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2011-2012学年福建省福州市八县(市)一中高二(下)期中数学试卷(文科)


2011-2012 学年福建省福州市八县(市)一中高二 (下)期中数学试卷(文科)

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2011-2012 学年福建省福州市八县(市)一中高二 (下)期中数学试卷(文科)
一、选择题(每小题只有一个正确选项:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1. 分) (5 (2006?北京)在复平面内,复数 A.第一象限 B.第二象限 ) C.知识结构图 D.组织结构图 对应的点位于( ) D.第四象限

C.第三象限

2. 分)要描述一工厂的组成情况,应用( (5 A.程序框图 B.工序流程

3. 分)有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b?平面 α,直线 a? (5 平面 α,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a”的结论显然是错误的,这是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4. 分)两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R 如下,其中拟合效果最好 (5 的模型是( ) 2 2 A.模型 1 的相关指数 R 为 0.98 B. 模型 2 的相关指数 R 为 0.80 C. 模型 3 的相关指数 R2 为 0.50 D.模型 4 的相关指数 R2 为 0.25 5. 分)a≠0 是复数 z=a+bi(a,b∈R)不为纯虚数的( (5 ) A.充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 分)下列命题中真命题的个数是( (5
4 2 2



①?x∈R,x >x ; ②若“p∧q”是假命题,则 p,q 都是假命题; 3 2 3 2 ③命题“?x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“?x∈R,x ﹣x +1>0”. A.0 B.1 C.2 7. 分)设集合 (5 A.{x|0≤x<3} B.{0,1,2}

D.3 ,则 A∩B 等于( )

C.{0,1,2,3} )

D.{x|0≤x≤3}

8. 分)如图,当 a=6,b=9,p=8.5 时,c 等于( (5

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A.7

B.8

C.10

D.11

9. 分)假设有两个分类变量 X 与 Y 的 2×2 列联表如下: (5 y1 Y X a b x1 c d x2 对于以下数据,对同一样本能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为( ) A.a=5,b=4,c=3,d=2 B.a=5,b=3,c=4,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 y2

D.a=2,b=3,c=5,d=4

10. 分)设 a,b,c 都是实数.已知命题 p:{a,b,c}∈{x|x?{a,b,c}}.命题 q:若 a>b>0,c≠0,则 ac>bc.则 (5 下列命题中为真命题的是( ) A.(¬p)∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.p∧(¬q) 11. 分)下列说法正确的个数是( (5 ) ;

①若(2x﹣1)+i=y﹣(3﹣y)i,其中 x∈R,y∈C.则必有 ②2+i>1+i; 2 2 ③若(x ﹣1)+(x +3x+2)i 是纯虚数,则实数 x=±1; ④若 A.0 12. 分)已知: (5 B.1 ,则 z1=z2=z3. C.2 ,观察下列运算:

D.3 , 则当 a1?a2?…?ak=2012

时,自然数 k 为( A.22012+2

) B.22012 C.22012﹣2 D.22012﹣4

二、填空题(把答案写在题中的横线上,每小题 4 分,共 16 分) 13. 分)已知复数 z1=1﹣i,|z2|=3,那么|z1﹣z2|的最大值是 _________ . (4
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www.jyeoo.com 14. 分)设全集 U 是实数集 R,M={x|x >4},N={x|1<x<3},则图中阴影部分所表示的集合是 (4 _________ .
2

15. 分)如图 SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,过 A 做 SB 的垂线,垂足为 E,过 E 做 SC 的垂线,垂足为 F,求证 (4 AF⊥SC.以下是证明过程: 要证 AF⊥SC 只需证 SC⊥平面 AEF 只需证 AE⊥SC(因为 EF⊥SC) 只需证 AE⊥平面 SBC 只需证 _________ (因为 AE⊥SB) 只需证 BC⊥平面 SAB 只需证 _________ (因为 AB⊥BC) 由只需证 SA⊥平面 ABC 可知上式成立 所以 AF⊥SC 把证明过程补充完整① _________ ② _________ .

16. 分)某棋赛采用单循环赛(每两名选手均比赛一盘)方式进行,并规定:每盘胜者得 1 分,负者得 0 分,平 (4 局各得 0.5 分.今有 8 名选手参加这项比赛,已知他们的得分互不相等,且按得分从高到低排名后,第二名选手的 得分是最后四名选手的得分之和.以下给出五个判断: ①第二名选手的得分必不多于 6 分; ②第二名选手的得分必不少于 6 分; ③第二名选手的得分一定是 6 分; ④第二名选手的得分可能是 6.5 分; ⑤第二名选手的得分可能是 5.5 分. 其中正确判断的序号是 _________ (填写所有正确判断的序号) . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 17. (12 分)已知复数 z 满足:|z|=1+3i﹣z,求 的值.

18. (12 分)用反证法证明:如果 x<﹣1,那么 x ﹣6x﹣4≠0. 19. (12 分)随着生活水平的提高,越来越多的人参与了潜水这项活动.某潜水中心调查了 100 名男姓与 100 名女 姓下潜至距离水面 5 米时是否会耳鸣,如图为其等高条形图:
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①绘出 2×2 列联表; ②利用独立性检验方法判断性别与耳鸣是否有关系?若有关系,所得结论的把握有多大? 20. (12 分)机器按照模具生产的产品有一些也会有缺陷,我们将有缺陷的产品称为次品,每小时出现的次品数随 机器运转速度的不同而变化.下表为某机器生产过程的数据: 速度 x(百转/秒) 每小时生产次品数 y(个) 2 30 4 40 5 50 6 60 8 70 ①求机器运转速度与每小时生产有缺点的产品数之间的回归方程. ②若实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过 75 件,那么机器的速度每秒不超过多少百转?(写出满 足的整数解) . 21. (12 分)集合 A={x|x ﹣2x﹣3≤0,x∈R}B={x|x ﹣2mx+m ﹣4≤0,x∈R,m∈R}. ①若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; ②若 A?CRB,求实数 m 的取值范围; ③若 m=3,试定义一种新运算 A△ B,使 A△ B={x|3<x≤5}. 22. 分) (14 为了求函数 y=x , 函数 x=1, 轴围成的曲边三角形的面积 S, x 古人想出了两种方案求其近似解 (如图) : 第一次将区间[0,1]二等分,求出阴影部分矩形面积,记为 S2;第二次将区间[0,1]三等分,求出阴影部分矩形面 积,记为 S3;第三次将区间[0,1]四等分,求出 S4…依此类推,记图 1 中 Sn=an,图 2 中 Sn=bn,其中 n≥2. (1)求 a2,a3,a4; (2)求 an 的通项公式,并证明 ;
2 2 2 2

(3)求 bn 的通项公式,类比第②步,猜想 bn 的取值范围.并由此推出 S 的值(只需直接写出 bn 的范围与 S 的值, 无须证明) . 参考公式: .

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2011-2012 学年福建省福州市八县(市)一中高二 (下)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题只有一个正确选项:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1. 分) (5 (2006?北京)在复平面内,复数 A.第一象限 B.第二象限 对应的点位于( ) D.第四象限

C.第三象限

考点: 复数代数形式的混合运算. 分析: 复数分母实数化,再化简即可. 解答: 解: =
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故选 D. 点评: 本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内的点的对应关系,是基础题. 2. 分)要描述一工厂的组成情况,应用( (5 A.程序框图 B.工序流程 ) C.知识结构图 D.组织结构图

考点: 结构图. 分析: 组织结构图形象地反映了组织内各机构、岗位上下左右相互之间的关系.组织结构图是组织结构的直观反 映,也是对该组织功能的一种侧面诠释. 解答: 解:∵组织结构图是最常见的表现雇员、职称和群体关系的一种图表, 它形象地反映了组织内各机构、岗位上下左右相互之间的关系. 组织结构图是组织结构的直观反映,也是对该组织功能的一种侧面诠释. ∴要描述一工厂的组成情况,应用组织结构图. 故选 D. 点评: 本题考查组织结构图,是一个基础题,解题时抓住工序流程图的特点和作用,选出正确的答案,本题不用 运算,是一个送分题.
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3. 分)有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b?平面 α,直线 a? (5 平面 α,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a”的结论显然是错误的,这是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 考点: 演绎推理的基本方法;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 阅读型. 分析: 本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系,在使用三段论推理证明中,如果命题是错误 的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小前提”错误,也可能是逻辑错误,我们分析:“直线平行于平面, 则平行于平面内所有直线;已知直线 b?平面 α,直线 a?平面 α,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a”的推 理过程,不难得到结论. 解答: 解:直线平行于平面,则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直. 故大前提错误. 故选 A
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www.jyeoo.com 点评: 演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来 讲就是:若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 中所有元素都具有性质 P.三段论的 公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出 了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断 结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而,只要前提是真实的, 推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论. 4. 分)两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R 如下,其中拟合效果最好 (5 的模型是( ) A.模型 1 的相关指数 R2 为 0.98 B. 模型 2 的相关指数 R2 为 0.80 C. 模型 3 的相关指数 R2 为 0.50 D.模型 4 的相关指数 R2 为 0.25 考点: 相关系数. 专题: 常规题型. 2 分析: 两个变量 y 与 x 的回归模型中,它们的相关指数 R ,越接近于 1,这个模型的拟合效果越好,在所给的四 个选项中 0.98 是相关指数最大的值,得到结果. 解答: 解:两个变量 y 与 x 的回归模型中,它们的相关指数 R2,越接近于 1, 这个模型的拟合效果越好, 在所给的四个选项中 0.98 是相关指数最大的值, ∴拟合效果最好的模型是模型 1. 故选 A. 点评: 本题考查相关指数,这里不用求相关指数,而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果,这种题目解题 的关键是理解相关指数越大拟合效果越好.
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2

5. 分)a≠0 是复数 z=a+bi(a,b∈R)不为纯虚数的( (5 ) A.充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 复数的基本概念;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 常规题型. 分析: 由于复数 z=a+bi(a,b∈R)不为纯虚数,则 a≠0 或 a=b=0, 又由于若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件,故得结论. 解答: 解:由于复数 z=a+bi(a,b∈R)不为纯虚数,则 a≠0 或 a=b=0, 由于 a≠0 时复数 z=a+bi(a,b∈R)不为纯虚数,但反之不成立. 故 a≠0 是复数 z=a+bi(a,b∈R)不为纯虚数的充分不必要条件.故选 A. 点评: 本题考查的判断充要条件的方法,我们可以根据充要条件的定义进行判断 ①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关 系.
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6. 分)下列命题中真命题的个数是( (5 ) 4 2 ①?x∈R,x >x ; ②若“p∧q”是假命题,则 p,q 都是假命题; 3 2 3 2 ③命题“?x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“?x∈R,x ﹣x +1>0”. A.0 B.1 C.2 考点: 命题的否定;四种命题的真假关系. 专题: 阅读型.

D.3

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www.jyeoo.com 分析: 要说明一个命题不正确,举出反例即可①当 x=0 时不等式不成立,②根据复合命题真值表可知,“p∧q”是假 命题,只需两个命题中至少有一个为假即可;③全称命题的否定是特称命题,既要对全称量词进行否定, 又要否定结论,故正确. 解答: 解:易知①当 x=0 时不等式不成立,对于全称命题只要有一个情况不满足,命题即假; ②错,只需两个命题中至少有一个为假即可; ③正确,全称命题的否定是特称命题, 即只有一个命题是正确的, 故选 B. 点评: 此题是个基础题.考查命题的否定和复合命题的真假判定方法等基础知识,考查学生对基础知识的记忆和 理解.

7. 分)设集合 (5 A.{x|0≤x<3} 考点: 专题: 分析: 解答: B.{0,1,2}

,则 A∩B 等于( C.{0,1,2,3}



D.{x|0≤x≤3}

交集及其运算. 计算题. 一个函数的定义域求出集合 A,函数的值域求出集合 B,然后求解 A、B 的交集. 解:由题意可得集合 A={0,1,2,3,4},B={y|0≤y<3},所以 A∩B={0,1,2}. 故选 B. 点评: 本题考查函数的定义域与函数的值域的求法,交集的运算,考查计算能力.
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8. 分)如图,当 a=6,b=9,p=8.5 时,c 等于( (5



A.7

B.8

C.10

D.11

考点: 程序框图. 专题: 阅读型. 分析: 题目给出了 a、b 的值,从输出的结果看出程序执行的是条件结构中判断框后的否路径,把 b,p 代入算式 求 c. 解答: 解:输入的是 a=6,b=9,则 ,因为输出的 p=8.5,所以输出的是 ,即执行的是条件结构
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判断框的否路径, 所以 ,也就是 ,所以 c=8.

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www.jyeoo.com 故选 B. 点评: 本题考查了程序框图中的条件结构,满足条件执行“是”路径,不满足条件执行“否”路径,属基础题. 9. 分)假设有两个分类变量 X 与 Y 的 2×2 列联表如下: (5 y1 Y X a b x1 c d x2 对于以下数据,对同一样本能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为( ) A.a=5,b=4,c=3,d=2 B.a=5,b=3,c=4,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 y2

D.a=2,b=3,c=5,d=4

考点: 独立性检验的应用. 专题: 图表型. 分析: 当 ad 与 bc 差距越大,两个变量有关的可能性就越大,检验四个选项中所给的 ad 与 bc 的差距,前三个选项 都一样,只有第四个选项差距大,得到结果. 解答: 解:根据观测值求解的公式可以知道, 当 ad 与 bc 差距越大,两个变量有关的可能性就越大, 检验四个选项中所给的 ad 与 bc 的差距: A:ad﹣bc=10﹣12=﹣2, B:ad﹣bc=10﹣12=﹣2, C:ad﹣bc=10﹣12=﹣2, D:ad﹣bc=8﹣15=﹣7, 前三个选项都一样, 只有第四个选项差距大, 故选 D. 点评: 这样的做法可以粗略的判断两个变量之间的关系,可以画出三维柱形图和二维条形图来判断,要想知道两 者之间的有无关系的可信程度,只能用独立性检验的有关计算.
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10. 分)设 a,b,c 都是实数.已知命题 p:{a,b,c}∈{x|x?{a,b,c}}.命题 q:若 a>b>0,c≠0,则 ac>bc.则 (5 下列命题中为真命题的是( ) A.(¬p)∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.p∧(¬q) 考点: 复合命题的真假. 专题: 阅读型. 分析: 判断四个选项的真假,首先判断命题 p 和 q 的真假,对于 p,因为{x|x?{a,b,c}}={?,{a},{b},{c}, {a,c},{a,b},{b,c},{a,b,c}},所以命题 p 为真命题, 对于 q,若 a>b>0,c<0,则 ac>bc 不成立,所以命题 q 为假命题. 解答: 解:因为{x|x?{a,b,c}}={?,{a},{b},{c},{a,c},{a,b},{b,c},{a,b,c}},所以命题 p 为真命 题, 则¬p 假; 若 a>b>0,c<0,则 ac>bc 不成立,所以命题 q 为假命题,则¬q 真. 因为¬p 假,q 假,所以(¬p)∨q 假; 因为 p 真 q 假,所以 p∧q 假; 因为¬p 假,¬q 真,所以(¬p)∧(¬q)假; 因为 p 真,¬q 真,所以 p∧(¬q)真. 故选 D. 点评: 本题考查了复合命题的真假判断,解答的关键是掌握判断复合命题真假的方法,复合命题的真值表:
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11. 分)下列说法正确的个数是( (5

) ;

①若(2x﹣1)+i=y﹣(3﹣y)i,其中 x∈R,y∈C.则必有 ②2+i>1+i; 2 2 ③若(x ﹣1)+(x +3x+2)i 是纯虚数,则实数 x=±1; ④若 A.0 B.1 ,则 z1=z2=z3. C.2

D.3

考点: 命题的真假判断与应用. 分析: ①由于 y∈C,则可设 y=a+bi, (a,b∈R) ,又由复数相等知,实部与实部相等,虚部与虚部相等,进而得到 结论; ②由于复数不等比较大小,则此结论不正确; ③由于复数为纯虚数,则实部为零且虚部不为零,解出即可; ④从正面无法证明时,举出个范例亦可. 解答: 解:①由于 x∈R,y∈C,则可设 y=a+bi, (a,b∈R) , 又由(2x﹣1)+i=y﹣(3﹣y)i,则(2x﹣1)+i=a+bi﹣(3﹣a﹣bi)i=(a﹣b)+(a+b﹣3)i.
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,故①不正确;

②由于复数不等比较大小,故②不正确; ③由于(x ﹣1)+(x +3x+2)i 是纯虚数,则
2 2

,解得 x=1,故③不正确;

④反例:当 z1=1,z2=1+i,z3=i 时,满足

,但 z1≠z2≠z3,故④也不正确.

故答案选 A. 点评: 本题考查的知识点是,判断命题真假,比较综合的考查了复数的相关概念及复数运算,我们可以根据复数 的有关知识对四个结论逐一进行判断,可以得到正确的结论.

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www.jyeoo.com 12. 分)已知: (5 ,观察下列运算: , 则当 a1?a2?…?ak=2012 时,自然数 k 为( A.22012+2 考点: 专题: 分析: 解答: ) B.22012 C.2
2012

﹣2

D.2

2012

﹣4

类比推理. 计算题;函数的性质及应用.
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利用对数的运算性质,化简 a1?a2?…?ak,即可求得结论. 解:∵ ,

∴a1?a2?…?ak= ∵a1?a2?…?ak=2012 ∴
2012

=2012

∴k+2=2 2012 ∴k=2 ﹣2 故选 C. 点评: 本题考查类比推理,考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用,属于中档题. 二、填空题(把答案写在题中的横线上,每小题 4 分,共 16 分) 13. 分)已知复数 z1=1﹣i,|z2|=3,那么|z1﹣z2|的最大值是 (4



考点: 复数求模;复数代数形式的加减运算. 分析: 根据题意,易得 z2 表示的点为以原点为圆心,r=3 的圆,再分析|z1﹣z2|的几何意义,由点与圆的位置关系, 分析可得|z1﹣z2|的最大值,即可得答案. 解答: 解:根据题意,有|z2|=3, 则 z2 表示的点为距离原点距离为 3 的点, 即以原点为圆心,r=3 的圆, 那么|z1﹣z2|的几何意义为圆上的点与点(﹣1,1)的距离, 设 C(﹣1,﹣1) 由点与圆的位置关系,分析可得|z1﹣z2|的最大值是 OC+r, 即 3+ , 故答案为 3+ .
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www.jyeoo.com 点评: 本题考查复数的模,注意根据题意分析其几何意义,进而结合图形分析,得到距离或距离的最值. 14. 分)设全集 U 是实数集 R,M={x|x >4},N={x|1<x<3},则图中阴影部分所表示的集合是 (4 {x|1<x≤2} .
2

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 计算题. 分析: 欲求出图中阴影部分所表示的集合,先要弄清楚它表示的集合是什么,由图知,阴影部分表示的集合中的 元素是在集合 N 中的元素但不在集合 M 中的元素组成的,即 N∩CUM. 解答: 解:由图可知,图中阴影部分所表示的集合是 N∩CUM, 2 又 CUM={x|x ≤4}={x|﹣2≤x≤2}, ∴N∩CUM={x|1<x≤2}. 故答案为:{x|1<x≤2}. 点评: 本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、二次不等式、不等式的解法等基础知识,属于基础题.
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15. 分)如图 SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,过 A 做 SB 的垂线,垂足为 E,过 E 做 SC 的垂线,垂足为 F,求证 (4 AF⊥SC.以下是证明过程: 要证 AF⊥SC 只需证 SC⊥平面 AEF 只需证 AE⊥SC(因为 EF⊥SC) 只需证 AE⊥平面 SBC 只需证 ① (因为 AE⊥SB) 只需证 BC⊥平面 SAB 只需证 ② (因为 AB⊥BC) 由只需证 SA⊥平面 ABC 可知上式成立 所以 AF⊥SC 把证明过程补充完整① AE⊥BC ② BC⊥SA .

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与平面垂直的判定;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判定. 证明题;空间位置关系与距离. 根据线面垂直的判定,只需证明直线垂直于平面内的两条相交直线,由此可得结论. 解:根据线面垂直的判定,要证明 AE⊥平面 SBC,因为 AE⊥SB,所以只需证 AE⊥BC,即①为 AE⊥BC; 要证 BC⊥平面 SAB,因为 AB⊥BC,所以只需证 BC⊥SA,即②为 BC⊥SA 故答案为 AE⊥BC;BC⊥SA. 点评: 本题考查线面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
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www.jyeoo.com 16. 分)某棋赛采用单循环赛(每两名选手均比赛一盘)方式进行,并规定:每盘胜者得 1 分,负者得 0 分,平 (4 局各得 0.5 分.今有 8 名选手参加这项比赛,已知他们的得分互不相等,且按得分从高到低排名后,第二名选手的 得分是最后四名选手的得分之和.以下给出五个判断: ①第二名选手的得分必不多于 6 分; ②第二名选手的得分必不少于 6 分; ③第二名选手的得分一定是 6 分; ④第二名选手的得分可能是 6.5 分; ⑤第二名选手的得分可能是 5.5 分. 其中正确判断的序号是 ①②③ (填写所有正确判断的序号) . 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题. 分析: 由题意知每个选手和其他七位各赛一场且得分互不相等, 第二名得分不可能是 6.5 分, 因为必须 6 胜 1 平才 能是 6.5 分,但这是不可能的,他必须输给第一名,又第二名选手的得分恰好是最后四名选手的得分之和且 8 名选手总得分是 28 分,故第二名得分不可能是 5.5 分,得到结果. 解答: 解:由题意知每个选手和其他七位各赛一场. ∵得分互不相等,第二名得分不可能是 6.5 分, 因为必须 6 胜 1 平才能是 6.5 分,但这是不可能的, 因为他必须输给第一名,故排除④,选择①. 又第二名选手的得分恰好是最后四名选手的得分之和且 8 名选手总得分是 28 分, 故第二名得分不可能是 5.5 分, 因为此时第 5 至第 8 名总得分也是 5.5 分, 那么第 3 和第 4 名总得分是 28﹣5.5×2=17 分, 平均高出第二名,不符合按得分从高到低排名, 故排除⑤,选择②, 综合①②可以推得③成立, 故答案为:①②③ 点评: 本题是一个按照所给的条件,根据事实推出符合实际情况的结论,本题要仔细分析,主要从第二名入手, 本题是一个中档题.
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三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 17. (12 分)已知复数 z 满足:|z|=1+3i﹣z,求 的值.

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 设 z=a+bi, (a,b∈R) ,代入条件|z|=1+3i﹣z,利用 2 个复数相等的条件解出复数 z,再把复数 z 代入要求的 式子,利用复数代数形式混合运算法则进行求值. 解答: 解:设 z=a+bi, (a,b∈R) ,而|z|=1+3i﹣z,
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www.jyeoo.com 点评: 本题考查用待定系数法和复数相等的条件求复数的值,及复数代数形式的混合运算. 18. (12 分)用反证法证明:如果 x<﹣1,那么 x ﹣6x﹣4≠0. 考点: 反证法与放缩法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 假设 x2﹣6x﹣4=0,则 ,可得 2 设错误,故 x ﹣6x﹣4≠0 成立. 解答: 证明:因为已知 x<﹣1,假设 x2﹣6x﹣4=0,则
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2

, …(2 分)

,都与已知 x<﹣1 相矛盾,故假

容易看出 ,与已知条件矛盾. …(5 分) 下面证明 . ∵ ,故 ,也与已知条件矛盾. 2 综上可得,假设错误,故 x ﹣6x﹣4≠0 成立. 点评: 本题主要考查用反证法证明数学命题,推出矛盾,是解题的关键和难点,属于中档题. 19. (12 分)随着生活水平的提高,越来越多的人参与了潜水这项活动.某潜水中心调查了 100 名男姓与 100 名女 姓下潜至距离水面 5 米时是否会耳鸣,如图为其等高条形图:

①绘出 2×2 列联表; ②利用独立性检验方法判断性别与耳鸣是否有关系?若有关系,所得结论的把握有多大? 考点: 独立性检验的应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: ①由男女生各 100 人及等高条形图可知耳鸣的男生,耳鸣的女生的人数及无耳鸣的男生,无耳鸣的女生的 人数,从而可绘出 2×2 列联表; 2 ②由公式计算 K 的观测值,与临界值比较,可得结论. 解答: 解: ①由男女生各 100 人及等高条形图可知耳鸣的男生有 100×0.3=30 人, 耳鸣的女生有 100×0.5=50 人 … (2 分) ∴无耳鸣的男生有 100﹣30=70 人,无耳鸣的女生有 100﹣50=50 人 …(4 分) 所以 2×2 列联表如下:…(6 分) 有耳鸣 无耳鸣 总计 30 70 100 男 50 50 100 女 80 120 200 总计
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②由公式计算 K 的观测值: 所以我们有 99.5%的把握认为耳鸣与性别有关系…(12 分) 点评: 本题考查独立性检验,考查 2×2 列联表,考查学生的计算能力,属于基础题.

2

…(10 分)

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www.jyeoo.com 20. (12 分)机器按照模具生产的产品有一些也会有缺陷,我们将有缺陷的产品称为次品,每小时出现的次品数随 机器运转速度的不同而变化.下表为某机器生产过程的数据: 速度 x(百转/秒) 每小时生产次品数 y(个) 2 30 4 40 5 50 6 60 8 70 ①求机器运转速度与每小时生产有缺点的产品数之间的回归方程. ②若实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过 75 件,那么机器的速度每秒不超过多少百转?(写出满 足的整数解) . 考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: ①先计算 , , ,
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,再利用公式,即可求得回归直线方程;

②利用回归直线方程,建立不等式,即可求得机器的速度. 解答: 解:① = (2+4+5+6+8)=5, = (30+40+50+60+70)=50,

=2 +4 +5 +6 +8 =145,

2

2

2

2

2

=2×30++4×40+5×50+6×60+8×70=1390





,…(7 分)

∴回归直线方程为



…(8 分)

②若实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过 75 件,则 即 7x+15≤75 解得 x≤8.57…(10 分) ∴实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过 75 件,那么机器的速度应每秒不超过 8 百 转 …(12 分) 点评: 本题考查回归直线方程,考查学生的计算能力,考查利用数学知识解决实际问题,属于中档题. 21. (12 分)集合 A={x|x ﹣2x﹣3≤0,x∈R}B={x|x ﹣2mx+m ﹣4≤0,x∈R,m∈R}. ①若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; ②若 A?CRB,求实数 m 的取值范围; ③若 m=3,试定义一种新运算 A△ B,使 A△ B={x|3<x≤5}. 考点: 一元二次不等式的解法;交、并、补集的混合运算. 专题: 新定义. 分析: ①根据一元二次不等式的解法, A, 集合中的不等式进行因式分解, 对 B 从而解出集合 A, 再根据 A∩B=[0, B, 3],求出实数 m 的值; ②由(1)解出的集合 A,B,因为 A?CRB,根据子集的定义和补集的定义,列出等式进行求解; ③m=3 时,A={x|﹣1≤x≤3}, ,B={x|1≤x≤5},验证可得{x|x∈B 且 x?A},B∩CUA 均等于集合{x|3<x≤5}一, 可获得新运算. 解答: 解:由已知得:A={x|﹣1≤x≤3},B={x|m﹣2≤x≤m+2}.
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www.jyeoo.com ①∵A∩B=[0,3],∴ ∴m=2 ②CRB={x|x<m﹣2,或 x>m+2},∵A?CRB, ∴m﹣2>3,或 m+2<﹣1, ∴m>5,或 m<﹣3. ③若 m=3,则 A={x|﹣1≤x≤3}, ,B={x|1≤x≤5}. 可得集合{x|x∈B 且 x?A}={x|3<x≤5}; 集合 B∩CUA={x|3<x≤5}. 故可定义 A△ B={x|x∈B 且 x?A},或 A△ B=B∩CUA 点评: 此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算,一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是 高考中的常考内容,属基础题. 22. 分) (14 为了求函数 y=x , 函数 x=1, 轴围成的曲边三角形的面积 S, x 古人想出了两种方案求其近似解 (如图) : 第一次将区间[0,1]二等分,求出阴影部分矩形面积,记为 S2;第二次将区间[0,1]三等分,求出阴影部分矩形面 积,记为 S3;第三次将区间[0,1]四等分,求出 S4…依此类推,记图 1 中 Sn=an,图 2 中 Sn=bn,其中 n≥2. (1)求 a2,a3,a4; (2)求 an 的通项公式,并证明 ;
2

,∴



(3)求 bn 的通项公式,类比第②步,猜想 bn 的取值范围.并由此推出 S 的值(只需直接写出 bn 的范围与 S 的值, 无须证明) . 参考公式: .

考点: 进行简单的演绎推理. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)利用题设条件,根据矩形面积公式,能够求出 a2,a3,a4.
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(2)仔细观察 a2,a3,a4 的表示式,能够得到 an.再由 能够证明证明 .



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www.jyeoo.com (3) = ﹣1) (n﹣1+1) (2n﹣2+1) ,由此能够推导出 bn 的取值范围.并由此推出 S 的值. 解答: 解: (1) , , a4= (2)an= = …(9 分) .…(7 分) = . (n

(3) (n﹣1) (n﹣1+1) (2n﹣2+1) (n﹣1) (2n﹣1) ,

= =

∴S= . 点评: 本题考查曲边三角形面积的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意类比推理的合理运用.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:zlzhan;caoqz;qiss;贾照兰;翔宇老师;yhx01248;lcb001;sxs123;lincy;涨 停;danbo7801;394782;lily2011(排名不分先后)
菁优网 2013 年 3 月 1 日

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