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新高考下的二轮复习之函数与导数(汪娟娟)2


新高考理念下的 二轮复习 之函数与导数

壹 贰

知考情 ,明方向, 揭秘命题趋势
析经典,寻规律, 掌握方法技巧

叁 抓规范,重纠错,
争取高考辉煌

导数的简单应用与定积分

导数的综合应用

导数命题的规律

小题考点可总结为八类: 一、分段函数, 二、函数的性质, 三、基本函数, 四、函数图像, 五、方程的根(函数的零点), 六、函数的最值, 七、导数及其应用, 八、定积分.

解答题常见的考点可分为六个方面, 一、变量的取值范围问题, 二、证明不等式的问题, 三、方程的根(函数的零点)问题, 四、函数的最值与极值问题, 五、导数的几何意义问题, 六、存在性问题.

全面掌握函数类型,形成解题模式:
x e ln x x 常用函数有: f1 ( x) ? xe , f2 ( x) ? , f3 ( x) ? x ln x, f4 ( x) ? x x

常见的函数不等式
e ? x ?1
x

ln(x ? 1) ? x

sin x ? x(0 ? x ? ? )

函数与导数备考建议

1、基本函数的性质,图象的应用要熟练

2、多做分解训练,大题化小的训练
3 、基本思想 : 分类讨论思想,数形 结合思想,转化化归 , 构造函数 , 不 等式放缩,变量赋值等。

突破一:分类讨论
解决途径:机械化、步骤化、程序化。 说好听点:算法思想

函数解析式 为什么要求定义域? 通常什么时候需要求定义域? 求定义域的注意事项?

函数定义域

求导函数

通常都有哪些类型? 求导的易错点有哪些? 怎样整理函数导数式?

求导函数零点

求导函数零点通常都有哪些类型? 是否一定有零点? 零点及定义域边界的大小关系?

导函数符号变化表

写函数单调区间

明确研究的范围是什么? 判断符号的依据是什么?(基本 初等函数图象和性质以及因式符 号判断) 有哪些注意事项?

形如f ' ( x ) ? a x2 ? b x ? c的不等式 ?当a ? 0时,f ' ( x )为一元一次不等式 ? ? ? ? ? ? ?? ? 0 ? ? 2 当 a ? 0 时, ? = b ? 4 a c , ?? ? 0 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? x1 ? x2 ? ?

讨论x1 , x2是否在定义域内
a ? 0“上穿下”; , a ? 0,“下穿上”。

例 1、 (中原名校 21 题)

已知函数 f ? x ? ?

a ? ln x x

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ?1, e? 上的最小值是

3 ,求 a 的值; 2

( 2 )当 a ? 1 时,设 F ? x ? ? f ? x ? ? 1 ?
【解析】 (1)因 为

f ?( x) ?

①当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,其最小值为 f (1) ? a ? 1 ,这与函数

x?a ,且 x ??1, e? ,则 2 x

F ? x? ln x e ?1 ,求证:当 x ? 1 时, x ?1 ? x x 2e xe ? 1

3 相矛盾; 2 ② 当 1 ? a ? e 时 , 函 数 f ( x ) 在 [1, a ) 上 有 f ?( x) ? 0 , 单 调 递 减 , 在 ( a , e] 上 有 f ?( x) ? 0 ,单调递增, 3 ∴函数 f ( x ) 的最小值为 f ( a ) ? ln a ? 1 ? ,得 a ? e . 2 a ③当 a ? e 时, f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 在 ?1, e? 上单调递减, 其最小值为 f (e) ? 1 ? ? 2 , e 3 与最小值是 相矛盾. 2
在 ?1, e? 上的最小值是

综上所述, a 的值为 e .

例 2、( 2014·山东高考文科·T 20) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? x ? 1 ,其中
x ?1

a 为常数 .

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求曲线 y ? f ? x? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f ? x ? 的单调性 .
(2)
2 a 2 ax ? (2a ? 2) x ? a ' f ( x) ? ? ? ( x ? 0) 2 2 x ( x ? 1) x( x ? 1)

①当a ? 0时, f ?( x) ?

2 恒大于0. f ( x)在定义域上单调递增. 2 ( x ? 1)

a 2 a( x ? 1)2 ? 2 x ②当a ? 0时,f ?( x) ? ? = ? 0. f ( x)在定义域上单调递增. 2 2 x ( x ? 1) x( x ? 1)

1 ③当a ? 0时,? ? (2a ? 2) ? 4a ? 8a ? 4 ? 0, 即a ? ? . 2
2 2

开口向下,f ( x)在定义域上单调递减。
1 ?(2a ? 2) ? 8a ? 4 ?a ? 1 ? 2a ? 1 当 ? ? a ? 0时,? ? 0.x1,2 ? ? 2 2a a
2a ? 2 1 对称轴方程为x ? ? ? ?1 ? ? 0.且x1 ?x2 ? 1 ? 0 2a a

f ( x)在(0,

? a ? 1 ? 2a ? 1 ? a ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ? a ? 2 a ? 1 )单调递减, 在( , )单调递增, a a a

? 1 ? a ? 2a ? 1 在( , ? ?)单调递减, a

突破二:用分离变量的方法求解 存在性或恒成立问题
解决途径:反复强化,多题一解
[例 3]
2 f ( x ) ? x ? x ? a ln(x ? 1) 若 (a ? 0 )

在定义域内既有极大值又有极小值,求 a 的取值范围。

解:定义域:(-1,+∞).

分离常量,动曲线不如动直线! 数形结合,事半功倍! f′(x)=0, 即2x2+3x+a+1=0.
∵函数f(x)有极大值和极小值,

∴方程2x2+3x+a+1=0在(-1,+∞)上有两个不
相等的实根。



-2x2-3x-1=a

令y1= -2x2-3x-1 , y2= a,即在(-1,+∞) 上,两

一个极值呢? 没有极值呢?

只图像有两个不同的交点
解得:

考点突破

导数几何意义与极值的综合应用

[例4]、(2014· 北京卷改编)已知函数f(x)=2x3-3x.

(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的 取值范围;
(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0), 2 则 y0=2x3 0-3x0,且切线斜率为 k=6x0-3, 所以切线方程为 y-y0=(6x2 0-3)(x-x0), 因此 t-y0=(6x2 0-3)(1-x0).
2 整理得 4x3 0-6x0+t+3=0.

设g(x)= - 4x3+6x2- 3,y=t 则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切” 等价于“y=g(x)与y=t有3个不同的交点” . g′(x)=-12x2 + 12x=-12x(x-1).

考点突破

导数几何意义与极值的综合应用

[例4]、(2014· 北京卷改编)已知函数f(x)=2x3-3x.

(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的 取值范围; 2条呢? 1条呢?
g(x)与g′(x)的变化情况如下表:
x g′(x) (-∞,0) - ↘ 0 0 (0,1) + 1 0 (1,+∞) -

g(x)

-3



-1



当-3<t<-1时, y=g(x)与y=t有3个不同的交点.即过点 P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围 是(-3,-1).

已知方程根的分布,求参数范围问题:
分离常量,动曲线不如动直线!

数形结合,事半功倍! 含参不等式恒成立问题 或存在性问题常用的方 法是:通过分离参数, 如果函数最值存在的话, 可转成求最值问题。 避免分类讨论。

例 5、( 2016 合肥二模)已知函数 g( x) ? ax ? x ? x ( a 为实数)
3 2

( 1)试讨论函数的单调性;
1 ( 2)若对 ?x ? (0,??) 恒有 g ( x) ? ln x ? ,求实数 a 的取值范围。 x

突破三:用函数图像解决问题
2014 新课标Ⅱ理 15. 已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减,

f ? 2? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__________.
2 数 f ? x ? ? ?x ? 4 , 头脑中浮现出零点为 2,-2,开口向下 的抛物线 ( 如图 ) ,若满足 f ? x ?1? ? 0 ,则

解法分析:阅读理解,把本题特殊化,设符合条件的函

x ? 1 必夹在-2,2 之间。
于是,解得 x ? (?1,3)

【评析】函数、方程、不等式的综合问题,将整体函数分拆成 两个熟悉的函数,结合图象,发现其特点,唯一的整数即为 0, 抓住端点 x ? ?1 进行分析比较。

2013 理科第 11 题(文科第 12 题) 已知函数 的取值范围是
A
? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 f ( x) = ? , 若| f ( x) |≥ ax , 则a ln( x ? 1), x ? 0 ?




D .[-2,0]

(??, 0] B (??,1] C [-2,1]

此题如果用纯代数的方法计算 a 的取值,只能由 |
?x ? 0 ?x ? 0 f ( x) |≥ ax 得,① ? 2 且② ?ln( x ? 1) ? ax ,几乎 x ? 2 x ? ax ? ?

难以完成,因为要辅之取特殊值,甚至取两次,才能 确定 D。

最有效还是勾勒草图。 由函数ln(x+1)(x>0) 的图像在直线y=ax上 方,可知a ≤0; 2 x 由函数 ? 2x( x ? 0) 的 图像在直线y=ax上方 知a ≥-2; 函数 f (x) 与直 (-2是函数在x=0处 线y=ax的草图 的导数) 故选[-2,0]。

卷面字迹潦草

写了很多,不知所云,踩不到点上
很多解答题学生一看不会做就放弃

【真题示例】(12分)(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=emx+x2-mx. (1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范 围.

【标准答案】 (1)

???????????????1分
若m≥0②,则当x∈(-≦,0)时, emx-1≤0,f′(x)<0; 当x∈(0,+≦)时,emx-1≥0, f′(x)>0.???????????2分

f ? ? x ? ? m ? emx ? 1? ? 2x ① .

若m<0②,则当x∈(-≦,0)时, emx-1>0,f′(x)<0;

当x∈(0,+≦)时,emx-1<0,f′(x)>0.?????????3分
所以f(x)在(-≦,0)单调递减,

在(0,+≦)单调递增.③???????????????4分

(2)由(1)知,对于任意的m,f(x)在[-1,0]单调递减, 在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.④

???????????????????5分
所以对于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1

的充要条件是


m

? ?f ?1? ? f ? 0 ? ? e ? 1, ? 0 ? ? e ? 1, ? ?f ? ?1? ? f ?????????? 6分


? ?e ? m ? e ? 1, ? ?m ? ?e ? m ? e ? 1,

设函数g(t)=et-t-e+1,⑥???????7分 g′(t)=et-1.当t<0时,g′(t)<0; 当t>0时,g′(t)>0.故g(t)在(-≦,0)单调递减,在(0,+≦)单调递增. ???????????????????8分

又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,
故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0. 当m∈[-1,1]时⑦,g(m)≤0,g(-m)≤0,即 式成立;???9分

当m>1时⑦,由g(t)的单调性,g(m)>0,即em-m>e-1;???10分
当m<-1时⑦,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.?????????11分

综上, m的取值范围是[-1,1]⑧??????????12分

【满分心得】 (1)写全得分步骤:对于解题过程中是得分点的步骤,有则给分,无则没

分,所以对于得分点步骤一定要写全,如第(1)问,求出导数就得分,第
(2)问中,在-1≤m≤1,m>1,m<-1做出一种得1分. (2)写明得分关键:对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,所

以在答题时一定要写清得分关键点,如第(1)问中一定要写出判断导数
符号的过程,没有则不得分;第(2)问中直接在区间[-1,1]内取了一个

特殊值,不得分,只有求出函数f(x)的最值,构造出新函数,且分类正确,
才给分.

x2 (13分)(2015·北京高考)设函数f(x)= -kln x,k>0. 2
(1)求f(x)的单调区间和极值. (2)证明若f(x)有零点,则f(x)在区间(1, e )上仅有一个零点.

【答卷抽样】

【体验阅卷】仔细审题,看看以上解题过程有错误吗?你认为此答案可 以得多少分?归纳一下,从这个解题过程中自己可以得到哪些启示 ? 分析:上面解答过程中存在两处失分点: 一是第(1)问中未写明函数的定义域,而后面求解过程中用到了定义域, 此处会扣掉2分;

二是第(2)问中判断零点问题时,只注意了端点处函数值的符号,而没
有考虑函数的单调性,分别扣掉2分.

综上可知答案及结论正确,但证明过程不完整,一共扣掉8分,本题只能
得 5分 .

典型错误
(1)、忽略定义域

(2)、复合函数求导出错(ln(-x))
(3)、混淆函数极值点与相应导数为零的根的

关系
(4)将切线和曲线的图象画在同一坐标系,用

几何直观代替代数推理演算;
(5)孤立研究两个函数,不能构造新的函数并

等价转化问题。

壹 贰

知考情 ,明方向, 揭秘命题趋势
析经典,寻规律, 掌握方法技巧

叁 抓规范,重纠错,
高考一定辉煌


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