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2012年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学试题精美完整版


绝密★启用前

试卷类型:A

2012 年深圳市高三年级第一次调研考试 数 学(理科)
2012.2

本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号, 同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、 不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后 再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多 涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P( A + B) = P( A)+ P( B); 如果事件 A、B 相互独立,那么 P( AB) = P( A)P( B); 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V = Sh .
一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符 合题目要求的.
1.若 z = (1 + i)i ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是 A. 1 B. ?1 C. i D. ?i 2.已知 b , c 是平面 α 内的两条直线,则“直线 a ⊥ α ”是“直线 a ⊥ b ,直线 a ⊥ c ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 开始 D.既不充分也不必要条件 输入函数 f ( x) 3.已知直线 l : x tan α ? y ? 3 tan β = 0 的斜率为 2 ,在 y 轴上的截距为 1, 则 tan(α + β ) = 7 7 A. ? B. 3 3 5 C. D. 1 7 x 4.执行图 1 的程序框图,如果依次输入函数: f ( x) = 3 、 f ( x) = sin x 、
对任意实数

1 3

x 及任意

正数 m ,均有 f ( x ) + f (? x ) = 0, f ( x + m) > f ( x )

_ 否

是 输出函数 f ( x)

结束
图1 第 1 页 共 13 页

f ( x) = x 3 、 f ( x) = x +
A. 3
x

1 ,那么输出的函数 f ( x ) 为 x
C. x
3

B. sin x

D. x +

1 x

?1, x > 0 ? 5.已知符号函数 sgn( x) = ?0, x = 0 ,则函数 f ( x ) = sgn(ln x ) ? ln 2 x 的零点个数为 ??1, x < 0 ?
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

?x ? 2 y + 3 ≥ 0 ? 6.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y + 3 ≤ 0 ,若目标函数 z = y ? ax 仅在点 ( ?3, 0) 处取到最大值,则实数 a . ? y ?1 ≤ 0 ?
的取值范围为 A. (3, 5) B. ( , + ∞ )

1 2

C. ( ?1, 2)

D. ( , 1)

1 3

7. 2012 ”含有数字 0, 1, 2 ,且有两个数字 2.则含有数字 0, 1, 2 ,且有两个相同数字的四位数的个数为 “ A. 18 B. 24 C. 27 D. 36

8.设 S 是实数集 R 的非空子集,如果 ?a , b ∈ S , 有 a + b ∈ S , a ? b ∈ S ,则称 S 是一个“和谐集” .下面命题为 假命题的是 ... A.存在有限集 S , S 是一个“和谐集” B.对任意无理数 a ,集合 x x = ka, k ∈ Z 都是“和谐集” C.若 S1 ≠ S 2 ,且 S1 , S 2 均是“和谐集” ,则 S1 I S 2 ≠ ? D.对任意两个“和谐集” S1 , S 2 ,若 S1 ≠ R , S 2 ≠ R ,则 S1 U S 2 = R

{

}

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选做题两 部分.
(一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.
π 4 0



cos xdx =

频率/组距



0.030 0.025

10.某中学组织了“迎新杯”知识竞赛,从参加考试的学生中抽出若干名学 0.020 生,并将其成绩绘制成频率分布直方图(如图 2) ,其中成绩的范围是 0.015
0.010

[50,100],样本数据分组为[50,60) ,[60,70),[70,80),[80,90), [90,100],已知样本中成绩小于 70 分的个数是 36,则样本中成绩在
50 60 70 80 90 100分数 图2

[60, 90) 内的学生人数为
2

. .

x2 2 11.已知抛物线 y = 8 x 的准线 l 与双曲线 C : 2 ? y = 1 相切,则双曲线 C 的离心率 e = a
12.已知等比数列 {an } 的第 5 项是二项式 ? x ?

? ?

1 ? ? 展开式的常数项,则 a3 a7 = 3x ?

6



第 2 页 共 13 页

13. 如图 3 所示的几何体中, 四边形 ABCD 是矩形, 平面 ABCD ⊥ 平面 ABE , 已知 AB = 2 , D

C

AE = BE = 3 ,且当规定主(正)视
2 方向垂直平面 ABCD 时,该几何体的左(侧)视图的面积为 .若 2

M
N

M 、 N 分别是线段 DE 、 CE 上的动点,则 AM + MN + NB 的最小值为

A


B E
图3

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的 得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 P (1 , 为 .

π π 3 ) 到曲线 l : ρ cos(θ + ) = 2 上的点的最短距离 2 4 2
B C D
图4

15. (几何证明选讲选做题) 如图 4,A , B 是圆 O 上的两点, OA ⊥ OB ,OA = 2 ,C 为 OA 且 的中点,连接 BC 并延长交圆 O 于点 D ,则 CD = . O A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) , x ∈ R (其中 A > 0, ω > 0, ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知横坐标分别为 ? 1 、 1 、 5 的三点 M 、 N 、 P 都在函数 f ( x ) 的图像上,求 sin ∠MNP 的值.
y 1 ?2 ?1 0 ?1 1 2
3

π π <? < ) ,其部分图像如图 5 所示. 2 2

4

5

6 x

图5

17. (本小题满分 13 分) 随机调查某社区 80 个人,以研究这一社区居民在 20 : 00 ? 22 : 00 时间段的休闲方式与性别的关系,得 到下面的数据表: 休闲方式 看电视 性别 男 女 合计 看书 合计

10 10 20

50 10 60

60 20 80

(1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查 3 名在该社区的男性,设调查的 3 人在这一时间段以看 书为休闲方式的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列和期望; (2)根据以上数据,能否有 99 %的把握认为“在 20 : 00 ? 22 : 00 时间段的休闲方式与性别有关系”?

n(ad ? bc) 2 参考公式: K = ,其中 n = a + b + c + d . (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
2

参考数据:

第 3 页 共 13 页

P ( K 2 ≥ k0 )

0.15
2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

k0
18. (本小题满分 13 分)

如图 6,平行四边形 ABCD 中, AB ⊥ BD , AB = 2 , BD =

2 ,沿 BD 将 ?BCD 折起,使二面角

A ? BD ? C 是大小为锐角 α 的二面角,设 C 在平面 ABD 上的射影为 O .
(1)当 α 为何值时,三棱锥 C ? OAD 的体积最大?最大值为多少? (2)当 AD ⊥ BC 时,求 α 的大小. C D C O A B 图6 19. (本小题满分 14 分) 如图 7,已知椭圆 C : A B
y

D

x y + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 2 a b
T

2

2

P M S N O x

3 , 以 椭 圆 C 的 左 顶 点 T 为 圆 心 作 圆 T : R 2 ( x + 2) 2 + y 2 = r 2 (r > 0) , T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N . 设圆
(1)求椭圆 C 的方程;

uuur uuu r (2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程;

图7

(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M ,N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R,S , O 为坐标原 点,求证: OR ? OS 为定值.

20. (本小题满分 14 分)

1 3 x + bx 2 + cx + d ,设曲线 y = f (x ) 在与 x 轴交点处的切线为 y = 4 x ? 12 , f ′( x ) 为 3 f ( x ) 的导函数,满足 f ′( 2 ? x ) = f ′( x ) .
已知函数 f ( x ) = (1)求 f ( x ) ; (2)设 g ( x) = x

f ′( x) , m > 0 ,求函数 g ( x ) 在 [0, m] 上的最大值;

(3)设 h( x ) = ln f ′( x ) ,若对一切 x ∈ [0, 1] ,不等式 h( x + 1 ? t ) < h(2 x + 2) 恒成立,求实数 t 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 满足: a1 =

a 1 , n ∈ N* (其中 e 为自然对数的底数) , an +1 = n n . 2 e an + e
n ? n2 , Tn > e . n +1

(1)求数列 {a n } 的通项 a n ; (2)设 S n = a1 + a 2 + L + a n , Tn = a1 ? a 2 ? a3 ? L ? a n ,求证: S n ≤

第 4 页 共 13 页

2012 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科) 数学(理科)答案及评分标准
说明: 说明: 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同, 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则. 分标准制订相应的评分细则. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度 容和难度, 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的 程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给 分. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 选择题: 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 A 2 A 3 D 4 C 5 C 6 B 7 B 8 D

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 填空题:

9.

2 ; 2

10. 90 ; 14. 2 2 ;

11.

5 ; 2

12.

25 ; 9

13. 3 ;

15.

3 5. 5

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) , x ∈ R (其中 A > 0, ω > 0, ? (1) 求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 已知横坐标分别为 ? 1 、 1 、 5 的三点 M 、
y
1 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5 6

π π <? < ) ,其部分图像如图所示. 2 2

N 、 P 都在函数 f ( x) 的图像上,求
sin ∠MNP 的值.
解: (1)由图可知, A = 1 , 最小正周期 T = 4 × 2 = 8, 所以 T =

x

………………………………………………………1 分



ω

= 8,ω =

π . 4

…………………………………3 分

π π π + ? ) = 1 ,且 ? < ? < 4 2 2 π π 3π π π π 所以 ? < + ? < , + ? = ,? = . …………………5 分 4 4 4 4 2 4 π 所以 f ( x ) = sin ( x + 1) . ……………………6 分 4 π π (2) 解法一: 因为 f ( ?1) = sin ( ?1 + 1) = 0, f (1) = sin (1 + 1) = 1, 4 4 π f (5) = sin (5 + 1) = ?1 , 4
又 f (1) = sin(
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所以 M ( ?1, 0), N (1,1), P (5, ?1) ,

………………………………………………8 分

MN = 5, MP = 37, PN = 20 ,
从而 cos ∠MNP =

5 + 20 ? 37 3 = ? , ………………………………………………10 分 5 2 5 × 20
2

由 ∠MNP ∈ [ 0, π ] ,得 sin ∠MNP = 1 ? cos ∠MNP = 解法二: 因为 f ( ?1) = sin

4 . 5

…………………12 分

π π (?1 + 1) = 0, f (1) = sin (1 + 1) = 1, 4 4

π f (5) = sin (5 + 1) = ?1 , 4
所以 M ( ?1, 0), N (1,1), P (5, ?1) , ………………………………………………8 分

uuuu uuu r r uuuu r uuu r NM = (?2, ? 1), NP = (4, ? 2) , NM ? NP = ?6 ,
uuuu r uuu r NM = 5, NP = 20 = 2 5 , uuuu uuu r r 3 NM ? NP ?6 则 cos ∠MNP = uuuu uuu = =? . r r 5 5×2 5 NM ? NP
由 ∠MNP ∈ [ 0, π ] ,得 sin ∠MNP = 1 ? cos ∠MNP =
2

………………………10 分

4 . 5

……………12 分

【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x ) = A sin(ωx + ? ) 的图象与性质,以及余弦定理,同角三角函数关 系式,平面向量的数量积等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17. (本小题满分 13 分) 随机调查某社区 80 个人,以研究这一社区居民在 20 : 00 ? 22 : 00 时间段的休闲方式与性别的关系,得 到下面的数据表: 性别 休闲方式 看电视 看书 合计 男 女

合计 (1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查 3 名在该社区的男性,设调查的 3 人在这一时间段以看书为 休闲方式的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列和期望; (2)根据以上数据,能否有 99 %的把握认为“在 20 : 00 ? 22 : 00 时间段的休闲方式与性别有关系”? 参考公式: K 2 = 参考数据:

10 10 20

50 10 60

60 20 80

n(ad ? bc) 2 ,其中 n = a + b + c + d . (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010

P ( K 2 ≥ k0 ) k0

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 解: (1)依题意,随机变量 X 的取值为: 0 ,1 , 2 , 3 ,且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为 5 p= . …………………………………………2 分 6
第 6 页 共 13 页

方法一: P ( X = 0) = C 3 ( ) =
0

∴ X 的分布列为: X

1 3 1 5 1 1 2 5 , P ( X = 1) = C 3 ( ) ( ) = , 6 216 6 6 72 1 5 25 125 3 5 3 P ( X = 2) = C 32 ( )( ) 2 = , P ( X = 3) = C 3 ( ) = . ……………6 分 6 6 72 6 216

0 1 2 3 5 1 25 125 P 72 216 72 216 1 5 25 125 5 ∴ EX = 0 × + 1× + 2× + 3× = . ……………………………8 分 216 72 72 216 2 5 方法二:根据题意可得 X ~ B (3, ) , ……………………………………4 分 6 1 5 ∴ P ( X = k ) = C 3k ( ) 3? k ( ) k , k = 0, 1, 2, 3 . ……………………………………6 分 6 6 5 5 …………………………………………8 分 ∴ EX = np = 3 × = . 6 2 (2) 提出假设 H 0 :休闲方式与性别无关系. 根据样本提供的 2 × 2 列联表得 n(ad ? bc) 2 80 × (10 × 10 ? 10 × 50) 2 80 k= = = ≈ 8.889 > 6.635 . (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 60 × 20 × 20 × 60 9 2 因为当 H 0 成立时, K ≥ 6.635 的概率约为 0.01 ,所以我们有 99 %的把握认为“在 20 : 00 ? 22 : 00 时

间段性别与休闲方式有关” . ………………………13 分 【说明】本题主要考察读图表、随机事件的概率、二项分布以及数学期望、独立性检验等基础知识,考查运 用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和应用意识. 18. (本小题满分 13 分) 如图, 平行四边形 ABCD 中,AB ⊥ BD ,AB = 2 , BD =

2 , BD 将 ?BCD 折起, 沿 使二面角 A ? BD ? C

是大小为锐角 α 的二面角,设 C 在平面 ABD 上的射影为 O . (1)当 α 为何值时,三棱锥 C ? OAD 的体积最大?最大值为多少? C (2)当 AD ⊥ BC 时,求 α 的大小. D C O A B A B

D

解: (1)由题知 OD 为 CD 在平面 ABD 上的射影, ∵ BD ⊥ CD , CO ⊥ 平面 ABD ,∴ BD ⊥ OD , ∴ ∠ODC = α ,

………………………2 分

1 1 1 VC ? AOD = S ?AOD ? OC = ? ? OD ? BD ? OC 3 3 2 2 2 = ? OD ? OC = ? CD ? sin α ? CD ? cos α 6 6

………………4 分

第 7 页 共 13 页

2 2 ? sin 2α ≤ , 3 3 当且仅当 sin 2α = 1 ,即 α = 45° 时取等号, =
∴当 α = 45° 时,三棱锥 O ? ACD 的体积最大,最大值为 (2)(法一)连接 OB , ……………………7 分 ∵ CO ⊥ 平面 ABD , AD ⊥ BC , ∴ AD ⊥ 平面 BOC , ∴ AD ⊥ OB , ………………………9 分 ∴ ∠OBD + ∠ADB = 90° , 故 ∠OBD = ∠DAB , ∴ Rt ?ABD ∽ Rt ?BDO , ………………11 分 ∴

……………………5 分

2 . 3

…………6 分 C

O

OD BD = , BD AB
A

B …………………………………………………12 分 z C OD 1 在 Rt ?COD 中, cos α = = ,得 α = 60° .…………………13 分

BD 2 ( 2) 2 ∴ OD = = =1, AB 2

(法二) 过 O 作 OE ⊥ AB 于 E ,则 OEBD 为矩形, 以 O 为原点, OE , OD , OC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 O (0, 0, 0), D (0, 2 cos α , 0), A( 2 , 2 cos α ? 2, 0) , O D y E x ……………10 分 B

CD

2

B ( 2 , 2 cos α , 0), C (0, 0, 2 sin α ) , ………9 分

A

于是 AD = (? 2 , 2, 0) , BC = ( ? 2 , ? 2 cos α , 2 sin α ) , 由 AD ⊥ BC ,得 AD ? BC = 0 , ∴ ( ? 2 ) × ( ? 2 ) + 2 × ( ?2 cos α ) + 0 × 2 sin α = 0 , 得 cos α =

……………………12 分

1 ,又 α 为锐角,∴ α = 60° . 2

………………………………13 分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,棱锥的体积、二面角及三角函数等基础知识,考查空间想象 能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力. 19. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 y2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : 2 a b 2

( x + 2) 2 + y 2 = r 2 (r > 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程;

uuur uuu r

第 8 页 共 13 页

(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R, S , O 为坐标原点,
y

求证: OR ? OS 为定值.
M

P

解: (1)依题意,得 a = 2 , e =

c 3 = , R a 2

T N

S

O

x

∴ c = 3, b = a ? c = 1;
2 2

x2 故椭圆 C 的方程为 + y2 = 1 . 4

………………………………………3 分

(2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x1 ,? y1 ) , 不妨设 y1 > 0 . 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1 = 1 ?
2

x1 . 4

2

(*)

……………………4 分

由已知 T ( ?2, 0) ,则 TM = ( x1 + 2, y1 ) , TN = ( x1 + 2, ? y1 ) ,

∴ TM ? TN = ( x1 + 2, y1 ) ? ( x1 + 2, ? y1 ) = ( x1 + 2) ? y1
2

2

x 5 2 = ( x1 + 2) ? (1 ? 1 ) = x1 + 4 x1 + 3 4 4
2

2

5 8 1 ( x1 + ) 2 ? . ……………………………………6 分 4 5 5 uuur uuu r 8 1 由于 ? 2 < x1 < 2 ,故当 x1 = ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5 3 8 3 13 2 由(*)式, y1 = ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r = . 5 5 5 25 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x + 2) + y = . ……………………8 分 25 =
方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M (2 cos θ , sin θ ) , N (2 cos θ , ? sin θ ) , 不妨设 sin θ > 0 ,由已知 T ( ?2, 0) ,则

TM ?TN = (2 cos θ + 2, sin θ ) ? (2 cos θ + 2, ? sin θ )

= (2 cos θ + 2) 2 ? sin 2 θ = 5 cos 2 θ + 8 cos θ + 3

4 1 = 5(cos θ + ) 2 ? . ……………………………………………………6 分 5 5 uuur uuu r 4 1 8 3 故当 cos θ = ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? ,此时 M ( ? , ) , 5 5 5 5 13 2 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r = . 25 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x + 2) + y = . ……………………8 分 25
(3) 方法一:设 P ( x 0 , y 0 ) ,则直线 MP 的方程为: y ? y 0 =

y 0 ? y1 ( x ? x0 ) , x0 ? x1

第 9 页 共 13 页

令 y = 0 ,得 x R =
2 2

x1 y 0 ? x0 y1 x y + x0 y1 , 同理: x S = 1 0 , y 0 ? y1 y 0 + y1
2 2

……………………10 分

故 xR ? xS =

x1 y 0 ? x 0 y1 y 0 ? y1
2 2

(**)

……………………11 分

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0 = 4(1 ? y 0 ) , x1 = 4(1 ? y1 ) ,……………………12 分
2 2
2 2

代入(**)式,得:

xR ? xS =

4(1 ? y1 ) y 0 ? 4(1 ? y 0 ) y1
2 2 2

2

y 0 ? y1
2

2

=

4( y 0 ? y1 )
2 2

y 0 ? y1
2

2

= 4.

所以 OR ? OS = x R ? x S = x R ? x S = 4 为定值.

……………………14 分

不妨设 sin θ > 0 ,P ( 2 cos α , sin α ) , 其中 sin α ≠ ± sin θ . 则 方法二: M (2 cos θ , sin θ ) , N (2 cos θ , ? sin θ ) , 设

sin α ? sin θ ( x ? 2 cos α ) , 2 cos α ? 2 cos θ 2(sin α cos θ ? cos α sin θ ) 令 y = 0 ,得 x R = , sin α ? sin θ 2(sin α cos θ + cos α sin θ ) 同理: x S = , …………………………12 分 sin α + sin θ
直线 MP 的方程为: y ? sin α = 故 x R ? xS =

4(sin 2 α cos 2 θ ? cos 2 α sin 2 θ ) 4(sin 2 α ? sin 2 θ ) = = 4. sin 2 α ? sin 2 θ sin 2 α ? sin 2 θ
……………………14 分

所以 OR ? OS = x R ? x S = x R ? x S = 4 为定值.

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直 线方程等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数 形结合思想、化归与转化思想. 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) =

1 3 x + bx 2 + cx + d ,设曲线 y = f (x ) 在与 x 轴交点处的切线为 y = 4 x ? 12 , f ′( x ) 为 3

f ( x ) 的导函数,满足 f ′( 2 ? x ) = f ′( x ) .
(1)求 f ( x ) ; (2)设 g ( x) = x

f ′( x) , m > 0 ,求函数 g ( x) 在 [0, m] 上的最大值;

(3)设 h( x ) = ln f ′( x ) ,若对一切 x ∈ [0, 1] ,不等式 h( x + 1 ? t ) < h(2 x + 2) 恒成立,求实数 t 的取值范围. 解: (1) f ′( x ) = x 2 + 2bx + c ,

………………………………1 分

Q f ′( 2 ? x) = f ′( x) ,∴ 函数 y = f ′( x) 的图像关于直线 x = 1 对称,则 b = ?1 .……2 分 Q 直线 y = 4 x ? 12 与 x 轴的交点为 (3, 0) ,
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∴ f (3) = 0 ,且 f ′(3) = 4 ,
即 9 + 9b + 3c + d = 0 ,且 9 + 6b + c = 4 , 解得 c = 1 , d = ?3 .

…………………………………………4 分 …………………………………………5 分

1 3 x ? x2 + x ? 3 . 3 2 2 (2) f ′( x) = x ? 2 x + 1 = ( x ? 1) ,
则 f ( x) =

? 2 ? x ? x, x ≥ 1, g ( x) = x ( x ? 1) 2 = x x ? 1 = ? 2 ? x ? x , x < 1. ?
其图像如图所示. 当x ?x=
2

………………………………………7 分

y 2 1 ?1

1 1± 2 时, x = ,根据图像得: 4 2

1 2 (ⅰ)当 0 < m ≤ 时, g ( x ) 最大值为 m ? m ; 2
(ⅱ)当

1 1+ 2 1 <m≤ 时, g ( x ) 最大值为 ; 2 2 4 1+ 2 2 时, g ( x ) 最大值为 m ? m . 2
2

O

1

1+ 2 2

2 x

(ⅲ)当 m >

…………………………………10 分

(3)方法一: h( x) = ln( x ? 1) = 2 ln x ? 1 ,

h( x + 1 ? t ) = 2 ln x ? t , h(2 x + 2) = 2 ln 2 x + 1 ,
Q 当 x ∈ [0, 1] 时, 2 x + 1 = 2 x + 1 ,

∴ 不等式 2 ln x ? t < 2 ln 2 x + 1 恒成立等价于 x ? t < 2 x + 1 且 x ≠ t 恒成立,
由 x ? t < 2 x + 1 恒成立,得 ? x ? 1 < t < 3 x + 1 恒成立,

Q 当 x ∈ [0, 1] 时, 3 x + 1 ∈ [1, 4] , ? x ? 1 ∈ [?2, ?1] ,

∴ ?1 < t < 1 ,

……………………………………………12 分

又Q 当 x ∈ [0, 1] 时,由 x ≠ t 恒成立,得 t ? [0,1] , 因此,实数 t 的取值范围是 ?1 < t < 0 . …………………………………14 分

方法二: (数形结合法)作出函数 y = 2 x + 1, x ∈ [0, 1] 的图像,其图像为线段 AB (如图) ,

y

Q y = x ? t 的图像过点 A 时, t = ?1 或 t = 1 ,

∴ 要使不等式 x ? t < 2 x + 1 对 x ∈ [0, 1] 恒成立,
必须 ?1 < t < 1 , …………………………………12 分

4B 3 2 A 1 ? 2 ?1O 1 2 3 4 x

又Q 当函数 h( x + 1 ? t ) 有意义时, x ≠ t ,
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∴ 当 x ∈ [0, 1] 时,由 x ≠ t 恒成立,得 t ? [0,1] ,
因此,实数 t 的取值范围是 ?1 < t < 0 . …………………………………14 分

方法三:Q h( x ) = ln( x ? 1) 2 , h( x ) 的定义域是 {x x ≠ 1} ,

∴ 要使 h( x + 1 ? t ) 恒有意义,必须 t ≠ x 恒成立,

Q x ∈ [0, 1] ,∴ t ? [0,1] ,即 t < 0 或 t > 1 . ………………①
由 h( x + 1 ? t ) < h(2 x + 2) 得 ( x ? t ) < (2 x + 1) ,
2 2

…………………12 分

即 3 x + (4 + 2t ) x + 1 ? t > 0 对 x ∈ [0, 1] 恒成立,
2 2

令 ? ( x ) = 3 x 2 + (4 + 2t ) x + 1 ? t 2 , ? ( x ) 的对称轴为 x = ?

2+t , 3

2+t ? ? 2+t ? 2+t ≤ 1, < 0, ?0 ≤ ? > 1, ?? ?? 或? 或? 则有 ? 3 3 3 ?? (0) > 0 ?? = (4 + 2t )2 ? 4 × 3 × (1 ? t 2 ) < 0 ?? (1) > 0 ? ? ?
解得 ?1 < t < 1 . ………………② …………………………………14 分 综合①、②,实数 t 的取值范围是 ?1 < t < 0 . 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、导数的几何意义、二次函数和分段函数的图像及其性质的运用、 不等式的求解与证明等基础知识,考查分类讨论思想和数形结合思想,考查考生的计算推理能力及分析问题、解 决问题的能力和创新意识. 21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 满足: a1 =

a 1 , n ∈ N* (其中 e 为自然对数的底数) , an +1 = n n . 2 e an + e
n ? n2 , Tn > e . n +1

(1)求数列 {a n } 的通项 a n ; (2)设 S n = a1 + a 2 + L + a n , Tn = a1 ? a 2 ? a3 ? L ? a n ,求证: S n ≤ 解: (1)Q an +1 =
n

an , e an + e 1 e 1 1 …………………………………3 分 ∴ = + e n ,即 n = n ?1 + 1 . an +1 an e an +1 e an 1 1 令 bn = n ?1 ,则 bn +1 = bn + 1 , b1 = = 2, e an a1 因此,数列 {bn } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列. bn = 2 + ( n ? 1) ? 1 = n + 1 , …………………………………5 分 1 1 . …………………………………6 分 ∴ an = = n ?1 bn e ( n + 1)e n ?1
(2) (方法一)先证明当 n ∈ N* 时, e n ?1 ≥ n . 设 f ( x ) = e x ?1 ? x, x ∈ [1, +∞) ,则 f ′( x) = e x ?1 ? 1 ,

Q 当 x > 1 时, f ′( x ) > 0 ,

∴ f (x ) 在 (1,+∞ ) 上是增函数,则当 x ≥ 1 时, f ( x ) ≥ f(1) 0 ,即 e x ?1 ≥ x .………8 分 =

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1 1 1 1 , …………9 分 ≤ = ? n ?1 (n + 1)e (n + 1)n n n + 1 1 1 当 n ∈ N* 时, n + 1 < e n , an = > n n ?1 = e ? (2 n ?1) . …………………10 分 n ?1 (n + 1)e e ?e 1 1 1 1 1 1 n . ∴ S n = a1 + a 2 + L + a n ≤ (1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? ) = 1? = 2 2 3 n n +1 n +1 n +1
因此,当 n ∈ N* 时, e n ?1 ≥ n , an = …………………………12 分
( ∴Tn = a1 ? a2 ? a3 ?L ? an > e ?1 ? e?3 ? e?5 ?L ? e ? (2 n +1) = e ?[1+3+ 5+L+ 2 n ?1)] = e ? n .
2

………………………14 分 (方法二)数学归纳法证明

1 n n 1 成立; = ,∴ 当 n = 1 时, S n ≤ , 2 n +1 2 n +1 2 1 1 Q T1 = a1 = , e? n = , 2 e 1 1 又Q e > 2 ,∴ > , 2 e 2 ∴ 当 n = 1 时, Tn > e ? n 成立. ……………………………………………8 分 k ?k2 (2)设 n = k 时命题成立,即 S k ≤ , Tk > e , k +1 k 1 + 当 n = k + 1 时, Sk +1 = S k + ak +1 ≤ , k + 1 (k + 2)ek k +1 k 1 k +1 要证 S k +1 ≤ + ≤ , 即证 , k k+2 k + 1 (k + 2)e k +2 …………………………9 分 化简,即证 e k ≥ k + 1 . x x 设 f ( x ) = e ? x ? 1, x ∈ 0, +∞) ,则 f ′( x ) = e ? 1 , ( ′( x ) > 0 , Q 当 x > 0 时, f ∴ f (x ) 在 (0,+∞ ) 上是增函数,则当 x ≥ 0 时, f ( x ) ≥ f(0) 0 ,即 e x ≥ x + 1 . = n 因此,不等式 e k ≥ k + 1 成立,即当 n = k + 1 时 S n ≤ 成立. …………………11 分 n +1
(1)Q S1 = a1 = 当 n = k + 1 时, Tk +1 = Tk ? ak +1 > e
2

?k2

1 e? k ?k ? = , (k + 2)ek k + 2
2

要证 Tk +1 > e

? ( k +1) 2

, 即证

化简,即证 e k +1 > k + 2 .

2 e?k ?k > e ? ( k +1) , k+2

根据前面的证明,不等式 e k +1 > k + 2 成立,则 n = k + 1 时 Tn > e 由数学归纳法可知,当 n ∈ N* 时,不等式 S n ≤

? n2

成立.

n ? n2 , Tn > e 成立.……………14 分 n +1

【说明】考查了数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式、数学归纳法等知识,考查学生的构造数列和 函数解决问题的意识,考查了学生变形的能力,化归与转化的思想以及创新意识.

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