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【精选高中试题】安徽省无为县高三上学期第一次月考数学(理)试卷Word版含答案_图文


安徽省无为县 2018 届高三数学上学期第一次月考试题 理
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
2 1.集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 , B ? x x ? 2 则(

?

?

?

?

) D. A

A. A

B??

B. A

B?A

C. A

B?A

B?R


2 已知复数 m ? 4 ? xi , n ? 3 ? 2i ,若复数 A. ?6 B.6

n ? R ,则实数 x 的值为( m 8 3

C. ?

D. )

8 3

3.如图是某个几何体的三视图,则这个几何体体积是(

A. 2 ? C. 4 ?

?
2

B. 2 ? D. 4 ?

?
3

?
3

?
2

4.已知等边 ?ABC 与等边 ?DEF 同时内接于圆 O 中,且 BC / / EF ,若往圆 O 内投掷一点,则该点 落在图中阴影部分内的概率为( )

A.

3

?

B.

3

?

C.

3 2?

D.

6 4?
8 4

5.已知等比数列 A.2

?an ? ,且 a6 ? a8 ? 4 ,则 a ? a
B.4

? 2a6 ? a8 ? 的值为(
C.8

) D.16

6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题: “今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一, 后人四分取一,余米一斗五升.问,米几何?”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,

若输出的 S ? 1.5 (单位:升) ,则输入 k 的值为(



A.4.5

B.6

C.7.5

D.9

2 2 7.已知角 α 终边与单位圆 x +y =1 的交点为 p ( , y ) ,则 sin(

1 2

?
2

? 2 a ) =(



A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.1

?2 x ? y ? 3 ? 0, x? y ? 8、设 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, 若 的最大值为 2,则 a 的值为( x? y ? x ? a ? 0, ?
A.



1 2

B.

1 4

C.

3 8

D.

5 9

9、已知向量 OA ? 3 , OB ? 2 ,OC ? mOA ? nOB ,若 OA 与 OB 的夹角为 60°,且 OC ? AB , 则实数

m 的值为( n 1 A. 6

) B.

1 4

C. 6

D. 4

10. 函数 f ( x) ? 立的是( )

ax ? b 的图象如图所示, 则下列结论成 ( x ? c) 2

A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0

C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0 11.四面体 A ? BCD 中, AB ? CD ? 10 , AC ? BD ? 2 34 , AD ? BC ? 2 41 ,则四面体 A ? BCD 外 接球的表面积为( A. 50? ) B. 100? C. 200? D. 300?

? 1 ? 1, ? 1<x ? 0 ? , 12.已知定义域为 R 的函数 g(x) ,当 x∈(﹣1,1]时, g ( x) ? ? x ? 1 2 ? x ? 3x ? 2, 0<x ? 1 ?
且 g(x+2)=g(x)对? x∈R 恒成立,若函数 f(x)=g(x)﹣m(x+1)在区间[﹣1,5]内有 6 个 零点,则实数 m 的取值范围是( A. ( , ) B. (﹣∞, ) ]∪( ,+∞) C.[ , ) D. [ , ]

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
2 13、已知函数 f ( x) ? x ? 2 x sin(

?
2

x) ? 1 的两个零点分别为 m、n(m<n) ,则

= 14.已知数列 ?an ? 为等差数列, ?bn ? 为等比数列,且 an ? 0, bn ? 0 ,记数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和为

? a ? 25 ? Sn ,若 a1 ? b1 ? 1, S n ? ? n ? 1? ? 3n ? 1? n ? N ? ? ,则数列 ? n ? 的最大项为第_______项. ? bn ?
15.若 ?x ? y ? 1? ?2x ? y ? a? 的展开式中各项系数的和为 32, 则展开式中只含字母 x 且 x 的次数为
3 5

1 的项的系数为________

16.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 F 向双曲线的 a 2 b2

一条渐进线引垂线,垂足为 M ,交另一条渐近线于 N ,若 2MF ? FN ,则双曲线的离心率 为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 sin A+sin C=sin B ﹣sinAsinC. (1)求 B 的大小;
2 2 2

(2)设∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D,AD=2

,BD=1,求 sin∠BAC 的值.

B

D

C

18、 (本小题满分 12 分) 2016 年底,某城市地铁交通建设项目已经基本完成,为了解市民对该项目 的满意度,分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分 100 分),绘制如下频率分布直方图,并将分数从低到高分为四个等级:

满意度评分 满意度等级

低于 60 分 不满意

60 分到 79 分 基本满意

80 分到 89 分 满意

不低于 90 分 非常满意

已知满意度等级为基本满意的有 680 人. (Ⅰ)若市民的满意度评分相互独立,以满意度样本估计全市市民满意度.现从全市市民中随机抽 取 4 人,求至少有 2 人非常满意的概率; 1 (Ⅱ)在等级为不满意市民中,老年人占 .现从该等级市民中按年龄分层抽取 15 人了解不满意的原 3 因,并从中选取 3 人担任整改督导员,记 X 为老年督导员的人数,求 X 的分布列及数学期望 E(X);

19(本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 S﹣ABCD 中,SA⊥平面 ABCD,

∠ABC=∠BCD=90°,且 SA=AB=BC=2CD=2,E 是边 SB 的中点. (1)求证:CE∥平面 SAD;

(2)求二面角 D﹣EC﹣B 的余弦值大小.

20.(本小题满分 12 分)已知 A 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的一点,以点 A 和点 B(2, 0) 为直径的圆 C 交直 线 x ? 1 于 M , N 两点,直线 l 与 AB 平行,且直线 l 交抛物线于 P , Q 两点. (Ⅰ)求线段 MN 的长; (Ⅱ)若

OP ? OQ ? ?3 ,且直线 PQ 与圆 C 相交所得弦长与 | MN | 相等,求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分)函数 f(x)=lnx+ (1)讨论 f(x)的极值点的个数;

+ax(a∈R) ,g(x)=ex+



(2)若对于? x>0,总有 f(x)≤g(x) . (i)求实数 a 的取值范围; (ii)求证:对于? x>0, 不等式 ex+x2﹣(e+1)x+ >2 成立.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分(本小题满分 10 分) . 22.以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知

1 ? ? x ? ? t cos? 直线 l 的参数方程为 ? , ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,曲线 C 的极坐标方程为 2 ? ? y ? t sin ?

? sin 2 ? ? 2cos ? ? 0 .
(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A , B 两点,当 ? 变化时,求 AB 的最小值. 23.已知函数 f ? x ? ? x ? 5 ? x ? 2 . (1)若 ?x ? R ,使得 f ? x ? ? m 成立,求 m 的范围; (2)求不等式 x2 ? 8x ? 15 ? f ( x) ? 0 的解集

高三数学(理科)参考答案选择题 一、1-5 BCACD 6-10 BACAC 二、填空题 13 ? 14.14 15.-7 16. 11-12CC

2
三、解答题 17.解: (本小题满分 12 分)

2 3 3

(1)在△ABC 中,∵sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC, ∴a2+c2=b2﹣ac,… ∴cosB= ∵B∈(0,π ) ,… ∴B= .… , =﹣ =﹣ ,…

(2)在△ABD 中,由正弦定理:

∴sin∠BAD=

=

=

,…

∴cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin ∠BAD=1﹣2× ∴sin∠BAC= =

2

=

,… = . …

18. 解: (1)由频率分布直方图可知则 10×(0.035+a+0.020+0.014+0.004+0.002)=1,所以

a=0.025,所以市民非常满意的概率为 0.025×10= .又市民的满意度评分相互独立,
189 67 故所求事件的概率 P=1- = .6 分 256 256 1 (2)按年龄分层抽样抽取 15 人进行座谈,则老年市民抽 15× =5 人,从 15 人中选取 3 名整改督导 3 员的所有可能情况为 C15,由题知 X 的可能取值为 0,1,2,3,P(X=0)=
3

1 4

C10 24 C5C10 45 ,P(X=1)= 3 = , 3 = C15 91 C15 91

3

1 2

P(X=2)=

C5C10 20 C5 2 ,P(X=3)= 3 = , 3 = C15 91 C15 91

2 1

3

X 分布列为 X P
所以 E(X)=0× 0 24 91 1 错误! 2 错误! 12 分 3 2 91

24 45 20 2 +1× +2× +3× =1.8 分 91 91 91 91

19【解答】证明: (1)取 SA 中点 F,连结 EF,FD, ∵E 是边 SB 的中点, ∴EF∥AB,且 EF= AB,

又∵∠ABC=∠BCD=90°, ∴AB∥CD, 又∵AB=2CD,且 EF=CD, ∴四边形 EFDC 是平行四边形, ∴FD∥EC, 又 FD? 平面 SAD,CE?平面 SAD, ∴CE∥面 SAD. 解: (2)在底面内过点 A 作直线 AM∥BC,则 AB⊥AM, 又 SA⊥平面 ABCD, 以 AB,AM,AS 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,D(1,2,0) ,D(1,2,0) ,E(1,0,1) , 则 =(0,2,0) , =(﹣1,0,1) , =(x,y,z) , ,取 x=1,得 =(0,1,2) , = , =(1,0,1) , =(﹣1,0, ) , =(﹣1,﹣2,1) ,

设面 BCE 的一个法向量为 则

同理求得面 DEC 的一个法向量为 cos< >=

由图可知二面角 D﹣EC﹣B 是钝二面角,

∴二面角 D﹣EC﹣B 的余弦值为﹣



.. 20. 解: (20.解: (Ⅰ)设 A(

y0 2 y2 , y0 ) ,圆 C 方程为 ( x ? 2)( x ? 0 ) ? y( y ? y0 ) ? 0 , 4 4

令 x ? 1 ,得 y ? y0 y ?
2

y0 2 y2 ? 1 ? 0 ,∴ yM ? yN ? y0 , yM yN ? 0 ? 1 , 4 4
2 2

y02 | MN |?| yM ? yN |? ( yM ? yN ) ? 4 yM yN ? y0 ? 4( ? 1) ? 2 . 4
(Ⅱ)设直线 l 的方程为 x ? my ? n , P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 由?

? x ? my ? n, ? y ? 4 x,
2

消去 x ,得 y ? 4my ? 4n ? 0 ,
2

y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4n ,
( y1 y2 ) 2 ? y1 y2 ? ?3 , ∵ OP ? OQ ? ?3 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? ?3 ,则 16
2 ∴ n ? 4n ? 3 ? 0 ,解得 n ? 1 或 n ? 3 ,

当 n ? 1 或 n ? 3 时,当 B(2, 0) 到直线 l 的距离 d ?

1 1 ? m2



∵圆心 C 到直线 l 的距离等于直线 x ? 1 的距离,∴

y0 2 1 , ? 8 1 ? m2

y0 2 ?2 4 2 y0 ? 64 4 ? 64 ,求得 y02 ? 8 , 又m ? ,消去 m 得 y0 ? y0 16

y0 2 ?2 4 此时, m ? ? 0 ,直线 l 的方程为 x ? 3 , y0
综上,直线 l 的方程为 x ? 1 或 x ? 3 .

21.解: (1)由题意得 f'(x)=x+

+a=



当 a2﹣4≤0,即﹣2≤a≤2 时,f'(x)≥0 恒成立,无极值点; 当 a2﹣4>0,即 a<﹣2 或 a>2 时, ①a<﹣2 时,设方程 x2+ax+1=0 两个不同实根为 x1,x2,不妨设 x1<x1,x2, 则 x1+x2=﹣a>0,x1x2=1>0,故 0<x1<x2, ∴x1,x2 是函数的两个极值点. ②a>2 时,设方程 x +ax+1=0 两个不同实根为 x1,x2, 则 x1+x2=﹣a<0,x1x2=1>0,故 x1<0,x2<0, 故函数没有极值点. 综上,当 a<﹣2 时,函数有两个极值点; 当 a≥﹣2 时,函数没有极值点. (2) (i)f(x)≤g(x)等价于 e ﹣lnx+x ≥ax, 由 x>0,即 a≤ 设 φ (x)= 对于? x>0 恒成立, (x>0) ,
x 2 2

φ ′(x)= ∵x>0,∴x∈(0,1)时,φ '(x)<0,φ (x)单调递减, x∈(1,+∞)时,φ '(x)>0,φ (x)单调递增, ∴φ (x)≥φ (1)=e+1, ∴a≤e+1. (ii) ( ii)由( i)知,当 a=e+1 时有 f(x)≤g(x) , 即:ex+ x2≥lnx+ x2+(e+1)x,



等价于 ex+x2﹣(e+1)x≥lnx…①当且仅当 x=1 时取等号, 以下证明:lnx+ ≥2,

设 θ (x)=lnx+

,则 θ ′(x)=



=



∴当 x∈(0,e)时 θ '(x)<0,θ (x)单调递减, x∈(e,+∞)时 θ '(x)>0,θ (x)单调递增, ∴θ (x)≥θ (e)=2, ∴lnx+ ≥2,②当且仅当 x=e 时取等号;
x 2

由于①②等号不同时成立,故有 e +x ﹣(e+1)x+

>2.

22.解:(I)由 程为

? sin 2 ? ? 2cos ? ? 0 ,得 ? 2 sin 2 ? ? 2? cos ?. ……4 分? 曲线 C 的直角坐标方

y 2 ? 2x ……5 分

(II)将直线 l 的参数方程代入 y 2 ? 2 x ,得 t 2 sin 2 ? ? 2t cos ? ? 1 ? 0. ……6分 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ?

2 cos ? 1 , t1 ? t2 ? ? ,……7分 2 sin ? sin 2 ?

AB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ?
当? ?

2 4cos2 ? 4 . ……9分 ? 2 ? 4 sin ? sin ? sin 2 ?

?
2

时, AB 的最小值为2. ……10分

x ? 2, ?3, 23.解: (I) f ( x) ?| x ? 5 | ? | x ? 2 |? ? ?7 ? 2 x, 2 ? x ? 5, ……3 分 ? ?3, x ? 5. ?

当 2 ? x ? 5 时, ?3 ? 7 ? 2 x ? 3 , (II)即 ? f ? x ? ? x 2 ? 8x ? 15

所以 ?3 ? f ( x) ? 3. ……4 分

∴ m ? ?3. ……5 分

由(I)可知,当 x ? 2 时, ? f ( x) ? x2 ? 8x ? 15 的解集为空集;……6 分 当 2 ? x ? 5 时, ? f ( x) ? x ? 8x ? 15 的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 5} ; ……8 分
2

当 x ? 5 时, ? f ( x) ? x ? 8x ? 15 的解集为 {x | 5 ? x ? 6} .……9 分
2

综上,不等式的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 6} .……10 分


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