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2014年高考湖南理科解答题专项训练(三角函数及解三角形)(附答案)


专题升级训练 28

解答题专项训练(三角函数及解三角 形)

1.(2012· 山东日照一模,17)已知 f(x)=m· n,其中 m=(sin ωx+cos ωx, 3cos ωx),n =(cos ωx-sin ωx,2sin ωx)(ω>0),若 f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于 π. (1)求 ω 的取值范围; 3 (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,a= 7,S△ABC= .当 ω 取最 2 大值时,f(A)=1,求 b,c 的值. x 2x ? ? ? x 2.(2012· 贵州适应性考试,17)已知向量 m=? ? 3sin4,1?,n=?cos4,cos 4?.记 f(x)= m· n. 2π ? 3 (1)若 f(x)= ,求 cos? ? 3 -x?的值; 2 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,若 1+ 3 f(A)= ,试判断△ABC 的形状. 2 3.(2012· 浙江五校联考,18)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 3 a,b,c 成等比数列,且 sin Asin C= . 4 (1)求角 B 的大小; (2)若 x[0,π),求函数 f(x)=sin(x-B)+sin x 的值域. 4.(2012· 陕西西安高三质检,16)已知锐角△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 p=(cos A-sin A,1+sin A),向量 q=(cos A+sin A,2-2sin A),且 p⊥q. (1)求角 A; (2)设 AC= 3,sin2A+sin2B=sin2C,求△ABC 的面积. π A+ ? - 5.(2012· 浙江宁波 4 月模拟,18)已知 A 为锐角△ABC 的一个内角,满足 2sin2? ? 4? 3cos 2A= 3+1. (1)求角 A 的大小. (2)若 BC 边上的中线长为 3,求△ABC 面积的最大值. πx π? 2 πx 6.(2012· 广东汕头二次质检,16)设函数 f(x)=sin? ? 6 -4?+2 2cos 12- 2. (1)求 f(x)的最小正周期. 11? (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x? ?0, 2 ?时,求函数 y=g(x) 的最小值与相应自变量 x 的值. 7.(2012· 广东广州二模,16)已知函数 f(x)=(cos x+sin x)(cos x-sin x). (1)求函数 f(x)的最小正周期; α? 1 ?β? 2 π π (2)若 0<α< ,0<β< ,且 f? ?2?=3,f?2?=3,求 sin(α-β)的值. 2 2 8.(2012· 四川绵阳三诊,17)已知向量 m=(sin x,-1),n=(cos x,3). sin x+cos x (1)当 m∥n 时,求 的值; 3sin x-2cos x (2)已知在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 3c=2asin(A+B),函 π? 数 f(x)=(m+n)· m,求 f? ?B+8?的取值范围.

参考答案
π 2ωx+ ?. 1. 解:(1)f(x)=m· n=cos 2ωx+ 3sin 2ωx=2sin? 6? ? ∵f(x)图象中相邻的对称轴间的距离不小于 π, T π 1 ∴ ≥π.∴ ≥π.∴0<ω≤ . 2 2ω 2 π 1 x+ ?, (2)当 ω= 时,f(x)=2sin? ? 6? 2 π ? ? π? 1 ∴f(A)=2sin? ?A+6?=1.∴sin?A+6?=2. π π 7π 2π ∵0<A<π,∴ <A+ < ,A= . 6 6 6 3 1 3 由 S△ABC= bcsin A= ,得 bc=2.① 2 2 又 a2=b2+c2-2bccos A, ∴b2+c2+bc=7.② 由①②,得 b=1,c=2;或 b=2,c=1. x x x 2. 解:(1)f(x)=m· n= 3sin cos +cos2 4 4 4 3 x 1 x 1 = sin + cos + 2 2 2 2 2 x π? 1 =sin? ?2+6?+2. x π? 3 ∵f(x)= ,∴sin? ?2+6?=1. 2 π x π x+ ?=1-2sin2? + ?=-1, ∴cos? ? 3? ?2 6 ? 2π π ? ? ? cos? ? 3 -x?=-cos?3+x?=1. (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A,且 sin A≠0. 1 ∴cos B= . 2 π 又∵B(0,π),∴B= . 3 x π? 1 1+ 3 由 f(x)=sin? ?2+6?+2,且 f(A)= 2 , A π? 3 A π π A π 2π π ∴sin? ? 2 +6?= 2 , 2 +6=3或2 +6= 3 ,A=3或 A=π(舍去), π π ∴A= ,C= ,∴△ABC 为正三角形. 3 3 3. 解:(1)因为 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac. 由正弦定理得 sin2B=sin Asin C. 3 3 又 sin Asin C= ,所以 sin2B= . 4 4 3 因为 sin B>0,则 sin B= . 2

π 2π 因为 B(0,π),所以 B= 或 . 3 3 π 又 b2=ac,则 b≤a 或 b≤c,即 b 不是△ABC 的最大边,故 B= . 3 π π π π ? (2)因为 B= ,则 f(x)=sin? ?x-3?+sin x=sin xcos3-cos xsin3+sin x 3 π? 3 3 = sin x- cos x= 3sin? ?x-6?. 2 2 π π 5π 因为 x[0,π),则- ≤x- < , 6 6 6 π 1 ?? ? 所以 sin? ?x-6??-2,1?. 3 故函数 f(x)的值域是?- , 3?. ? 2 ? 4. 解:(1)∵p⊥q, ∴(cos A+sin A)(cos A-sin A)+(2-2sin A)(1+sin A)=0, 3 ∴sin2A= . 4 3 π 而 A 为锐角,∴sin A= ? A= . 2 3 (2)由正弦定理得 a2+b2=c2, π ∴△ABC 是直角三角形,且 C= . 2 π ∴BC=AC×tan = 3× 3=3. 3 1 1 3 3 ∴S△ABC= AC· BC= × 3×3= . 2 2 2 π? π? ? 5. 解:(1)由 2sin2? ?A+4?- 3cos 2A=1-cos?2A+2?- 3cos 2A π? =1+2sin? ?2A-3?=1+ 3, π 3 2A- ?= . 所以 sin? 3? 2 ? π? π? π 2π? ∵A? ?0,2?,2A-3?-3, 3 ?, π π π ∴2A- = ,得 A= . 3 3 3 (2)由题意得| AB + AC |=6, 设△ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 则 b2+c2+2bccos A=36. 又 b2+c2≥2bc,∴bc≤12. 1 3 ∴S△ABC= bcsin A= bc≤3 3,等号当 b=c=2 3时取到. 2 4 ∴△ABC 面积的最大值为 3 3. πx π? 2πx 6. 解:(1)f(x)=sin? ? 6 -4?+2 2cos 12- 2 πx π πx π 2πx ? =sin cos -cos sin + 2? ?2cos 12-1? 6 4 6 4 2 πx 2 πx πx = sin - cos + 2cos 2 6 2 6 6 π x π 2 πx 2 πx + ?, = sin + cos =sin? ? 6 4? 2 6 2 6

2π 2π ∴T= = =12. ω π 6 (2)方法一:由题意知: π π? g(x)=f(2-x)=sin? ?6(2-x)+4? πx 7π? ?πx 7π? =sin? ?- 6 +12?=-sin? 6 -12?. 11 7π πx 7π π 0, ?,∴- ≤ - ≤ . ∵x? 2 ? ? 12 6 12 3 3 πx 7π π 11 ∴g(x)min=- ,此时 - = ,即 x= . 2 6 12 3 2 11 7 0, ?关于 x=1 的对称区间 x?- ,2?上函数 f(x)的最值. 方法二:可以求 x? 2? ? ? 2 ? 7. 解:(1)∵f(x)=(cos x+sin x)(cos x-sin x) =cos2x-sin2x=cos 2x, 2π ∴函数 f(x)的最小正周期为 T= =π. 2 (2)由(1)得 f(x)=cos 2x. α? 1 ?β? 2 ∵f? ?2?=3,f?2?=3, 1 2 ∴cos α= ,cos β= . 3 3 π π ∵0<α< ,0<β< , 2 2 2 2 5 ∴sin α= 1-cos2α= ,sin β= 1-cos2β= . 3 3 ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β 2 2 2 1 5 4 2- 5 = × - × = . 3 3 3 3 9 1 8. 解:(1)由 m∥n,可得 3sin x=-cos x,于是 tan x=- . 3 1 - +1 3 sin x+cos x tan x+1 2 ∴ = = =- . 1 9 3sin x-2cos x 3tan x-2 ?- ?-2 3· ? 3? (2)在△ABC 中,A+B=π-C,于是 sin(A+B)=sin C, 由正弦定理知: 3sin C=2sin A· sin C, 3 π ∴sin A= ,可解得 A= . 2 3 π π 又△ABC 为锐角三角形,于是 <B< . 6 2 ∵f(x)=(m+n)· m=(sin x+cos x,2)· (sin x,-1) 1-cos 2x 1 =sin2x+sin xcos x-2= + sin 2x-2 2 2 π? 3 2 ? = sin?2x-4?- , 2 2 π? π? 3 π? 2 ? ? 2 3 ∴f? ?B+8?= 2 sin?2?B+8?-4?-2= 2 sin 2B-2. π π π 由 <B< ,得 <2B<π, 6 2 3 3 2 3 2 3 ∴0<sin 2B≤1,得- < sin 2B- ≤ - , 2 2 2 2 2

π?? 3 2 3? 即 f? ?B+8??-2, 2 -2?.


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