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24.2.2直线与圆的位置关系3(切线长定理)


画一画
1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线? 如下左图,借助三角板,我们可以画 出PA是⊙O的切线。 2、这样的切线能画出几条? 3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数
A

O

130° 50°

P

B

经过圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间 的线段的长,叫做这点到圆的切线长
A

O
· B P

切线与切线长是一回事吗? 它们有什么区别与联系呢?

比一比
O

A

P

B
切线和切线长是两个不同的概念: 1、切线是一条与圆相切的直线,不能度量; 2、切线长是线段的长,这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点,可以度量。

折一折

A
1 2

O B

P

思考:已知⊙O切线PA、PB,A、B 为切点,把圆沿着直线OP对折,你能 发现什么?

证一证
请证明你所发现的结论。 PA = PB
∠OPA=∠OPB
O B P

A 证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点 ∴OA⊥PA,OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论

∵ OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB

从圆外一点可以引圆的两条切线, 它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切 A 线的夹角。

切线长定理

O B
提醒:切线长定理为证明线段相等、角相 等提供新的方法

P

练习2
已知:如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B, Q为弧AB上一点,过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、 F点,已知PA=12CM,求△PEF的周长。

易证EQ=EA, FQ=FB,

E
Q P

A
O B

PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm

∴周长为24cm

F

o.


o.

三角形外接圆
C

三角形内切圆
C

. o
A B B

. o
A

外切圆圆心:三角形三边 垂直平分线的交点。

内切圆圆心:三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径:交点到三 角形任意一边的垂直距离。

外切圆的半径:交点到三 角形任意一个定点的距离。

试一试
若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得 B 出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB
O
M

P

A 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB

∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB

若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又 能得出什么新的结论?并给出证明.

CA=CB


B P

C

O

A 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点 ∴PA = PB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC ∠OPA=∠OPB

例.PA、PB是⊙O的两条切线, A、B为切点,直线OP交于 ⊙O于点D、E,交AB于C。
(1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP (2)写出图中与∠OAC相等的角

A
E

O

C D
B

P

∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC (3)写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP (4)写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB (5)若PA=4、PD=2,求半径OA

想一想
A

反思:在解决有关圆的 切线长问题时,往往需 要我们构建基本图形。

O



P B

(1)分别连结圆心和切点
(2)连结两切点 (3)连结圆心和圆外一点

课堂小结
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它 们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两 条切线的夹角。 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B

∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB 进一步可证OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等,角 相等,弧相等,垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。

我们学过的切线,常有 六个 五个 性质:
1、切线和圆只有一个公共点;

2、切线和圆心的距离等于圆的半径;
3、切线垂直于过切点的半径;

4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点;
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。


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