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高三数学一轮复习专练:2.4函数的奇偶性与周期性


双基限时练? 巩固双基,提升能力 一、选择题 lg?1-x2? 1.函数 f(x)= 是( |x+3|-3 A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 ) B.偶函数 D.非奇非偶函数 2 ? ?1-x >0, 解析:由? 得-1<x<1,且 x≠0. ?|x+3|-3≠0, ? ∴函数 f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1). lg?1-x2? lg?1-x2? ∵f(x)= = , x |x+3|-3 lg?1-x2? ∴f(-x)= =-f(x). -x ∴f(x)是奇函数. 答案:A ? ?1,x为有理数, 2.(2012· 福建)设函数 D(x)=? 则下列结论错误 ?0,x为无理数, ? 的是( ) B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数 A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数 解析:显然 A,D 是对的.若 x 是无理数,所以-x 也是无理数; 若 x 是有理数,则-x 也是有理数,则 D(-x)=D(x),所以 D(x)是偶 函数,B 对.对于任意有理数 T,f(x+T)=f(x)(若 x 是无理数,则 x +T 也是无理数;若 x 是有理数,则 x+T 也是有理数),故 C 不对. 答案:C 3. (2012· 山东)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x). 当-3≤x <-1 时, f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3 时, f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3) +…+f(2 012)=( A.335 C.1 678 ) B.338 D.2 012 解析:由 f(x+6)=f(x)可知函数是周期为 6 的周期函数,又因为 当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x)=x 可知, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1, f(4)=f(-2)=-(- 2+2)2=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,故而 f(1)+f(2)+f(3)+ f(4)+f(5)+f(6)=1, 故而 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=335×1+f(1) +f(2)=338. 答案:B 4.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间 [0,2]上是增函数,则( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 解析: 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知, f(x) 在[-2,2]上递增,又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函 数 f(x)以 8 为周期, f(-25)=f(-1), f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1), f(80) =f(0),故 f(-25)<f(80)<f(11).故选 D. 答案:D 5.(2013· 太原五中月考)若函数 f(x)、g(x)分别是 R 上的奇函数、 偶函数,且满足 f(x)-g(x)=ex,则有( ) A.f(2)<f(3)<g(0) C.f(2)<g(0)<f(3) B.g(0)<f(3)<f(2) D.g(0)<f(2)<f(3) x ? ?f?x?-g?x?=e , 解析:由题意,得? -x ?-f?x?-g?x?=e , ? ? 解得? e +e g ? x ? =- ? 2 x ex-e-x f ?x ?= 2 , -x 故 g(0)=-1,f(x)为 R 上的增函数,0 . <f(2)<f(3),故 g(0)<f(2)<f(3). 答案:D 6.(2013· 曲阜师大附中质检)若偶函数 y=f(x)对任意实数 x 都有 f(x+1)=-f(x),且在[0,1]上单调递减,则( ?7? ?7? ?7? A.f?2?<f?3?<f?5? ? ? ? ? ? ? ?7? ?7? ?7? B.f?5?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?7? ?7? ?7? C.f?3?<f?2?<f?5? ?7? ?7? ?7? D.f?5?<f?3?<f?2? ? ? ? ? ) 解析:由 f(x+1)=-f(x),知 f(x)是周期函数,且最小正周期为 2. 1? ? 1? ?1? ?7? ? 故 f?2?=f?4-2?=f?-2?=f?2?, ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?1? ?7? ? f?3?=f?2+3?=f?3?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7? ? 3? ?3? ?7? ? f?5?=f?-2+5?=f?-5?=f?5?. ? ? ? ? ? ?7? ?7? ?7? 3 1 1 又因为5>2>3,所以 f?5?<f?2?<f?3?. ? ? ? ? ? ? 答案:B 二、填空题 7.(2012· 上海)已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1,若 g(x)= f(x)+2,则 g(-1)=__________. 解析:令 h(x)=f(x)+x2,∴h(1)=f(1)+1=2. h(-1)=f(-1)+1=-2,∴f(-1)=-3, ∴g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案:-1 8.(2013· 银川质检)已知 f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当 0< x < 3 时, f(x) 的图像 如图 所示 ,那么 不等 式 xf(x) < 0 的解 集 为 __________. 解析:当 0<x<3 时,由图像知,满足 xf(x)<0 的解为: 0<x<1,由奇函数的对称性可求. 答案:(-1,0)∪(0,1) 9. (2012· 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间[- ax+1,-1≤x<0 ? ? 1,1

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