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2015全国高考文科数学分类汇编专题03 导数


导数及应用 一、选择题 1.(安徽卷)函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图像如图所示,则下列结论成立的是 (A)a>0,b<0,c>0,d>0 (B)a>0,b<0,c<0,d>0 (C)a<0,b<0,c>0,d>0 (D)a>0,b>0,c>0,d<0

2.(福建卷) “对任意 x ? (0, A.充分而不必要条件

?
2

) , k sin x cos x ? x ”是“ k ? 1 ”的(
C. 充分必要条件



B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

3.(陕西卷)设 f(x)=x-sinx,则 f(x) (A)既是奇函数又是减函数(B)既是奇函数又是增函数 (C)是有零点的减函数 (D)是没有零点的奇函数

4. (上海卷)设 P n ( xn , yn ) 是直线 2 x ? y ?

n (n ? N ? ) 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 在第一象限的交点,则极限 n ?1

lim
n ??

yn ? 1 ?( xn ? 1
A. ? 1 C. 1

) B. ? D.

1 2
2

二、填空题 1. (新课标Ⅰ) 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ?1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ? 2, 7 ? , 则
3
2

?

?

a?

. .

2.(新课标Ⅱ)已知曲线 y ? x ? ln x 在点 (1,1) 处的切线与曲线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 1相切, 则a ? 3.(陕西卷)函数 y ? xe 在其极值点处的切线方程为____________.
x

4. (天津卷) 已知函数 f ? x ? ? ax ln x, x ? ? 0, ??? , 其中 a 为实数,f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数, 若 f ? ?1? ? 3 , 则 a 的值为 三、解答题 1.(新课标Ⅰ)设函数 f ? x ? ? e
2x



? a ln x .

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数;
1

(II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

2.(新课标Ⅱ)已知函数 f(x)=ln x +a(1- x) (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.

3.(安徽卷)已知函数 f ( x) ?

ax (a ? 0, r ? 0) ( x ? r )2

(1)求 f ( x) 的定义域,并讨论 f ( x) 的单调性; (2)若

a ? 400 ,求 f ( x) 在 (0,??) 内的极值。 r

x2 ? k ln x , k ? 0 4.(北京卷)设函数 f ( x) ? 2
(I)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (II)证明:若 f ( x ) 存在零点,则 f ( x ) 在区间(1, 5.(福建卷)已知函数 f ? x ? )上仅有一个零点。

? x ? 1? ? ln x ?
2

2



(I)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (II)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1; (III)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0 ? 1 ,当 x ? ?1, x0 ? 时,恒有 f ? x ? ? k ? x ?1? . 6.(广东卷)设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ? x ? a ? ? x ? a ? a ? a ? 1? .
2

?1? 若 f ? 0? ? 1,求 a 的取值范围; ? 2 ? 讨论 f ? x ? 的单调性;

? 3? 当 a ? 2 时,讨论 f ? x ? ? x 在区间 ?0, ??? 内的零点个数.
7.(湖北卷)设函数 f(x),g(x)的定义域均为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+ g(x)= e x ,其 中 e 为自然对数的底数。 (1)求 f(x),g(x)的解析式,并证明:当 x>0 时,f(x)>0,g(x)>1;
2

4

(2)设 a ? 0, b ? 1。证明:当 x>0 时, ag (x) ? (1 ? a) ?

f (x) ? bg (x) ? (1 ? b) x

8.(湖南卷)已知 a>0,函数 f ( x) ? ae2 cos x( x ?[0, ??) ,记 xn 为 f ( x ) 的从小到大的第 n(n ? N * ) 个极 值点。 (I)证明:数列 { f ( xn )} 是等比数列; (II)若对一切 n ? N * , xn ? f ( x n ) 恒成立,求 a 的取值范围。 9. (山东卷)设函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x, g ( x) ?

x2 ,已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 ex

2 x ? y ? 0 平行。
(I)求 a 的值; (II)是否存在自然数 k ,使的方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根?如果存在,求出 k ;如果 不存在,请说明理由; (III)设函数 m( x) ? min{ f ( x), g ( x)}(min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值) ,求 m( x) 的最大值.

10.(陕西卷)设 fn ( x) ? x ? x2 ???? ? xn ?1, x ? 0, n ? N , n ? 2. (1)求 f n' ( x) .

2 1 1 ?2? (2)证明: f n ( x) 在(0, )内有且仅有一个零点(记为 an ) ,且 0< an - < ? ? . 3 2 3 ?3?
11.(上海卷)已知函数 f ( x ) ? ax ?
2

n

1 ,其中 a 为常数 x

(1)根据 a 的不同取值,判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)若 a ? (1,3) ,判断函数 f ( x ) 在 [1, 2] 上的单调性,并说明理由.

2 2 12.(四川卷)已知函数 f(x)= ?2 x ln x ? x ? 2ax ? a ,其中 a>0.

(1)设 g(x)为 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (2)证明:存在 a ? (0,1) ,使得 f(x) ? g(x). 13.(天津卷)已知函数 f ( x) ? 4x ? x , x ? R,
4

3

(1)求 f ( x ) 的单调性; (2)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证:对于任意的正 实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;

a 1 (3)若方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 ,求证: x2 -x1 < - + 4 3 . 3

14.(浙江卷)设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b,(a, b ? R) . (1)当 b =

a2 +1 时,求函数 f ( x) 在 [- 1,1] 上的最小值 g (a) 的表达式; 4

(2)已知函数 f ( x ) 在 [- 1,1] 上存在零点, 0 ? b ? 2a ? 1 ,求 b 的取值范围.

15.(重庆卷)已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ( a ? R)在 x = ? (1)确定 a 的值; (2)若 g ( x) ? f ( x)e ,讨论的单调性.
x

4 处取得极值. 3

4


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