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高等数学-第1章 函数与极限-1.6函数的连续性


1.7函数的连续性
教学目的:理解函数连续性的概念,会判断函数的连续性。掌握连续函数的四则运算,
知道反函数及复合函数的连续性,掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类,会判断 其类型。 教学重点:函数连续性的概念, 连续函数的四则运算,知道反函数及复合函数的连续性.

教学内容:
1.6.1函数的连续性 1 函数在一点的连续性 定义1 设函数在点的某个邻域内有定义,自变量在点处有增量,相 应地函数值的增量 如果,就称函数在点处连续,称为函数的连续点。 函数在点处连续还可以描述如下。 设函数在点的某个邻域内有定义,如果,就称函数在点处连续。 左连续及右连续的概念。 如果,称函数在点处左连续;如果,称函数在点处右连续。由于存 在的充要条件是,因此,根据函数连续的定义有下述结论:若函数在点 的某个邻域内有定义,则它在点处连续的充分必要条件是在点处左连 续且右连续。 2 区间上的连续函数 如果函数在开区间上每一点都连续,我们称函数在开区间内连续, 如果函数开区间内连续,在区间的左端点右连续,右端点左连续,就称 函数在闭区间上连续。 例1 证明在内连续。 证明 ,当有增量时,对应的函数值的增量 由于 , 所以 时,由夹逼准则得,因此在点处连续,由于的任 意性,在内连续。 例2 证明()在内连续。 证明 ,当有增量时,对应的函数值的增量 由于时,,因此 因此,在点处连续,由于的任意性,在内连续。

1.6.2 函数的间断点 如果函数在一点处不连续,就称函数在点处间断,称为函数的一个 间断点。而根据函数连续的定义,函数在点处连续必须满足以下三个条 件: (1) 函数点处有定义; (2) 存在; (3) 。 因此,如果上述条件有一个不能满足,则就是函数的间断点。 下面分别给出上述至少有一条不满足时,函数间断的例子。 情形1 函数点处无定义,存在或不存在 例3 讨论函数在处的间断情况。 在处无定义,是它的一个间断点。但存在,若将补充为函数在处的 函数值,即 则函数在处就变成连续的了。 例4  讨论函数在处的间断情况。 在处无定义,是它的一个间断点。不存在,但。 例5 讨论函数在处的间断情况。 在处无定义,因此,是函数的一个间断点。时,函数值在与之间无限次 地振荡,因此不存在。

图1.6.2 情形2 函数点处有定义,但不存在 例6 讨论函数 的连续情况. ,。该函数在的左、右极限都存在,但不相等,因此不存在,是 它的一个间断点。 情形3 函数在点处有定义,且存在,但。 例7  该函数在有定义,且存在(=0),但不等于。若将改为其极限值, 即 则函数在处就变成连续的了。 如果该函数在点的左、右极限都存在,则称是函数的第一类间断 点;否则称是函数的第二类间断点。在第一类间断点中,若左、右极限 相等,则称该间断点为函数的可去间断点,如,例3和例7中都是函数的

可去间断点;若左、右极限不相等,则称该间断点为函数的跳跃间断 点,如例6中的间断点是函数的跳跃间断点。在第二类间断点中,又有 无穷间断点和振荡间断点。若,称是函数的无穷间断点,如例4中是的 无穷间断点,例5中是的震荡间断点。 有些函数除了一点连续外,其他点处均间断。例如 仅在处连续,其他点均间断。 1.6.3 连续函数的运算 1 函数和、差、积、商的连续性 定理1.6.1 设函数和在点处连续,则 ,,(当时)都在处连续。 根据连续函数的定义和极限运算法则,立即可以得到证明。 因为与在内均连续,根据定理1.6.1,,在其定义域内都连续。 2 反函数的连续性 定理1.6.2 设函数在区间上单调增加(或减少)且连续,则它的反函数 存在并且在相应的区间上单调增加(或减少)且连续。 3 复合函数的连续性 定理1.6.3 如果在处连续,在处连续,则复合函数在处连续。 对于由连续函数,复合而成的连续函数,有 ,即极限符号和函数符号可以交换顺序。 例8 证明 幂函数在时连续。 证明 可以看成是由函数与复合而成。由于时,函数连续,而函数在 整个数轴上连续,因此,由复合函数的连续性定理,函数在时连 续。 1.6.4 初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的。一切初等函数在其定义区间 (定义域内的区间)内是连续的。 例9 求。 解。 例10 求 解 令 则当时, 所以 同理可证

例11 求 解

例 12 设 则 证明 所以 注 时,上述命题也成立。 例13 求。 解 属于型极限。由例12 得 。 例14 讨论函数的连续性,若有间断点,判断其类型。 解 的定义域为在其定义区间内连续。是的间断点,下面判断其类型。 所以是的第二类间断点中的无穷间断点。 所以是的第一类间断点中的跳跃间断点。 作业 1.求下列极限 (1) (2) (3) (4) (8) 2.指出下列函数在给定点处是否连续?若不连续,指出间断点的类 型。 (1) 于处 (3)于处 3.若在处连续,则也在点连续。 5.设 其中是已知常数。试选择,使为连续函数。


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