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黑龙江省哈三中2011届高三10月月考(数学文)


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2010哈三中 2010-2011 学年度上学期高三学年 10 月份月考

数学试题(文史类 数学试题(文史类)
史静 494582395@qq.com

考试说明: 考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试 时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的班级、姓名、考号和序号填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂在机读卡上,请在各题目的答题区域内作答; (3)只交机读卡和答题卡.

第I卷

(选择题,共 60 分) 选择题,

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 选择题( 一项是符合题目要求的) 一项是符合题目要求的) 1. cos ( ?210° ) = A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

3π ,半径为 1,则该扇形的圆心角的弧度数是 16 3π 3π 3π 3π A. B. C. D. 16 8 4 2 r r r r r r r 3.若平面向量 a, b 满足 a + b = (2, ?1) , b = (1, 2) ,则向量 a 与 b 的夹角等于
2.已知扇形的面积为 A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°

4.要得到函数 y = sin 2 x 的图象,可由函数 y = cos ? 2 x ? A.向左平移 C.向右平移

? ?

π?

? 的图象 6?

π π
6 6

个长度单位 个长度单位

B.向左平移 D.向右平移

π π
3 3

个长度单位 个长度单位

5.已知命题 p : 的取值范围是

2x < 1 ,命题 q : ( x + a )( x ? 3) > 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a x ?1

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A. ( ?3, ?1]

B. [ ?3, ?1]

C. ( ?∞, ?1]

D. ( ?∞, ?3]

6.函数 f ( x ) = cos x ? 3 sin x, x ∈ [ ?π , 0] 的单调递增区间是 A. [ ?π , ?

,0 ] 3 6 r r uuu r uuu r uuu uuu 1 uuu r 7.在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AB = 4 DB , CD = CA + λ CB (λ ∈ R ) ,则 4 3

π

]

B. [ ?

5π π ,? ] 6 6

C. [ ?

π

,0 ]

D. [ ?

π

λ 的值为
2 3

A.

B.

3 4

C. ?

2 3

D.

?

3 4

8.某函数图象如图,则下列一定不能作为该函数解析式的是 A. y = 2sin ? 2 x +

? ?

π?

? 3?

B. y = ?2sin ? 2 x ?

? ?

2π ? ? 3 ? 5π ? ? 6 ?

C. y = 2 cos ? 2 x + 9.若函数 y =

? ?

π?

? 6?

D. y = ?2 cos ? 2 x +

? ?

(a ? 1) x 2 ? (a + 2) x + 8 在 [1,2] 上为减函数,

则 a 的取值范围是 A [0,1) ∪ (1,2] B

[0,2]
3

[? 2,2]

(?∞,2]

10. 已知函数 f ( x) = x ? ax, x ∈ [ 0,1] ,关于 x 的不等式 f ( x) > 2 的解集为空集,则满足 条件的实数 a 的取值范围是 A.

[ ?1, 0]

B.

[ ?1,3]

C.

{0}

D.

[ ?1, +∞ )

11. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = f ( x + 2 ) ,当 x ∈ [ ?3, ?1] 时, f ( x ) = 1 ? x + 2 , 则有 A. f ( sin1) > f ( cos1) C. f ( cos1) > f ( sin 2 ) B. f ( sin 2 ) > f ( cos 2 ) D. f ( sin 2 ) > f ( sin1)

12. 在平面直角坐标系中, 若两个不同的点 A( a, b) ,B ( ? a, ?b) 均在函数 y = f ( x) 的图象上, 则称 [ A, B ] 为函数 f ( x ) 的一组关于原点的中心对称点( [ A, B ] 与 [ B, A] 看作同一组) ,函数

( x ≤ 0) ? 2sin 4 x g ( x) = ? 关于原点的中心对称点的组数为 ( x > 0) ?log 2 ( x + 1)

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A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

第 Ⅱ卷
r r

(非选择题,共 90 分) 非选择题,

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡的相应位置) 填空题( 个小题, 将答案填在答题卡的相应位置) 13. 已知平面向量 a, b 满足: a = ( ?1, 2 ) , b = 2 5 ,且 b 与 a 方向相反,则向量 b 的坐标 为 ______________. 14. 已知⊿ ABC 中, 设三个内角 A, B, C 对应的边长分别为 a, b, c , a = 1 , = 且 b 则c = .

r

r

r

r

r

3 ,A = 30° ,

15. 已知 cos (15° ? α ) =

1 ,则 sin ( 300° ? 2α ) = 3

.

16. 如图所示,两射线 OA 与 OB 交于 O ,下列向量若以 O 为起点,终点落在阴影区域内(含 边界)的是 ① . ②

uuu uuu r r 2OA ? OB
r r 3 uuu 1 uuu OA + OB 4 5

r r 3 uuu 1 uuu OA + OB 4 3 r r 3 uuu 1 uuu OA ? OB 4 5



r r 1 uuu 1 uuu OA + OB 2 3





小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三、解答题(本题共 6 小题,总分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题( 17. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,

cos A =

12 . 13

(Ⅰ)求 AB ? AC ; (Ⅱ)若 c ? b = 1 ,求 a 的值. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = 2 cos(ω x + ? ) (ω > 0, ?π < ? < 0) 的最小正周期
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为 π ,其图象的一条对称轴是直线 x = (Ⅰ)求 ω , ? ;

π
8



(Ⅱ)求函数 y = f (x ) 的单调递减区间; (Ⅲ)画出函数 y = f (x ) 在区间 [0, π ] 上的图象.

y 2 1

0 -1 -2

π
8

π
4

3π 8

π
2

5π 8

3π 4

7π 8

π

x

19.(本小题满分 12 分)有同学在用电子邮件时发现了一个有趣的现象,中国人的邮箱名称 里含有数字的比较多,而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究国籍与邮箱名称里 是否含有数字有关,于是我们共收集了 124 个邮箱名称,其中中国人的 64 个,外国人的 60 个,中国人的邮箱中有 43 个含数字,外国人的邮箱中有 27 个含数字. (1)请根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (2)问:能否有 95%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”?

K2 =

n(ad ? bc) 2 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

P(K 2 ≥ k 0 )

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

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k0

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

, 20.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,已知 A1 (?3, 0) , A2 (3, 0) , P ( x, y )

uuur uuuu uuuu r r M ( x 2 ? 9, 0) ,O 为坐标原点,若实数 λ 使向量 A1 P , λ OM 和 A2 P 满足:

λ 2 (OM ) 2 = A1 P ? A2 P ,设点 P 的轨迹为 W .
(1)求 W 的方程,并判断 W 是怎样的曲线; (2)当 λ =

uuuu r

uuur uuuu r

3 时,过点 A1 且斜率为 1 的直线与 W 相交的另一个交点为 B ,能否在直 3

线 x = ?9 上找到一点 C ,恰使 ?A1 BC 为正三角形?请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) =

1 3 ax ? x 2 + 2 , x ∈ R. 3

(Ⅰ)若 a = 3 ,求曲线 y = f ( x ) 在点 x = 2 处的切线方程; (Ⅱ)若对任意的 x ∈ [? 1,2] ,都有 f ( x ) > 0 恒成立,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所答的第一题记分

22.(本小题满分 10 分)已知曲线 C1 : ?

? x = 2 3 cos θ ?x = 5 + t ( t 为参数) C 2 : ? , ( θ 为参 ? y = 2t ? y = 3 sin θ

数) ,点 P, Q 分别在曲线 C1 和 C 2 上,求线段 PQ 长度的最小值.

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23. (本小题满分 10 分)函数 f ( x) = (Ⅰ)求 f (x ) 的值域;

x 2 ? 2x + 1 + 2 4 ? 4x + x 2 .

(Ⅱ)关于 x 的不等式 f ( x ) < m 有解,求实数 m 的范围.

数学文科答案 数学文科答案
答案: DBDCC ABCBB CC 15.

13.(2,-4)14. 1 或 2

7 9

16. ②

17.(1)由周期得 ω = 2 , f (0) = f ( ),∴? = ? (2)单调减区间为 ? kπ + (3)略

π

π
4

? ?

π
8

, kπ +

5π ? ,k ∈Z 8 ? ?

4

………………………4 分 ………………………6 分 ………………………12 分

uuu uuur r 18. (Ⅰ) AB AC = bc ? cos A ,
1 5 Q S ABC = bc sin A = 30,sin A = , ∴ bc = 156 2 12 uuu uuur r ∴ AB AC = 144
2 b 2 + c 2 ? a 2 ( b ? c ) + 2bc ? a 12 cos A = = = (Ⅱ( 2bc 2bc 13 ∴a = 5 2

……………4 分 ………………………6 分

………………………12 分 19. 解:

中国人 有数字 无数字 43 21

外国人 27 33

总计 70 54

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总计

64

60

124

----------------4 分

(2)由表中数据,得

124×(43×33-27×21) 2 K= ≈6.201, 70×54×64×60

2

------------------------10 分

因为 K ≥3.841,所以有 95%的把握认为“国籍与邮箱名称里是否含有数字有关”.--12 分 20.(1)由已知得 λ 2 ( x 2 ? 9) = x 2 ? 9 + y 2 , 即(λ 2 ? 1) x 2 ? y 2 = 9(λ 2 ? 1) …………… 2 分 ① λ > 1, 焦点在 x 轴上的双曲线
2

2

③ 0 < λ 2 < 1, 焦点在 x 轴上的椭圆 ④ λ = 1 ,直线 y = 0
2

② λ = 0 ,圆心在原点,半径为 3 的圆
2

……………………… 6 分

(2) λ =

3 x y , + =1 3 9 6 设直线 A1 B 方程为 y = x + 3
……………………………10 分

2

2

? x2 y 2 =1 ? + ? 5 x 2 + 18 x + 9 = 0 6 ?9 ?y = x +3 ? 3 12 12 2 ∴ A1 (?3, 0), B (? , ) A1 B = , 5 5 5 在直线 x = ?9 上,离 A1 ( ?3, 0), 最短距离为 6,
∴ A1C > 12 2 无法形成正三角形 5

……………………………12 分

21. 解: (Ⅰ) a = 3 时, f ( x ) = x 3 ? x 2 + 2 , f ( 2) = 6 ,

f ′( x) = 3 x 2 ? 2 x , f ′(2) = 8 ,切线方程为: y = 8 x ? 10
(Ⅱ) f ′( x ) = x ( ax ? 2) , (1) a = 0 时, f ′( x ) = ?2 x , f ( 2) = ?2 < 0 ,不符合题意,所以 a ≠ 0 ; (2) f ′( x ) = x ( ax ? 2) = 0 , x = 0 或 当0 <

2 , a

2 ≤ 2 ,即 a ≥ 1 时, a

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x
f ′( x) f ( x)

?1

(?1,0)

0

+
3?a 3


0
极大值 2

2 (0, ) a _


2 a
0
极小值

2 ( , 2) a +


2

2(3a 2 ? 2) 3a 2

2(4a ? 3) 3

2 2(3a 2 ? 2) 3?a 由 a ≥ 1 得, f ( ) = > 0 。只需 f (?1) = > 0 且, 2 a 3 3a
解得, 1 ≤ a < 3 (3)

2 > 2 ,即 0 < a < 1 时, a x ?1
f ′( x) f ( x)

(?1,0)

0 0
极大值 2

(0,2)

2

+
3?a 3


_


2(4a ? 3) 3

3?a 2(4a ? 3) 3 > 0 ,只需 f (2) = > 0 ,解得, < a < 1 3 3 4 2(4a ? 3) (4) a < 0 时, f ( 2) = < 0 ,不符合题意。 3 3 综上, < a < 3 。 4 0 < a < 1 时, f (?1) =
22. C1 : 2 x ? y ? 10 = 0 ……………3 分

Q 到直线 C1 的距离 d =

4 3 cos θ ? 3 sin θ ? 10 5

……………6 分

PQ ≥ d =
10 ? 57 5

4 3 cos θ ? 3 sin θ ? 10 5

=

57 sin(θ ? ? ) + 10 5

……………9 分



=

10 5 ? 285 5

……………10 分

23. f ( x) = x ? 1 + 2 x ? 2 (1) x ≥ 2 时, f ( x ) = 3 x ? 5 ≥ 1

…………… 2 分

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1 < x < 2 时, f ( x) = 3 ? x , 1 < f ( x) < 2

x ≤ 1 时, f ( x) = 5 ? 3 x ≥ 2
综上, f (x ) 的值域为 [1,+∞) ……………6 分

(2)若使不等式 f ( x ) < m 有解,只需 m 大于 f (x ) 的最小值,即 m > 1 ……10 分 24 ( 理 ). 1 ) 连 接 BD , 则 ∠BDC = 90 , 由 DF 是 切 线 , 得 FB = FD , (
o

∠FDO = ∠EDF = 90 o ,
Q ∠FDA + ∠ADE = ∠FDA + ∠BCD = 90 o

∠BAD + ∠BCD = 90 o
∴ ∠FDA = ∠BAD ∴ FA = FD ∴ AF = BF OC 4 OC 4 (2) sin E = = , = , OC = 32 . OC + ED 5 OC + 8 5

……………5 分 ……………10 分

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