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2017春人教版高中数学必修五课件:1.2 第2课时 解三角形的实际应用举例——高度、角度问题2


第2课时 解三角形的实际应用举例

——高度、角度问题

【题型探究】 类型一:测量高度问题 【典例1】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹 射型”气象观测仪器的垂直弹射高度,如图,在C处进行 该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100m,

∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚 2 s.
17

A地测得该仪器在C处时俯角为15°,A地测得最高点H时

的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空
气中的传播速度为340m/s)

【解题指南】由声速可得AC和BC之间的关系,再结合已 知A,B之间的距离,则可在△ABC中求解得到AC的长,进

而在△ACH内由正弦定理求得CH.

【解析】由题意,设AC=x,则BC=x- 2 ×340=x-40,
17

在△ABC中,由余弦定理得:

BC2=BA2+AC2-2BA·AC·cos∠BAC,
即(x-40)2=1002+x2-100x, 解得x=420.

在△ACH中,AC=420,∠CAH=30°+15°=45°,

∠AHC=90°-30°=60°,
CH AC 由正弦定理得: ? , sin?CAH sin?AHC

所以CH=AC· sin?CAH ? 140 6 ? m ? ,
sin?AHC

故该仪器的垂直弹射高度CH为140 6 m.

【规律总结】解决测量高度问题的一般步骤 (1)根据已知条件画出示意图.

(2)分析与问题有关的三角形.
(3)运用正、余弦定理解相关的三角形. 在解题过程中,要综合运用立体几何与平面几何的知识,

注意方程思想的运用.

【巩固训练】某人在塔的正东C处沿着南偏西60°的方 向前进40m到D处以后,望见塔在东北方向.若沿途测得

塔的最大仰角为30°,求塔的高度.

【解析】在△BDC中,CD=40m,∠BCD=90°-60°=30°, ∠DBC=45°+90°=135°.

由正弦定理,
CD BD 得 ? , sin?DBC sin?BCD

所以BD= CD ? sin?BCD ? 40sin 30? ? 20 2 ? m ? .
sin?DBC sin 135?

在Rt△ABE中,tan∠AEB= AB , AB为定值,
BE

故要使∠AEB最大,需要BE最小,

即BE⊥CD,这时∠AEB=30°.
在Rt△BED中,∠BDE=180°-135°-30°=15°, 所以BE=BD·sin∠BDE= 20 2sin 15? ? 10 ? 3 ? 1? ? m ?.

在Rt△ABE中, AB=BEtan∠AEB= 10 ? 3 ? 1? tan 30? ? 10 ? 3 ? 3 ? ? m ?.
3

即塔的高度为 10 ? 3 ? 3 ? m.
3

类型二:测量角度问题 【典例2】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘

正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏
西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小 时的航行速度向正东方向匀速行驶,经过t小时小艇与

轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/ 小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的 大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理 由.

【解题指南】先画出简图,再对照图形理解题意,然后 确定各个角度、各条边长(边长有已知的,有用字母表

示的),并尝试用正、余弦定理,函数,不等式的知识解
答.

【解析】设小艇航行速度的大小是v海里/小时,如图所 示,设小艇与轮船在B处相遇.

由余弦定理得: BO2=AO2+AB2-2AO·ABcosA. 所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°), 即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0<v≤30),

①当0<v<30时,则Δ=360000+1600(v2-900) =1600(v2-675),令Δ=0, 即1600(v2-675)=0,则 v ? 15 3, 当0<v< 15 3 时,两船不会相遇;当 15 3≤v<30时,
2 ? 300 ? 20 v ? 675 此时 t ? ; 2 v ? 900

2 ? 300 ? 20 v ? 675 时, 当t? v 2 ? 900

令 x ? v2 ? 675,则x∈[0,15),
?300 ? 20x ?20 4 t? 2 ? ? , x ? 225 x ? 15 3

当且仅当x=0,即v= 15 3 时,等号成立;
2 4 ? 300 ? 20 v ? 675 时,同理可得 2 当t? ?t? ; 2 3 3 v ? 900 综上可得,当 15 3≤v<30时, t ? 2; 3

2 ②当v=30时,可求得 t ? ; 3 2 综合①②可知,当v=30时,t取得最小值,且最小值是 , 3

此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可设计方案如下: 小艇的航行方向是北偏东30°,航行速度为30海里/小 时,此时小艇能以最短的时间与轮船相遇.

【延伸探究】本例中若小艇无最高航行速度限制,其他 条件不变.问: (1)若希望相遇时小艇航行距离最小,则小艇航行速度 为多少? (2)若保证小艇在30分钟内(含30分钟)与轮船相遇,试 求小艇航行速度的最小值.

【解析】(1)设相遇时小艇航行距离为S,则
S ? (30t) 2 ? 202 ? 2? 30t ?20cos (90? ? 30?)

1 2 ? 900t ? 600t ? 400 ? 900(t ? ) ? 300, 3 1 故当t= 时航行距离最小为 S ? 10 3 海里, 3
2

此时 v ? 10 3 ? 30 3(海里/小时),

1 3 即小艇以 30 3 海里/小时的速度航行,相遇时航行距离

最小.

(2)设小艇航行速度的大小是v海里/小时,小艇与轮船 在B处相遇如图,

由余弦定理OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos∠OAB得, (vt)2=202+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°),
600 1 3 2 化简得 v 2 ? 400 ? ? 900 ? 400( ? ) ? 675, 2
1 由于0<t≤ ,所以 1 ≥2, 2 t 故当 1 =2时,v取最小值10 13, t

t

t

t

4

即小艇航行速度的最小值为 10 13 海里/小时.

【规律总结】角度问题的解题思路 (1)根据题意和图形及方向角等概念,确定所求的角在 哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需求哪些量. (2)从实际问题中抽象出一个或几个三角形,结合图形 选择运用正弦定理,还是余弦定理.

【巩固训练】某渔船在航行中不幸遇险,发出呼叫信号, 我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为 45°,距离为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角为 105°的方向,以10海里/小时的速度向小岛B靠拢,我海 军舰艇立即以 10 3 海里/小时的速度前去营救,求舰艇 的航向和靠近渔船所需的时间.

【解析】如图所示,设所需时间为t小时,则AD= 10 3 t, CD=10t,在△ADC中,根据余弦定理,则有AD2=AC2+CD22AC·CDcos120°, 可得( 10 3 t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120°, 整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=- 1 (舍去).
2

即舰艇需1小时靠近渔船,此时AD= 10 3 ,CD=10,
CD AD 在△ADC中,由正弦定理得 ? , sin?CAD sin 120? 3 10 ? 2 ? 1, 所以sin∠CAD= CD ? sin 120? ? AD 2 10 3

所以∠CAD=30°,所以舰艇航行的方位角为75°.


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