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2013年高考数学总复习 7-3 简单的线性规划问题但因为测试 新人教B版


2013 年高考数学总复习 7-3 简单的线性规划问题但因为测试 新人 教B版
1.(文)(2010· 北京东城区)在平面直角坐标系中, 若点(-2, t)在直线 x-2y+4=0 的上方, 则 t 的取值范围是( A.(-∞,1) C.(-1,+∞) [答案] B [解析] ∵点 O(0,0)使 x-2y+4>0 成立,且点 O 在直线下方,故点(-2,t)在直线 x- 2y+4=0 的上方?-2-2t+4<0,∴t>1. [点评] 可用 B 值判断法来求解,令 d=B(Ax0+By0+C),则 d>0?点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 的上方;d<0?点 P 在直线下方. 由题意-2(-2-2t+4)>0,∴t>1. (理)(2010· 惠州市模拟)若 2m+2n<4,则点(m,n)必在( A.直线 x+y-2=0 的左下方 B.直线 x+y-2=0 的右上方 C.直线 x+2y-2=0 的右上方 D.直线 x+2y-2=0 的左下方 [答案] A [解析] ∵2m+2n≥2 2m n,由条件 2m+2n<4 知, 2 2m n<4,∴m+n<2,即 m+n-2<0,故选 A. 2. (2010· 四川广元市质检)在直角坐标系 xOy 中, 已知△AOB 的三边所在直线的方程分 别为 x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为 ( ) A.95 C.88 [答案] B [解析] 由 2x+3y=30 知,y=0 时,0≤x≤15,有 16 个; B.91 D.75
+ +

) B.(1,+∞) D.(0,1)

)

y=1 时,0≤x≤13;y=2 时,0≤x≤12; y=3 时,0≤x≤10;y=4 时,0≤x≤9; y=5 时,0≤x≤7;y=6 时,0≤x≤6; y=7 时,0≤x≤4;y=8 时,0≤x≤3; y=9 时,0≤x≤1,y=10 时,x=0. ∴共有 16+14+13+11+10+8+7+5+4+2+1=91 个.

?x≥1, ? 3.(2011· 天津文,2)设变量 x,y 满足约束条件?x+y-4≤0, ?x-3y+4≤0, ?
的最大值为( A.-4 4 C. 3 [答案] D [解析] ) B.0 D.4

则目标函数 z=3x-y

5 该线性约束条件所代表 的平面区域如上图,易解得 A(1,3),B(1, ),C(2,2),由 z=3x 3 -y 得 y=3x-z,由图可知当 x=2,y=2 时,z 取得最大值,即 z 最大=3× 2-2=4.故选 D.

?x+y≤2, ? 4.(文)(2011· 安徽示范高中皖北协作区联考)已知 x,y 满足不等式组?y-x≥0, 目标 ?x≥0. ?
函数 z=ax+y 只在点(1,1)处取最小值,则有( A.a>1 C.a<1 [答案] D [解析] 作出可行域如下图阴影部分所示. ) B.a>-1 D.a<-1

由 z=ax+y,得 y=-ax+z. 只在点(1,1)处 z 取得最小值,则斜率-a>1, 故 a<-1,故选 D.

?x-3y+4≥0 ? (理)(2011· 宝鸡质检)已知约束条件?x+2y-1≥0 ?3x+y-8≤0 ?
(2,2)处取得最大值,则 a 的取值范围为( 1 A.0<a< 3 1 C.a> 3 [答案] C [解析] 作出可行域如下图, )

, 若目 标函数 z=x+ay(a≥0)恰好在点

1 B.a≥ 3 1 D.0<a< 2

1 1 ∵目标函数 z=x+ay 恰好在点 A(2,2)处取得最大值,故- >-3,∴a> . a 3

?0≤x≤2 ? 5.(2011· 泉州质检)设不等式组?0≤y≤3 所表示的平面区域为 S,若 A、B 为区域 ?x+2y-2≥0 ?
S 内的两个动点,则|AB|的最大值为( A.2 5 B. 13 [答案] B [解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,结合下图观察不难得 知,位于该平面区域内的两个动点中, C.3 D. 5 )

其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0),因此|AB|的最大值是 13,选 B.

6.(2011· 兰州模拟)设 O 为坐标原点,点 M 的坐标为(2,1),若点 N(x,y)满足不等式组

?x-4y+3≤0 → → ? ?2x+y-12≤0 ,则使OM· 取得最大值的点 N 的个数是( ON ?x≥1 ?
A.1 C.3 [答案] D B.2 D.无数个

)

→ → [分析] 点 N(x,y)在不等式表示的平面区域之内,U=OM· 为 x,y 的一次表达式, ON 则问题即是当点 N 在平面区域内变化时,求 U 取到最大值时,点 N 的个数. → → [解析] 如下图所示,可行域为图中阴影部分,而OM· =2x+y,所以目标函数为 z ON =2x+y,作出直线 l:2x+y=0,显然它与直线 2x+y-12=0 平行,平移直线 l 到直线 2x +y-12=0 的位置时目标函数取得最大值, 2x+y-12=0 上每一点都能使目标函数取得 故 最大值,故选 D.

?x≤my+n ? 7.如下图,若由不等式组?x- 3y≥0 ?y≥0 ?

(n>0)确定的平面区域的边界为三角形,且它的

外接圆的圆心在 x 轴上,则实数 m=________.

[答案] -

3 3

[解析] 根据题意,三角形的外接圆圆心在 x 轴上, ∴OA 为外接圆的直径, ∴直线 x=my+n 与 x- 3y=0 垂直, 1 1 3 ∴ × =-1,即 m=- . m 3 3

?x-y≥-1 ? 8.(2011· 浏阳模拟)设变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1 ?3x-y≤3 ?
最大值为________. [答案] 11

,则目标函数 z=4x+y 的

[解析] 如下图, 满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分), z=4x+y 在 P(2,3) 故 处取得最大值,最大值为 11.

9.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的 价格 c 如下表: a b(万吨) c(百万元)

A

50%

1

3

B

70%

0.5

6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2 (万吨),则购买铁矿石 的最少费用为________(百万元). [答案] 15 [解析] 设需购买 A 矿石 x 万吨,B 矿石 y 万吨,则根据题意得到约束条件为:

?y≥0 ? ?0.5x+0.7y≥1.9 ?x+0.5y≤2 ?
=3× 1+6× 2=15.

x≥0



目标函数为 z=3x+6y,当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值,最小值为:zmin

10.(2011· 福建厦门外国语学校月考)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而 且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能 的最大盈利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.投资人计划投资 金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项 目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大? [解析] 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目,

?x+y≤10, ?0.3x+0.1y≤1.8, 由题意知? x≥0, ?y≥0. ?

目标函数 z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如下图所示,阴影部分(含边界)即可行域.

作直线 l0:x+0.5y=0,并作平行于直线 l0 的一组 直线 x+0.5y=z,z∈R,与可行域相 交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点,此时 z 取得最大值,这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点.
?x+y=10, ? 解方程组? 得 x=4,y=6. ? ?0.3x+0.1y=1.8,

此时 z=1× 4+0.5× 6=7(万元). ∴当 x=4,y=6 时 z 取得最大值. 答:投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元

的前提下,使可能的盈利最大.

?2x-y≤0 ? 11.(文)(2010· 揭阳市模考、重庆南开中学模考) 已知正数 x、y 满足? ,则 z ? ?x-3y+5≥0

1 ?1 =?4?x·2?y 的最小值为( ? ? ? ?

) 3 2 4

A.1 1 C. 16 [答案] C

B.

1 D. 32

x 1 1 - ?1 [解析] 如下图易得 2x+y 的最大值为 4,从而 z=4 ·2?y=?2?2x+y 的最小值为 ,选 ? ? ? ? 16

C.

?4x-y-10≤0 ? (理)(2011· 重庆一诊)设实数 x, 满足条件?x-2y+8≥0 y ?x≥0,y≥0 ?
2 3 b>0)的最大值为 12,则 + 的最小值为( a b 25 A. 6 11 C. 3 [答案] A ) 8 B. 3 D.4

, 若目标函数 z=ax+by(a>0,

[解析] 如下图由可行域可得,当 x=4 ,y=6 时,目标函数 z=ax+by 取得最大值, a b ∴4a+6b=12,即 + =1, 3 2

2 3 2 3 a b 13 b a 13 25 ∴ + =( + )· + )= + + ≥ +2= ,故选 A. ( a b a b 3 2 6 a b 6 6 12.(文)(2010· 山师大附中模考)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品 可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料 不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是( A.12 万元 C.25 万元 [答案] D [解析] 设生产甲、乙两种产品分别为 x 吨,y 吨, B.20 万元 D.27 万元 )

?3x+y≤13 ?2x+3y≤18 由题意得? x≥0 ?y≥0 ?



获利润 ω=5x+3y,画出可行域如下图,

? ?3x+y=13 由? ,解得 A(3,4). ?2x+3y=18 ?

5 2 ∵-3<- <- , 3 3 ∴当直线 5x+3y=ω 经过 A 点时,ωmax=27. (理)(2011· 四川文, 10)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 8 辆载重量为 10 吨的 有 甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车,某天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆 车需载满且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派 用的每辆乙型卡车需配 1 名工人; 运送一次可得利润 350 元, 该公司合理计划当天派用甲乙 卡车的车辆数,可得最大利润 z=( A.4650 元 C.4900 元 [答案] C ) B.4700 元 D.5000 元

[解析]

?2x+y≤19, ? 设该公司派甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,由题意得?x+y≤12, 0≤x≤8,x∈N ?0≤y≤7,y∈N ?

10x+6y≥72,

利润 z=450x+350y,可行域如下图所示.

?2x+y=19 ? 解? 得 A(7,5). ? ?x+y=12

当直线 350y+450x=z 过 A(7,5 )时 z 取最大值, ∴zmax=450× 7+350× 5=4900(元).故选 C. 13.(2011· 广州一测)某校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名,x 和 y 满足约束条件

?2x-y≥5, ? ?x-y≤2, 则该校招聘的教师最多是________名. ?x<6. ?
[答案] 10 [解析] 如下图在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 x+y=0,平 移该直线,因为 x∈N,y∈N,所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时,相应直线在 y 轴上的截距最大,此时 x+y 取得最大值,x+y 的最大值是 10.

?0≤x≤1 ? 14.(2011· 苏北四市三调)在约 束条件?0≤y≤2 下, ?x-1?2+y2的最小值为________. ?2y-x≥1 ?
[答案] 2 5 5

[解析] 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,注意到 ?x-1?2+y2可视为 该区域内的点(x,y)与点(1,0)之间距离,结合下图可知,该距离的最小值等于点(1,0)到直线 |-1-1| 2 5 2y-x=1 的距离,即为 = . 5 5

15. (文)(2010· 吉林省质检)某单位投资生产 A 产品时, 每生产 1 百吨需要资金 2 百万元, 需场地 2 百平 方米,可获利润 3 百万元;投资生产 B 产品时,每生产 1 百米需要资金 3 百 万元,需场地 1 百平方米,可获利润 2 百万元.现该单位有可使用资金 14 百万元,场地 9 百平方米,如果利用这些资金和场地用来生产 A、B 两种产品,那么分别生产 A、B 两种产 品各多少时,可获得最大利润?最大利润是多少? [解析] 设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 百米,共获得利润 S 百万元,则

?2x+3y≤14 ?2x+y≤9 ?x≥0 ?y≥0 ?



目标函数为 S=3x+2y. 作出可行域如上图,
?2x+y=9 ? 13 5 由? 解得直线 2x+y=9 和 2x+3y=14 的交点为 A? 4 ,2?,平移直线 y= ? ? ? ?2x+3y=14

13 5 3 S 3 S S - x+ ,当它经过点 A? 4 ,2?时,直线 y=- x+ 在 y 轴上截距 最大,S 也最大. ? ? 2 2 2 2 2 13 5 此时,S=3× +2× =14.75. 4 2 因此, 生产 A 产品 3.25 百吨, 生产 B 产品 2.5 百米, 可获得最大利润, 最大利润为 1475 万元. (理)(2010· 茂名模考)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都有一部分是一等品,其余 是二等品, 已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多 0.25, 甲产品为二等品的 概率比乙产品为一等品的概率少 0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率 P 甲,P 乙; (2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示,且该厂有工人 32 名,可用资 金 55 万元.设 x,y 分别表示生产甲、乙产品的数量,在(1)的条件下,求 x,y 为何值时, z=xP 甲+yP 乙最大,最大值是多少? 项目 用量 产品 甲 乙
? ?P甲-P乙=0.25 [解析] (1)依题意得? , ?1-P甲=P乙-0.05 ?

工人(名)

资金(万元)

4 8

20 5

?P甲=0.65 ? 解得? , ? ?P乙=0.4

故甲产品为一等品的概率 P 甲=0.65,乙产品为一等品的概率 P 乙=0.4. (2)依题意得 x、y 应满足的约束条件为

?4x+8y≤32 ?20x+5y≤55 ?x≥0 ?y≥0 ?

,且 z=0.65x+0.4y.

作出以上不等式组所表示的平面区域(如上图阴影部分),即可行域. 作直线 l:0.65x+0.4y=0 即 13x+8y=0,把直线 l 向上方平移到 l1 的位置时,直线经 过可行域内的点 M,且 l1 与原点的距离最大,此时 z 取最大值.
?x+2y=8 ? 解方程组? ,得 x=2,y=3. ? ?4x+y=11

故 M 的坐标为(2,3),所以 z 的最大值为 zmax=0.65× 2+0.4× 3=2.5

?y≥x-1, ? 1.在坐标平面上,不等式组? 所表示的平面区域的面积为( ? ?y≤-3|x|+1

)

A. 2 3 2 C. 2 [答案] B

3 B. 2 D.2

?y≥x-1 ? [解析] 不等式组? 的图形如下图. ? ?y≤-3|x|+1

1 1 解得:A(0,1) D(0,-1) B(-1,-2) C( ,- ) 2 2 1 1 1 S△ABC= × |AD|×|xC-xB|= × ( +1) 2× 2 2 2 3 = ,故选 B. 2

?x+y≥2 ? 2.(2010· 重庆市南开中学)不等式组?2x-y≤4 ?x-y≥0 ?
A.3 2 C.6 [答案] D

所围成的平面区域的面积为(

)

B.6 2 D.3

[解析] 不等式组表示的平面区域为图中 Rt△ABC,易求 B(4,4),A(1,1),C(2,0)

1 1 ∴S△ABC=S△OBC-S△AOC= × 4- × 1=3. 2× 2× 2 2 3.(2010· 南昌市模拟)已知 a,b∈R ,a+b=1,M=2a+2b,则 M 的整数部分是(


)

A.1 C.3 [答案] B

B.2 D.4

[解析] ∵a,b∈R ,a+b=1,∴0<a<1,设 t=2a,则 t∈(1,2),M=2a+2b=2a+21-a 2 =t+ ≥2 2,等号在 t= 2时成立,又 t=1 或 2 时,M=3,∴2 2≤M<3,故选 B. t



?x+2y≤4 ? 4.(2010· 广东中山)实数 x,y 满足条件?x+y≥1 ?y≥0 ?
A.12 C.8 [答案] A

,则 3x+5y 的最大值为(

)

B.9 D.3

[解析] 由下图可知,当 z=3x+5y 经过点 A(4,0)时,z 取最大值,最大值为 12,故选 A.

?x≥0, ?y≥0, 5.(2011· 湖北高考)直线 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ?4x+3y≤20 ?
公共点有( ) B.1 个 D.无数个 A.0 个 C.2 个 [答案] B

表示的平面区域的

[解析] 直线 2x+y-10=0 与不等式组表示的平面区域的位置关系如下图所示,故直 线与此区域的公共点只有 1 个,选 B.

?x+2y-19≥0, ? 6.(2011· 黄山期末)设二元一次不等式组?x-y+8≥0, ?2x+y-14≤0 ?
函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域 M 的 a 的 取值范围是( A.[1,3] C.[2,9] [答案] C [解析] )

所表示的平面区域为 M,使

B.[2, 10] D.[ 10,9]

? ?x+2y-19=0 作出不等式表示的平面区域如下图,由? 得 A(1,9) , 由 ?x-y+8=0 ?

?x+2y-19=0 ? ? 得 B(3,8),当函数 y=ax 过点 A 时,a=9,过点 B 时,a=2,∴要使 y=ax ? ?2x+y-14=0

的图象经过区域 M,应有 2≤a≤9.

2 4 7.如下图,目标函数 z=ax-y 的可行域为四边形 OACB(含边界),若 C( , )是该目 3 5 标函 数 z=ax-y 的最优解,则 a 的取值范围是________.

12 3 [答案] (- ,- ) 5 10 8.某人有楼房一幢,室内面积共计 180m2,拟分隔 成两类房间作为旅游客房.大房间 每间面积 18m2,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费 40 元;小房间每间面积 15m2,可住 游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元;装修大房间每间需要 1000 元,装修小房间每间需 要 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修,且游客能住满客房,他隔出大房间和小房间 各多少间,能获得最大收益?

[解析] 设隔出大房间 x 间,小房间 y 间时收益为 z 元,

?18x+15y≤180 ? 则 x,y 满足?1000x+600y≤8000 ?x≥0,y≥0,x,y∈Z ?
约束条件可化简为:

,且 z=200x+150y.

?6x+5y≤60 ? ?5x+3y≤40 ?x≥0,y≥0,x,y∈Z ?
可行域为如下图所示的阴影部分(含边界)作直线 l:200x+150y=0,即直线 l:4x+3y =0 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过点 B,且与原点的距离最大,此时 z= 200x+150y 取得最大值.

? ?6x+5y=60 20 60 解方程组? ,得到 B( , ). 7 7 ? ?5x+3y=40

由于点 B 的坐标不是整数,而最优解(x,y)中的 x,y 必须都是整数,所以,可行域内 20 60 的点 B( , )不是最优解,通过检验,当经过的整点是(0,12)和(3,8)时,z 取最大值 1800 7 7 元. 于是,隔出小房间 12 间,或大房间 3 间、小房间 8 间, 可以获得最大收益. [点评] 当所求解问题的结果是整数,而最优解不是整数时,可取最优解附近的整点检 验,找出符合题意的整数最优解.


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