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几个常用函数的导数 3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则


3.2 3.2.1 3.2.2 导数的计算 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的 运算法则 1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则.(重点) 2.掌握几种常见函数的导数公式.(重点) 3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算.(重点) [基础· 初探] 教材整理 1 基本初等函数的导数公式 阅读教材 P81~P83 例 1 以上部分,完成下列问题. 基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 导函数 f′(x)=0 f′(x)=α· xα-1 f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a(a>0 且 a≠1) f′(x)=ex 1 f′(x)=xln a(a>0 且 a≠1) 1 f′(x)= x 1/9 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) 1 (1)(log3π)′=πln 3.( ) ) ) 1 (2)若 f(x)= x ,则 f′(x)=ln x.( (3)因为(sin x)′=cos x,所以(sin π)′=cos π=-1.( 【答案】 教材整理 2 (1)× (2)× (3)× 导数的运算法则 阅读教材 P84 例 2 以上部分,完成下列问题. 导数的运算法则 设两个函数 f(x),g(x)可导,则 和的导数 差的导数 积的导数 [f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x) [f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x) [f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ?′= (g(x)≠0) [g?x?]2 ?g?x?? 商的导数 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 f(x)=a2+2ax+x2,则 f′(a)=2a+2x.( f′?x? ? 1 ? (2)?f?x??′=- (f(x)≠0).( ? ? [f?x?]2 ) ) ) (3)运用法则求导时,不用考虑 f′(x),g′(x)是否存在.( 【答案】 (1)× (2)√ (3)× [小组合作型] 2/9 利用导数公式求函数的导数 (1)已知函数 f(x)=x2 在点(x0,y0)处的导数为 1,则 x0+y0=________. (2)求下列函数的导数: ①y=x20; 1 ②y=x4; ③y=log6x. π ④y=sin 3. 【自主解答】 (1)由题意可知,f′(x0)=1, 又 f′(x)=2x,所以 2x0=1, 1 1 3 所以 x0= ,y0= ,x0+y0= . 2 4 4 【答案】 3 4 (2)①y′=(x20)′=20x20-1=20x19. ②y′=(x-4)′=-4x-4-1=-4x-5. 1 ③y′=(log6x)′=xln 6. ? ④y′=?sin ? π? ′=0. 3? ? 用公式求函数导数的方法 1.若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解. 2.对于不能直接利用公式的类型, 关键是将其进行合理转化为可以直接应用 1 公式的基本函数的模式,如 y= 4可以写成 y=x-4,这样就可以直接使用幂函数 x 的求导公式求导,以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误. [再练一题] ? 3π? 1.(1)若 f(x)=cos x,则 f′?- 2 ?=( ? ? ) 3/9 A.0 【解析】 B.1 C.-1 3 D. 2 ∵f(x)=cos x,∴f′(x)=-sin x. ? 3π? ? 3π? 故 f′?- 2 ?=-sin?- 2 ?=-1. ? ? ? ? 【答案】 C (2)求下列函数的导数: 1 ①y=5x;②y=-x5; ③y=ln 3;④y=x x3. 【导学号:97792040】 【解】 ①y′=(5x)′=5xln 5. 利用导数的运算法则求函数的导数 求下列函数的导数: 1 x x (1)y=x2+sin 2cos 2; 3 ? ? (2)y=x?x2-2x-6?+2; ? ? (3)y=cos xln x; x (4)y=ex. 【自主解答】 x x? ?1 (1)y′=?x2+sin 2cos 2?′ ? ? ?1 ? =(x-2)′+?2sin x?′ ? ? 1 =-2x-3+2cos x 2 1 =-x3+2cos x. 4/9 ? 3 3 2 ? (2)y′=?x -2x -6x+2?′ ? ? ?3 ? =(x3)′-?2x2?′-(6x)′+(2)′ ? ? =3x2-3x-6. (3)y′=(cos xln x)′ =(cos x)′ln x+cos x(ln x)′ cos x =-sin xln x+ x . x x ? x ? ?x?′e -x?e ?′ (4)y′=?ex?′= ? ? ?ex?2 ex-xex 1-x = e2x = ex . 利用导数运算法则求函数的导数的两个策略 1.解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和 法则. 2.对于比较复杂的函数,若直接套用求导公式,会使求解的过程繁琐冗长, 且易出错.故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形,转化为容易求导的结构 形式再求导数,尽量回避利用积与商的求导公式. [再练一题] 2.(1)函数 f(x)=(x+1)2(x-1)在 x=1 处的导数为( A.1 C.3 【解析】 x3+x2-x-1. f′(x)=3x2+2x-1,f′(1)=3+2-1=4. 【答案】 D B.2 D.4 可对函数直接求导,再代入 x=1 后求值,f(x)=(x+1)2(x-1)= ) (2)求下列函数的导数: 1 1? ? ①y=x?x2+x +x3?; ? ? 5/9 ②y= ③y= sin x-

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