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2015高考数学(文科)程序方法策略篇:专题2 优化解答程序,构建答题模板 第5讲


第5讲 例 6 圆锥曲线的常规问题 x2 y2 已知双曲线 2- 2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0) a b 4 到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c,求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5 审题破题 用 a,b 表示 s 可得关于 a,b,c 的不等式,进而转化成关于 e 的不等式,求 e 的范围. x y 解 设直线 l 的方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0. a b 由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1= 同理可得点(-1,0)到直线 l 的距离为 d2= 2ab 2ab = . c a2+b2 4 2ab 4 由 s≥ c,得 ≥ c, 5 c 5 于是 s=d1+d2= 即 5a c2-a2≥2c2, 可得 5 e2-1≥2e2, 即 4e4-25e2+25≤0, 5 解得 ≤e2≤5. 4 由于 e>1,故所求 e 的取值范围是? 5 ?. ? 2 , 5? b?a+1? , a2+b2 b?a-1? , a2+b2 第一步:提取.从题设条件中提取不等关系式; 第二步:解不等式.求解含有目标参数的不等式,得到不等式的解集; 第三步:下结论.根据不等式的解集,并结合圆锥曲线中几何量的范围,得到所求参数的取 值范围; 第四步:回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围,要考虑圆锥曲线自身 的一些几何意义,如离心率的范围,圆锥曲线定义中的 a,b,c 的大小关系等. 跟踪训练 6 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,短轴长为 2,离心率为 → → 线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且AP=3PB. (1)求椭圆 C 的方程; 2 ,直 2 (2)求 m 的取值范围. y2 x2 解 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b c 2 设 c>0,c2=a2-b2,由题意,知 2b= 2, = , a 2 2 所以 a=1,b=c= . 2 x2 故椭圆 C 的方程为 y2+ =1,即 y2+2x2=1. 1 2 (2)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0),l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), ? ?y=kx+m, 由? 2 2 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0, ?2x +y =1, ? Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,(*) -2km m2-1 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k +2 k +2 → → 因为AP=3PB,所以-x1=3x2, ? ?x1+x2=-2x2, 所以? 所以 3(x1+x2)2+4x1x2=0. 2 ?x1x2=-3x2. ? m2-1 ?-2km?2+4· 所以 3· =0. ? k2+2 ? k2+2 ? ? 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0, 即 k2(4m2-1)+(2m2-2)=0. 1 当 m2= 时,上式不成立; 4 2-2m2 2 1 2 当 m ≠ 时,k = 2 , 4 4m -1 由(*)式,得 k2>2m2-2, 2-2m2 又 k≠0,所以 k2= 2 >0. 4m -1 1 1 解得-1<m<- 或 <m<1. 2 2 1? ?1 ? 即所求 m 的取值范围为? ?-1,-2?∪?2,1?.

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