2

【答案】B

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4.(山东省青岛市2012届高三期末检测)等差数列?n ?中,已知a1=-6,an= ?a 0,公差d∈N*,则n? ? 3? 的最大值为? ( ?n (A)7. (B)6. (C)5. (D)8.
6 d

)

?n 【解析】an=a1+? ? 1? d=0,n=1+? ,当d=1时,n取最大值7.

【答案】A

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5.(黑龙江省哈尔滨市第六中学2012届高三第一次模拟)已知数列
n ?1 ? ? ?b ?an ?,?n ?满足a1=b1=1,an+1-an=? =2,n∈N*,则数列?ba ? 的前10项和为?

b bn

n

(
1 3

) (B)?410 ? 1? . ? ?
4 3

(A)? 10 ? 1? . ? ?4 (C)? 9 ? 1?. ? ?4
1 3

(D)?49 ? 1?. ? ?
4 3
n-1

【解析】an=2n-1,bn=2 ,S10=b1+b3+b5+…+b19=? ? 4 1
【答案】A

1? ?1 ? 410 ?

=?410 ? 1? . ? ?
1 3

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6.(2012北京市朝阳区一模)已知数列?n ?的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n ?a ∈N*),则a5等于? ( (A)-16. (B)16. ) (C)31. (D)32.
an ?1

an 【解析】由Sn=2an-1,得Sn-1=2an-1-1,两式相减得?=2?n ?5=a1×24=16. ? ,a 2?

【答案】B

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7.(山东省济宁一中2012届高三第三次定时检测)各项均为正数的等

比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于? ( (A)80. (B)30. (C)26. (D)16.
2

)

?S ?14 【解析】Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…,仍成等比数列,?2n ? 2 ? =2×? ? S2n ?,得

S2n=6;?3n ? S2n ?2 =?2n ? Sn ? ?4n ? S3n ? ,得S4n=30. ?S ?S ?S 【答案】B

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8.已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,其公比q≠1,且bi>0(i=1,2,…, n),若a1=b1,a11=b11,则? ( )

(A)a6>b6.
(C)a6<b6.

(B)a6=b6.
(D)a6≤b6.
b q

6 【解析】2a6=a1+a11=b1+b11=? 6q5≥2b6,又q≠1,故a6>b6. 5 +b

【答案】A

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9.(2012北京市房山区一模)设集合W由满足下列两个条件的数列{an} 构成:
an ①?? an?2 ;②存在实数M,使an≤M(n为正整数).在以下数列(1) <an+1 2
1 4 ? ? 2n ? 9 ? n ;(2) ?2 ? 1??;(3)?;(4){1-2 ? }中属于集合W的数列编号为?( ?n ? ? ? ? ? ? 2n ? ? ? 2n ? 11?

)

(A)(1)(2). (C)(2)(3).

(B)(3)(4). (D)(2)(4).
4 ? ?

? 【解析】?2 ? 1?、? n ? 不满足①. ?n ?2 ? ?

【答案】D

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10.已知an=log(n+1)(n+2),(n∈N*),我们把使乘积a1·2·3· an为整数的 a a …· 数n叫做“劣数”,则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为? ( (A)1024. (B)2003. (C)2026. (D)2048. )

lg ? n ? 2 ? lg ? n ? 2 ? lg 3 lg 4 【解析】an=log(n+1)(n+2)=?,则a1·2·3· an=?×?×…×? a a …· lg 2 lg 3 lg ? n ? 1? lg ? n ? 1? lg ? =?n ? 2 ? (n+2),若为整数,则n+2=2m,m∈Z,则n=2m-2,m=2,3,4,…,10, =log
lg 2
2

则所有n的和为:? ? 2 -18=2026. 1 【答案】C

22 ?1 ? 29 ?

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11.(2012年· 四川)设函数f(x)=2x-cos x,{an}是公差为?的等差数列, f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,则[f(a3)]2-a1a5等于?( )

? 8

(A)0.

(B)? 2. π 16

1

(C)?2. π

1 8

(D)? 2. π 16

13

【解析】(法一)依题意,f'(x)=2+sin x>0,f(x)是在R上的增函数, 且f(π-x)+f(x)=2π,f(x)的图象关于点(? ,π)对称; 又{an}是公差为? 的等差数列,且f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,
于是有a1+a5=π,2a1+4×?=π,a1=?,a3=?,a5=?,f(a3)=f(?)=π-cos ?=π,[f(
13 a3)]2-a1a5=?π2,选D. 16

? 2

? 8

? 8

? 4

? 2

3? 4

? 2

? 2

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(法二)f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(cos a1+cos a2+ cos a3+cos a4+cos a5)=5π. 猜想cos a1+cos a2+cos a3+cos a4+cos a5=0,① 则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=5a1+10×? ?,解得a1=? = .
? 8
5? 2

? 4

现验证①式是否成立:
cos a1+cos a2+cos a3+cos a4+cos a5 =cos? ?+cos? ?+cos? +cos +cos 8
? 4
3? 8

? 2

5?

3? 4

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=?+cos?+0-cos?-?=0,
? ? 2 ? 3? 13? 2 ? ? 2 故猜想成立.故a3=? ? ? +2× = ,∴[f(a3)] -a1a5=[f(? -? ?=? . )] × 16 8 2 4 2 4 4

2 2

3? 8

3? 8

2 2

【答案】D

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12.(山东省淄博一中2012届高三上学期期末检测)数列{an}满足a1=1,
1 a2=?,并且an(an-1+an+1)=2an+1an-1(n≥2),则数列{an}的第2012项为? 2

(
1 2

)

(A)? . 100

(B)? . 2012
2

1

(C)? .

1 2012

(D)? .
1 an ?1 1 an ?1
2 1

1 100

【解析】an(an-1+an+1)=2an+1an-1(n≥2),展开整理得? +? =? ? ,故{ a }为 a
n n

等差数列,公差为?? ? ? ? ? 1?×1=n,∴a2012=? . - =1, = + ? n
1 1 a2 a1 1 an

1 a1

1 2012

【答案】C

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二、填空题

13.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9= 【解析】S9=72,即a1+a9=16,a5=8,
?a ?a ?a a2+a4+a9=?5 ? 3d ? +?5 ? d ? +?5 ? 4d ?=3a5=24.

.

【答案】24

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13 14.已知递增的等比数列{an}中,a2+a8=3,a3·7=2,则?= a a 10

a

.

【解析】a3·7=a2·8=2,则a2,a8是方程x2-3x+2=0的两根,∴a2=1,a8=2,q3 a a
13 =?2 ,?=q3=?2 .

a a10

2 【答案】?

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15.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为 xn,令an=lg xn,则a1+a2+…+a99的值为 .

【解析】由导数的几何意义得切线的斜率为n+1,切线方程为:y=
? ? 1? x-n,xn= ?n

1 2 99 1 n n ?1 ,an=lg xn=lg?1 ,a1+a2+…+a99=lg(? ? 100 )=lg? =-2. × …×? 2 3 100 n? n?

【答案】-2

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16.已知数列{an}满足a1=?,an+1-an=2n,则当n= 值.

25 4

n 时,? 取得最小 n

a

n 【解析】迭加得an=n2-n+?,? ?-1,n=3时取得最小值. =n+ n

25 a 4

25 4n

【答案】3

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三、解答题

17.(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)在数列{an}中,a1=
2,点(an,an+1)(n∈N*)在直线y=2x上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=log2an,求数列{?
1 }的前n项和Tn. bn ? bn?1
a an

n ?1 【解析】(1)由已知得an+1=2an,所以? =2,又a1=2,

?a 所以数列?n ?是首项为2,公比为2的等比数列,

所以an=a1·n-1=2n(n∈N*). 2

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(2)由(1)知,an=2n,所以bn=log2an=n,
1 所以?=?=?-?, n ? (n ? 1)
1 1 1 2
1 1 2 3

1 bn ? bn?1

1 1 n n ?1

所以Tn=(?-?)+(?-?)+(?-?)+…+(?-?)=1-?=?.

1 1 3 4

1 1 n n ?1

1 n n ?1 n ?1

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18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且S1,2S2,3S3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=an+n,求数列{bn}的前n项和Tn. 【解析】(1)设数列{an}的公比为q, 若q=1,则S1=a1=1,2S2=4a1=4,3S3=9a1=9,故S1+3S3=10≠2×2S2,与已知矛 盾,故q≠1,
a1 (1 ? q n ) 1 ? q n 从而得Sn= = , 1? q 1? q

?

?

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由S1,2S2,3S3成等差数列,得S1+3S3=2×2S2,
1 ? q3 1 ? q2 1 1 n-1 即1+3× 1 ? q =4× 1 ? q ,解得q=? ,所以an=a1·n-1=(? . q ) 3 3

?

?

(2)由(1)得,bn=an+n=(?)n-1+n,
所以Tn=(a1+1)+(a2+2)+…+(an+n)
1 1 ? ( )n (1 ? n)n =Sn+(1+2+…+n)= 3 +?=?. 1 2 1? 3

1 3

?

3 ? n ? n 2 ? 31?n 2

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19.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*. (1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围. 【解析】(1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,Sn+1-3n+1=2(Sn-3n). 因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.①
(2)由①知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)×2n-13n-1-(a-3)×2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2[12·?)n-2+a-3], ( 3
2

当n≥2时,an+1≥an?12·?)n-2+a-3≥0?a≥-9.又a2=a1+3>a1. (3
2

综上,所求的a的取值范围是[-9,+∞).

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20.(广东省佛山一中2012届高三上学期期中)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式;
n (2)求数列{?1 }的前n项和. n?

a 2

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得

?

?a1 ? d ? 0, ? ?2a1 ? 12d ? ?10,

1 解得? ?

?a ? 1, 故数列{an}的通项公式为an=2-n. d ? ?1, ?

an an a2 (2)设数列{?1}的前n项和为Sn,即Sn=a1+?+…+??, n? n 1 2

2

2



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决胜高考

S a ?=a1 +?+…+?, ② ? a2
n

2

2

4

2

n n

Sn an ? a2 ? a1 1 当n≥2时,①-②得?=a1+?+…+?-??an?1 an +?+…+?)-?1 =1-(? 1 12 n n 1 n? 2

2

2

2

2

2

2

2?n 2n

2? 1 =1-(1-?1)-? n n n?

2

2

n =?. n 2

n 所以Sn=?1. n? 2

由于S1=a1=1,满足上式.
an n 综上,数列{?1}的前n项和为Sn=??1 . n? n 2 2

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21.在数列?n ?中,a1=2,an+1=2an-n+1,n∈N*. ?a
?a (1)证明数列?n ? n?是等比数列;

?a (2)设Sn是数列?n ?的前n项和,求使2Sn>Sn+1的最小n值.

【解析】(1)由已知 a1-1=1≠0
n ?1 ?a 由 an+1=2an-n+1,得an+1-(n+1)=2? n ? n ? ,∴?

a

? (n ? 1) =2, an ? n

?a ∴?n ? n? 是等比数列.
n( (2)由(1)知:an-n=2n-1,∴an=2n-1+n,Sn=2n-1+?n, ? 1) 2
n2 ? n ? 4 2Sn-Sn+1=?>0,使2Sn>Sn+1的最小n值为3. 2

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22.定义数列{an}:a1=1,a2=2,且对任意正整数n,有an+2=[2+(-1)n]an+(-1)n+1 +1.求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.

【解析】对任意正整数k,a2k+1=[2+(-1)2k-1]·2k-1+(-1)2k+1=a2k-1+2, a a2k+2=[(2+(-1)2k]a2k+(-1)2k+1+1=3a2k. 所以数列{a2k-1}是首项a1=1,公差为2的等差数列;数列{a2k}是首项为a2 =2,公比为3的等比数列. 对任意正整数k,a2k-1=2k-1,a2k=2×3k-1.

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? n, n为奇数, ? 所以数列{an}的通项公式为an= ? n ?1 ? 2 ? 3 2 , n为偶数. ?

?

对任意正整数k,S2k=(a1+a3+…+a2k-1)+(a2+a4+…+a2k)
k (1 ? 2k ? 1) 2(1 ? 3k ) =? +? =3k+k2-1. 1? 3 2

S2k-1=S2k-a2k=k2+3k-1-2×3k-1=3k-1+k2-1,
? ? n21 n2 ? 2n ? 3 , n为奇数, ?3 ? ? 4 所以数列{an}的前n项和为Sn= ? n 2 ?3 2 ? n ? 1, n为偶数. ? 4 ?

?

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