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高中数学人教A版选修2-2课件:2.3 数学归纳法


2.3 数学归纳法

1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

1.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 第一步,归纳奠基:证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立. 第二步,归纳递推:假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.

【做一做 1】 用数学归纳法证明 1+a+a2+…+an+1=
1-+2 (≠1),在验证当 n=1 1-

时,等式左边为(

)

A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 解析:因为左边式子中 a 的最高指数是 n+1,所以当 n=1 时,a 的 最高指数为 2,根据左边式子的规律可得,当 n=1 时,左边=1+a+a2. 答案:C

(

【做一做 2】 若 Sk= + + + ? + , 则k + 1 为 +1 +2 +3 2 ) 1 1 1 A.Sk+ B. + +
2+2 1 1 C.Sk+ ? 2+1 2+2 1 1

1

1

1

1

解析:由题意知式子右边各分数的分母是连续正整数,则由 Sk= +1 + +2 + ? + 2 , ①
1 1 1

2+1 2+2 1 1 D. + ? 2+2 2+1

得 Sk+1= +2 + +3 + ? + 2 + 2+1 + 2(+1) . ②
1 1 1 由②-①,得 Sk+1-Sk= + ? 2+1 2(+1) +1 1 1 故 Sk+1=Sk+ 2+1 ? 2(+1) , 故选C.

1

1

1

=

1 1 ? . 2+1 2(+1)

答案:C

2.数学归纳法的框图表示

1.如何理解数学归纳法? 剖析:数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法, 证明分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”;第二 步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”.运用数学归纳法证明有关 命题应注意以下几点: (1)两个步骤缺一不可. (2)在第一步中,n的初始值不一定从1开始,也不一定只取一个数 (有时需取n=n0,n0+1等),证明时应视具体情况而定. (3)在第二步中,证明当n=k+1命题成立时,必须使用假设,否则就 会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系,造成推理无效. (4)证明当n=k+1命题成立时,要明确求证的目标形式,一般要凑出 假设里给出的形式,以便使用假设,然后再去凑出当n=k+1时的结论, 这样就能有效减少论证的盲目性.

2.运用数学归纳法要注意哪些? 剖析:正确运用数学归纳法应注意以下几点: (1)找准起点. 数学归纳法的第一个步骤是要找一个数n0,这个n0就是我们要证 明的命题对象的最小正整数,这个正整数并不一定都是“1”,因此“找 准起点”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题. (2)递推是关键. 数学归纳法的实质在于递推,所以从“n=k”到“n=k+1”的过程,必 须把归纳假设“n=k”命题成立作为条件来导出“n=k+1”时命题成立. 在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次.

(3)正确寻求递推关系. 我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求 递推关系呢? ①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对 发现递推关系是有帮助的. ②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n 处在哪个位置. ③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中 的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.

题型一

题型二

题型三

题型四

用数学归纳法证明等式

【例 1】 用数学归纳法证明
1 14 1 19 1 116

1 · …· 1- 2

=

+1 (≥2,n∈N*). 2

分析:第一步先验证等式成立的第一个值 n0;第二步在假设 n=k 等式成立的基础上,等式左边加上 n=k+1 时新增的项,整理出等式右 边的项. 右边. 证明:(1)当 n=2 时,左边=1? 4 = 4 , 右边 = 2×2 = 4 , 所以左边=
1 3 2+1 3

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,即
1 14 1 19 1 14

· …· 1 1 19

1
2

=

+1 . 2

则当 n=k+1 时,利用归纳假设有: · …· 1 1
2

1-

1 (+1)
2

+ 1 1 + 1 ( + 2) = 1= · 2 2 2 ( + 1)2 ( + 1) + 2 ( + 1) + 1 = = . 2( + 1) 2( + 1)
所以当 n=k+1 时等式也成立. 综合(1)(2)知,对任意 n≥2,n∈N*等式恒成立.

题型一

题型二

题型三

题型四

1 * (4 2 ? 1)( ∈ N ). 3

【变式训练 1】 用数学归纳法证明 12+32+52+…+(2n-1)2= 证明:(1)当 n=1 时,左边=12,右边 = × 1 × (4 × 1 ? 1) = 1, 左边=右边,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立, 即 12+32+52+…+(2k-1)2= 则当 n=k+1 时, 12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2
1 3

1 (42 ? 1), 3

1 = (42 ? 1) + (2 + 1)2 3

题型一

题型二

题型三

题型四

即当 n=k+1 时,等式成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N*等式成立.

1 = (2 + 1)(2 ? 1) + (2 + 1)2 3 1 = (2 + 1)[(2 ? 1) + 3(2 + 1)] 3 1 = (2 + 1)(22 + 5 + 3) 3 1 = (2 + 1)( + 1)(2 + 3) 3 1 1 = ( + 1)(42 + 8 + 3) = ( + 1)[4( + 1)2 ? 1], 3 3

题型一

题型二

题型三

题型四

用数学归纳法证明不等式

【例 2】 已知函数 f(x)= 3 ? , 数列{n}满足条件 : 1≥1,an+1≥f'(an+1),证明:an≥2n-1(n∈N*). 分析: 求 f'(x) → 得到式子 an+1≥(an+1)2-1 → 利用数学归纳法证 明 an≥2n-1(n∈N*) 证明:∵f'(x)=x2-1, 2 ∴an+1≥(an+1)2-1= + 2. (1)当 n=1 时,a1≥1=21-1,命题成立; (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时命题成立,即 ak≥2k-1. 则当 n=k+1 时, 2 ak+1≥ + 2 = k(k + 2)≥(2k-1)(2k-1+2) =22k-1≥2k+1-1. 即当 n=k+1 时,命题成立, 综上所述,命题成立.

1 3

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 2】 用数学归纳法证明对一切大于 1 的自然数 n, 不等式 1 + 3
1

1+5 · …· 1 +

证明:(1)当 n=2

左边>右边,所以不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,且 k∈N*)时不等式成立,即 1+3
1

1 2+1 > 2 成立. 2-1 1 4 5 时,左边=1+ 3 = 3 , 右边 = 2 ,

1

1+5 · …· 1 +

1

1 2-1

>

2+1 . 2

则当 n=k+1 时,

题型一

题型二

题型三

题型四

1+3

1

1+5 · …· 1 +

1

1 2-1

1+

1 2(+1)-1

2 + 1 2 + 2 2 + 2 > · = = 2 2 + 1 2 2 + 1
>

42 + 8 + 4 2 2 + 1 2( + 1) + 1 = , 2

42 + 8 + 3 2 2 + 1

=

2 + 3· 2 + 1 2 2 + 1

所以当 n=k+1 时不等式也成立. 由(1)和(2)知,对一切大于 1 的自然数 n,不等式成立.

题型一

题型二

题型三

题型四

用数学归纳法证明几何问题 【例3】 有n个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不相 交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分. 分析:解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设. 证明:(1)当n=1时,圆把平面分为两部分,即f(1)=2,命题成立; (2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2部分,

题型一

题型二

题型三

题型四

则当n=k+1时,依题意知第(k+1)个圆与前k个圆产生2k个交点,第 (k+1)个圆被截为2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分, 所以平面上增加了2k个区域. 所以f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1时命题 成立. 由(1)(2)知命题成立.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k 个变成(k+1)个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或 借助于几何图形来分析,在分析不出来的情况下,将n=k+1和n=k分 别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明 即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 3】 平面内有 n(n∈N*,n≥2)条直线,其中任何两条 不平行、任何三条不过同一点,求证:n 条直线的交点个数为 f(n)=
(-1) . 2

证明:(1)当 n=2 时,两条直线的交点只有一个,又 f(2)= 2 × 2 × (2 ? 1) = 1, 所以当 n=2 时,命题成立.

1

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)假设当 n=k(k∈N*,k≥2)时命题成立,即平面内满足题设的 任何 k 条直线的交点个数为 f(k)= 2 ( ? 1).
1

则当 n=k+1 时, 依题意,第(k+1)条直线与前 k 条直线的交点个数为 k, 从而(k+1)条直线共有(f(k)+k)个交点, 即 f(k+1)=f(k)+k= 2 ( ? 1) +
1

所以当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)(2)可知,对任意 n∈N*(n≥2),命题都成立.

1 1 1 = ( ? 1 + 2) = ( + 1) = ( + 1)[( + 1) ? 1], 2 2 2

题型一

题型二

题型三

题型四

易错辨析 易错点:因不符合数学归纳法假设要求而致错

【例 4】 用数学归纳法证明 1+4+7+…+(3n-2)= 2 (3 ? 1).
1 (3 2

1

错解:证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即 1+4+7+…+(3k-2)= ? 1),
1

则当 n=k+1 时,需证 1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]= 2 ( + 1)(3 + 2)(?). 由于等式左边是一个以 1 为首项,3 为公差的等差数列的前(k+1) 项和,其和为 ( + 1)(1 + 3 + 1) = ( + 1)(3 + 2), 所以(*)式 成立,即当 n=k+1 时等式成立. 根据(1)和(2),可知等式对一切 n∈N*都成立.
1 2 1 2

题型一

题型二

题型三

题型四

错因分析:判断用数学归纳法证明数学问题是否正确,关键要看 两个步骤是否齐全,特别是第二步的假设是否被应用,如果没有用到 假设,那就不正确.错解在证明当 n=k+1 等式成立时,没有用到假设 “当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立”,故不符合数学归纳法证题的要求. 正解:证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即 1+4+7+…+(3k-2)=
1 (3 2

? 1),
1 1

则当 n=k+1 时,1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]= 2 (3 ? 1) + (3 + 1) = 2 (32 + 5 + 2)

即当 n=k+1 时等式成立. 根据(1)和(2),可知等式对一切 n∈N*都成立.

1 1 = ( + 1)(3 + 2) = ( + 1)[3( + 1) ? 1], 2 2


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