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2014年高三数学大一轮复习配套课件(浙江专用·人教版A)第三章 导数及其应用3.3


数学

浙(理)

§3.3 导数的应用(二)
第三章 导数及其应用

基础知识·自主学习
要点梳理
1.利用导数解决生活中的优化问题的一般 步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列 出实际问题的数学模型,写出实际问题 中变量之间的函数关系式 y=f(x);
难点正本 疑点清源

1.实际问题的最值
(1) 注意函数定义域的 确定. (2)在实际问题中, 如果 函数在区间内只有一

(2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; 个极值点,那么只要根 据实际意义判定是最 (3)比较函数在区间端点和 f′(x)=0 的 点的函数值的大小,最大(小)者为最大 (小)值; (4)回归实际问题作答.
基础知识 题型分类

大值还是最小值即可, 不必再与端点的函数 值比较.

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.不等式问题 (1)证明不等式时,可构造函数,将问题 转化为函数的极值或最值问题. (2)求解不等式恒成立问题时,可以考虑 将参数分离出来,将参数范围问题转化 为研究新函数的值域问题.
难点正本 疑点清源

2 .判断方程根的个数 时, 可以利用数形结 合思想及函数的单 调性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
25 000π [-1,1]

解析

(-2,2)
f(a)<f(b) 144 cm3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 运用导数证明不等式问题
x

【例 1】设 a 为实数,函数 f(x)=e -2x

思维启迪

解析

探究提高

+2a,x?R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证: 当 a>ln 2-1 且 x>0 时, ex>x2 -2ax+1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 运用导数证明不等式问题
x

【例 1】设 a 为实数,函数 f(x)=e -2x

思维启迪

解析

探究提高

+2a,x?R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证: 当 a>ln 2-1 且 x>0 时, e >x -2ax+1.
x 2

证明不等式时要构造函数, 利用函数的单调性来解题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 运用导数证明不等式问题
x

【例 1】设 a 为实数,函数 f(x)=e -2x

思维启迪

解析

探究提高

+ 2a, x? (1) 解 由 f(xR. )=ex-2x+2a,x?R 知
x f′ ( x ) = e - 2,x?R. (1)求 f(x) 的单调区间与极值;

令 f′(x)=0,得 x=ln 2,于是当 x 变化时, x 2 (2) 求证: 当 a >ln 2 - 1 且 x >0 时, e > x f′(x),f(x)的变化情况如下表:

-2ax+1. (-∞,ln 2) x

ln 2 0 2(1-ln 2+a)

(ln 2,+∞) + 单调递增?

f′(x) f(x)

- 单调递减?

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2],单调递增区间是[ln 2,+∞), f(x)在 x=ln 2 处取得极小值,极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 运用导数证明不等式问题
x

【例 1】设 a 为实数,函数 f(x)=e -2x

思维启迪

解析

探究提高

+2a,x?R. (2)证明 设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x?R, (1)求 f(x)的单调区间与极值; 于是 g′(x)=ex-2x+2a,x?R. x 2 (2) 求证: 当 a >ln 2 - 1 且 x >0 时, e > x 由(1)知当 a>ln 2-1 时,g′(x)的最小值为 g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. -2ax+1. 于是对任意 x?R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 上单调递增.
于是当 a>ln 2-1 时,对任意 x?(0,+∞),都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x?(0,+∞),g(x)>0. 即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 运用导数证明不等式问题
x

【例 1】设 a 为实数,函数 f(x)=e -2x

思维启迪

解析

探究提高

+2a,x?R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证: 当 a>ln 2-1 且 x>0 时, ex>x2 -2ax+1.

利用导数方法证明不等式 f(x)>g(x)在区间 D 上恒成立的基 本方法是构造函数 h(x) = f(x) - g(x),然后根据函数的单调性,或 者函数的最值证明函数 h(x)>0, 其中一个重要技巧就是找到函数 h(x)在什么时候可以等于零, 这往 往就是解决问题的一个突破口.
题型分类 思想方法

基础知识

练出高分

题型分类·深度剖析
π x3 变式训练 1 当 0<x< 时,求证:tan x>x+ . 2 3
证明 设 f(x)=tan 1 则 f′(x)=cos2x-1-x2=tan2x-x2=(tan x-x)(tan x+x). π 因为 0<x<2,所以 x<tan x,所以 f′(x)>0, ? π? 即 x??0,2?时,f(x)为增函数. ? ? ? π? 所以 x??0,2?时,f(x)>f(0). ? ? ? x3? 而 f(0)=0,所以 f(x)>0,即 tan x-?x+ 3 ?>0. ? ? x3 故 tan x>x+ 3 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
? x3? x-?x+ 3 ?, ? ?

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用导数研究恒成立问题
思维启迪 解析 探究提高

a 已知函数 f(x)=ln x-x.

(1)若 a>0, 试判断 f(x)在定义域内的 单调性; 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 , 2 求 a 的值; (3)若 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立, 求 a 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用导数研究恒成立问题
思维启迪 解析 探究提高

a 已知函数 f(x)=ln x-x.

(1)求导数 f′(x)→判断 f′(x)>0

(1)若 a>0, 试判断 f(x)在定义域内的 或 f′(x)<0→确定单调性. 单调性; 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 , 上的最小值→列方程求解. 2 求 a 的值;
2

(2)根据单调性→求 f(x)在[1,e]

(3)f(x)<x2→a>xln x-x3→求

3 x ln x - x 的最大值. (3)若 f(x)<x 在(1,+∞)上恒成立,

求 a 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用导数研究恒成立问题
思维启迪 解析 探究提高

a 【例 2】 已知函数 f(x)=ln x-x. 1 a x+a 解 (1)由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)=x+ 2= 2 . x x ∵a >0若 ,∴ f′ ( x)>0,故 f在定义域内的 (x)在(0,+∞)上是单调递增函数. (1) a>0 , 试判断 f(x) x+a (2)由 (1)可知,f′(x)= 2 . 单调性; x ①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f′(x3 )≥0 在[1,e]上恒成立, (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 , 2 此时 f(x)在[1,e]上为增函数, 3 3 求 a 的值; ∴f( x)min =f(1)=-a= ,∴a=- (舍去). 2 2 ②若 a ≤- e ,则 x(1 + a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立, (3) 若 f(x )< x2 在 ,+∞ )上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为减函数, 求 a 的取值范围. a 3 e ∴f(x)min=f(e)=1- = ,∴a=- (舍去). e 2 2 ③若-e<a<-1,令 f′(x)=0 得 x=-a, 当 1<x<-a 时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用导数研究恒成立问题
思维启迪 解析 探究提高

a 【例 2】 已知函数 f(x)=ln x-x. 当-a<x<e 时,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,
3 (1) 若 a >0 , 试判断 f ( x ) 在定义域内的 ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ,∴a=- e. 2 单调性; 综上所述,a=- e. 3 a (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 , 2 (3)∵f(x)<x2,∴ln x-x<x2.

又x >0 , ∴a>xln x-x3. 求 a 的值;

求 a 的取值范围. ∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数.

2 1 - 6 x 1 3 2 2 x , 令 (3) g(x若 )= x ln x - h ( x ) = g ′ ( x ) = 1 + ln x - 3 x ,h′(x)=x-6x= x . f(x)<x 在(1,+∞)上恒成立, ∵x?(1,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.

g(x)<g(1)=-1,∴当 a≥-1 时,f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用导数研究恒成立问题
思维启迪 解析 探究提高

a 已知函数 f(x)=ln x-x.

(1)若 a>0, 试判断 f(x)在定义域内的 单调性;

(1)求函数的单调区间, 直接求导, 然后解不等式即可,注意函数的

定义域. (2)参数问题涉及的有最 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 , 2 值恒成立的问题、单调性的逆向 求 a 的值; 应用等,求解时注意分类讨论思

(3)若 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立, 想的运用. 求 a 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知函数 f(x)=ax3-3x+1 对 x?(0,1]总有 f(x)≥0 成

[4,+∞) . 立,则实数 a 的取值范围是____________
解析 当 x?(0,1]时不等式 ax3-3x+1≥0 可化为 3x-1 3x-1 a≥ x3 ,设 g(x)= x3 ,x?(0,1], ? 1? 6?x-2? 3x3-?3x-1??3x2? ? ? g′(x)= =- , x6 x4
g′(x)与 g(x)随 x 的变化情况如下表:
x g′(x) g(x)
? 1? ?0, ? 2? ?

1 2 0 4

?1 ? ? ,1? ?2 ?

+ ?

- ?

因此 g(x)的最大值为 4,则实数 a 的取值范围是[4,+∞).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 生活中的优化问题
思维启迪 解析
【例 3】 为了在夏季降温和冬季供暖 时减少能源损耗,房屋的屋顶和外 墙需要建造隔热层.某幢建筑物要 建造可使用 20 年的隔热层,每厘米 厚的隔热层建造成本为 6 万元.该 建筑物每年的能源消耗费用 C( 单 位: 万元)与隔热层厚度 x(单位: cm) k 满足关系: C(x)= (0≤x≤10), 3x+5 若不建隔热层,每年能源消耗费用 为 8 万元. 设 f(x)为隔热层建造费用 与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x) 达到最小,并求最小值.

探究提高

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 生活中的优化问题
思维启迪 解析
【例 3】 为了在夏季降温和冬季供暖 时减少能源损耗,房屋的屋顶和外 墙需要建造隔热层.某幢建筑物要 建造可使用 20 年的隔热层,每厘米 厚的隔热层建造成本为 6 万元.该 建筑物每年的能源消耗费用 C( 单 位: 万元)与隔热层厚度 x(单位: cm) k 满足关系: C(x)= (0≤x≤10), 3x+5 若不建隔热层,每年能源消耗费用 为 8 万元. 设 f(x)为隔热层建造费用 与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x) 达到最小,并求最小值.

探究提高

k (1)考虑求解 C(x)= 中的参数 3x+5 k 的值,注意 C(0)=8.(2)由导数求 最值,注意考虑定义域.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 生活中的优化问题
思维启迪 解析
【例 3】 为了在夏季降温和冬季供暖 时减少能源损耗,房屋的屋顶和外 墙需要建造隔热层.某幢建筑物要 建造可使用 20 年的隔热层,每厘米

探究提高

解厚的隔热层建造成本为 (1)设隔热层厚度为 6 x cm ,由题设, 万元.该
建筑物每年的能源消耗费用 C(k 单 每年的能源消耗费用为 C(x)= (0≤x≤10). 3 x + 5 位: 万元)与隔热层厚度 x(单位: cm) k 40 满足关系: C ( x ) = (0≤x≤10) , 再由 C(0)=8,得3 k = 40 ,因此 C ( x ) = (0≤x≤10). x+5 3x+5

又建造费用为 C1(x)=6x.

若不建隔热层,每年能源消耗费用 为 8 万元. 设 f(x)为隔热层建造费用 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; 达到最小,并求最小值.

与 20 年的能源消耗费用之和. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

40 800 (2) 隔热层修建多厚时,总费用 f(+ x) 6x= f( x)= 20C(x)+C1(x)=20× +6x (0≤x≤10). 3x+5 3x+5
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 生活中的优化问题
思维启迪 解析
【例 3】 为了在夏季降温和冬季供暖 时减少能源损耗,房屋的屋顶和外 墙需要建造隔热层.某幢建筑物要 建造可使用 20 年的隔热层,每厘米 2 400

探究提高

(2) f′(x)=6- ,令 f′(x)=0, 厚的隔热层建造成本为 ?3x+5?2 6 万元.该 2 400 25 建筑物每年的能源消耗费用 C( 单 即 (舍去). 2=6.解得 x=5 或 x=- 3 ? 3 x + 5 ? 位: 万元)与隔热层厚度 x(单位: cm)
k 满足关系: C ( x ) = (0≤ x≤ 10), 当 0<x<5 时,f′(x )<0,当 5< x<10 时,f′(x)>0, 3x+5

故 x=5 是 f(x)的极小值点也是最小值点,
为 8 万元. 设 f(x)为隔热层建造费用 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; 达到最小,并求最小值. 与 20 年的能源消耗费用之和. 对应的最小值为 f(5)=6×5+

若不建隔热层,每年能源消耗费用

800 =70. 15+5

当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 生活中的优化问题
思维启迪 解析
【例 3】 为了在夏季降温和冬季供暖 时减少能源损耗,房屋的屋顶和外 墙需要建造隔热层.某幢建筑物要 建造可使用 20 年的隔热层,每厘米 厚的隔热层建造成本为 6 万元.该 建筑物每年的能源消耗费用 C( 单

探究提高

在求实际问题中的最大值或最小值 时,一般先设自变量、因变量、建 立函数关系式,并确定其定义域,

利用求函数最值的方法求解,注意 位: 万元)与隔热层厚度 x(单位: cm) k 满足关系: C(x)= (0≤x≤10), 结果应与实际情况相符合,用导数 3x+5
若不建隔热层,每年能源消耗费用 为 8 万元. 设 f(x)为隔热层建造费用 与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x) 达到最小,并求最小值.

求解实际问题中的最大 (小 )值,如 果函数在区间内只有一个极值点, 那么根据实际意义该极值点就是最 值点.
思想方法

基础知识

题型分类

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 现需要对某旅游景点进一步改造升级,提高旅游增加值,经 51 过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x 万元之间满足:y= x-ax2- 50 x x 1 ln , ?[t,+∞),其中 t 为大于 的常数.当 x=10 时,y=9.2. 10 2x-12 2 (1)求 y=f(x)的解析式和投入 x 的取值范围;
解 (1)∵当 x=10 时,y=9.2, 51 1 2 即50×10-a×10 -ln 1=9.2,解得 a=100. 51 x2 x ∴f(x)=50x-100-ln 10.
∵ x 1 12t ≥t 且 t>2,∴6<x≤ , 2x-12 2t-1
? 12t ? 的取值范围是?6,2t-1?. ? ?

即投入 x

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 现需要对某旅游景点进一步改造升级,提高旅游增加值,经 51 过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x 万元之间满足:y= x-ax2- 50 x x 1 ln , ?[t,+∞),其中 t 为大于 的常数.当 x=10 时,y=9.2. 10 2x-12 2

(2)求旅游增加值 y 取得最大值时对应的 x 值. 51 x 1 解 (2)对 f(x)求导,得 f′(x)= - - 50 50 x 2 x -51x+50 ?x-1??x-50? =- =- . 50x 50x 令 f′(x)=0,得 x=50 或 x=1(舍去). 当 x?(6,50)时,f′(x)>0,且 f(x)在(6,50]上连续,因此,f(x)在(6,50] 上是增函数; 当 x?(50,+∞)时,f′(x)<0,且 f(x)在[50,+∞)上连续,因此,f(x) 在[50,+∞)上是减函数.∴x=50 为极大值点.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 现需要对某旅游景点进一步改造升级,提高旅游增加值,经 51 过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x 万元之间满足:y= x-ax2- 50 x x 1 ln , ?[t,+∞),其中 t 为大于 的常数.当 x=10 时,y=9.2. 10 2x-12 2

(2)求旅游增加值 y 取得最大值时对应的 x 值.
?1 25? 12t 当 ≥50,即 t??2,44?时, 2t-1 ? ?

投入 50 万元改造时取得最大增加值;
?25 ? 12t 当 6< <50,即 t??44,+∞?时, 2t-1 ? ?

12t 投入 万元改造时取得最大增加值. 2t-1
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 3.导数与不等式的综合问题
典例:(14 分)(2011· 辽宁)设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过 P(1,0), 且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值;(2)证明:f(x)≤2x-2.
考 点 分 析 解 题 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 3.导数与不等式的综合问题
典例:(14 分)(2011· 辽宁)设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过 P(1,0), 且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值;(2)证明:f(x)≤2x-2.
考 点 分 析 解 题 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

本题考查曲线的切线、导数的几何意义,考查函数在闭区间上的最值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 3.导数与不等式的综合问题
典例:(14 分)(2011· 辽宁)设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过 P(1,0), 且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值;(2)证明:f(x)≤2x-2.
考 点 分 析 解 题 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

本题的关键点:P(1,0)点处切线斜率为 2,可以列方程解出 a,b;证明 不等式时可以构造函数,利用函数的单调性来证明不等式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 3.导数与不等式的综合问题
典例:(14 分)(2011· 辽宁)设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过 P(1,0), 且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值;(2)证明:f(x)≤2x-2.
规 范 解 答 解 题 策 略 b (1)解 f′(x)=1+2ax+x. ? ? ?f?1?=0, ?1+a=0, 由已知条件得? 即? ? ? ?f′?1?=2, ?1+2a+b=2.
考 点 分 析
? ?a=-1, 解得? ? ?b=3.

解 后 反 思
2分 6分

8分

(2)证明 因为 f(x)的定义域为(0,+∞), 由(1)知 f(x)=x-x2+3ln x. 设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 3.导数与不等式的综合问题
典例:(14 分)(2011· 辽宁)设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过 P(1,0), 且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值;(2)证明:f(x)≤2x-2.
规 范 解 答 解 题 策 略 ?x-1??2x+3? 3 则 g′(x)=-1-2x+x=- . x
考 点 分 析 解 后 反 思
10分

当 0<x<1 时,g′(x)>0,当 x>1 时,g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减. 而 g(1)=0,故当 x>0 时,g(x)≤0, 即 f(x)≤2x-2.
14分 12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 3.导数与不等式的综合问题
典例:(14 分)(2011· 辽宁)设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过 P(1,0), 且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值;(2)证明:f(x)≤2x-2.
考 点 分 析 解 题 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

利用函数的导数研究不等式问题是一类重要的题型,其实质是求函数的 最值问题,它体现了导数的工具性作用.将函数、不等式紧密结合起来, 考查综合解决问题的能力,多为高考中较难的题目.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图 2.二审结论会转换
1 典例:(14 分)已知函数 f(x)= x2+aln x. 2 (1)若 a=-1,求函数 f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若 a=1,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 (3)若 a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的 3 图象的下方.

审 题 路 线 图

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图 2.二审结论会转换
1 典例:(14 分)已知函数 f(x)= x2+aln x. 2 (1)若 a=-1,求函数 f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若 a=1,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 (3)若 a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的 3 图象的下方.

审 题 路 线 图

规 范 解 答

温 馨 提 醒

求 f(x)的极值 ↓(从结论出发向条件转化,注意隐含条件——定义域) 求 f′(x)=0 的解,即 f(x)的极值点 ↓(转化为求函数值) 将极值点代入 f(x)求对应的极大、极小值 ↓(转化为研究单调性) 求 f(x)在[1,e] 上的单调性 ↓(转化为求函数值)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图 2.二审结论会转换
1 典例:(14 分)已知函数 f(x)= x2+aln x. 2 (1)若 a=-1,求函数 f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若 a=1,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 (3)若 a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的 3 图象的下方.

审 题 路 线 图
↓(构造函数进行转化) F(x)=f(x)-g(x)

规 范 解 答

温 馨 提 醒

比较端点值、极值,确定最大、最小值

↓(将图象的上、下关系转化为数量关系) 求证 F(x)<0 在[1,+∞)上恒成立. ↓研究函数 F(x)在[1,+∞)上的单调性.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图 2.二审结论会转换
1 典例:(14 分)已知函数 f(x)= x2+aln x. 2 (1)若 a=-1,求函数 f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若 a=1,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 (3)若 a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的 3 图象的下方.

规 范 解 答 审 题 路 线 图 (1)解 由于函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 ?x+1??x-1? 当 a=-1 时,f′(x)=x-x = , x 令 f′(x)=0 得 x=1 或 x=-1(舍去),
当 x?(0,1)时,函数 f(x)单调递减, 当 x?(1,+∞)时,函数 f(x)单调递增, 1 所以 f(x)在 x=1 处取得极小值为 . 2
基础知识 题型分类 思想方法

温 馨 提 醒
1分

2分
3分 4分 5分

练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图 2.二审结论会转换
1 典例:(14 分)已知函数 f(x)= x2+aln x. 2 (1)若 a=-1,求函数 f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若 a=1,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 (3)若 a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的 3 图象的下方.

规 范 解 答 审 题 路 线 图 温 馨 提 醒 (2)解 当 a=1 时,易知函数 f(x)在[1,e]上为增函数, 7分 1 1 9分 ∴f(x)min=f(1)=2,f(x)max=f(e)=2e2+1. 1 2 (3)证明 设 F(x)=f(x)-g(x)=2x2+ln x-3x3, ?1-x??1+x+2x2? 1 2 则 F′(x)=x+x -2x = , 10分 x 当 x>1 时,F′(x)<0,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图 2.二审结论会转换
1 典例:(14 分)已知函数 f(x)= x2+aln x. 2 (1)若 a=-1,求函数 f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若 a=1,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 (3)若 a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的 3 图象的下方.

审 题 路 线 图

规 范 解 答

温 馨 提 醒

1 故 f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,又 F(1)=- <0, 6 ∴在区间[1,+∞)上,F(x)<0 恒成立.

即 f(x)<g(x)恒成立.
因此,当 a=1 时,在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x) 图象的下方.
基础知识 题型分类 思想方法

12分

14分

练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图 2.二审结论会转换
1 典例:(14 分)已知函数 f(x)= x2+aln x. 2 (1)若 a=-1,求函数 f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若 a=1,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 (3)若 a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的 3 图象的下方.

审 题 路 线 图

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法,应用导 数求单调区间关键是求解不等式的解集;最值问题关键在于比较极值与端点 函数值的大小; 参数问题涉及的有最值恒成立的问题、 单调性的逆向应用等, 求解时注意分类讨论思想的应用. (2)对于一些复杂问题, 要善于将问题转化, 转化成能用熟知的导数研究问题.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.理解极值与最值的区别,极值是局部概念,最值是 整体概念.

方 法 与 技 巧

2. 利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化 为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合 思想的应用.
3. 在实际问题中, 如果函数在区间内只有一个极值点, 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即 可,不必再与端点的函数值比较. 4.要充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性, 以及列表的操作步骤与算法思想, 能利用导数研究 函数的极值与最值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.函数 f(x)在某个区间内单调递增,则 f′(x)≥0 而不

失 误 与 防 范

是 f′(x)>0 (f′(x)=0 在有限个点处取到).

2.导数为 0 的点不一定是极值点,极大值未必大于极 小值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1. 已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值, 则实数 a 的取值范围是 A.(-1,2) C.(-3,6) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1. 已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值, 则实数 a 的取值范围是 A.(-1,2) C.(-3,6) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) ( B )

解 析
∵f′(x)=3x2+2ax+(a+6),

由已知可得 f′(x)=0 有两个不相等的实根. ∴Δ=4a2-4×3(a+6)>0,即 a2-3a-18>0. ∴a>6 或 a<-3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9

2.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( 9 2 A. e 4 B.2e2 C.e2 e2 D. 2 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9

2.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 9 2 A. e 4 e2 D. 2 ( D )

B.2e2

C.e2

解 析
∵点(2,e2)在曲线上,

∴切线的斜率 k=y′|x=2=ex|x=2=e2, ∴切线的方程为 y-e2=e2(x-2),即 e2x-y-e2=0.
与两坐标轴的交点坐标为(0,-e2),(1,0), 2 1 e ∴S△=2×1×e2= 2 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

3.已知函数 f(x)=x2+mx+ln x 是单调递增函数,则 m 的取值范围是 ( A.m>-2 2 B.m≥-2 2 C.m<2 2 D.m≤2 2 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

3.已知函数 f(x)=x2+mx+ln x 是单调递增函数,则 m 的取值范围是 ( B ) A.m>-2 2 B.m≥-2 2 C.m<2 2 D.m≤2 2

令 g(x)=2x2+mx+1,x?(0,+∞), m 当- 4 ≤0 时,g(0)=1>0 恒成立,∴m≥0 成立, m 当- 4 >0 时,则 Δ=m2-8≤0,∴-2 2≤m<0, 综上,m 的取值范围是 m≥-2 2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

2x2+mx+1 依题意知,x>0,f′(x)= , x

解 析

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

4.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成 本增加 100 元, 已知总营业收入 R 与年产量 x 的年关系是 R=R(x)= 1 ? ?400x- x2 ?0≤x≤400?, 2 ? 则 ? ?80 000 ?x>400?, 总利润最大时, 每年生产的产品是 ( A.100 C.200
基础知识

解 析

)

B.150 D.300
题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

4.某公司生产某种产品,固定成本为

解 析

20 000 元,每生产一单位产品,成 由题意得,总成本函数为 C=C(x) 本增加 100 元, 已知总营业收入 R =20 000+100x, 总利润 P(x)= 与年产量 x 的年关系是 R=R(x)= x2 ? ?300x- -20 000 ?0≤x≤400?, 1 ? ?400x- x2 ?0≤x≤400?, 2 ? 2 ? 则 ? ?60 000-100x ?x>400?, ? 80 000 ? x >400 ? , ? 又 P′(x)= 总利润最大时, 每年生产的产品是 ? ?300-x ?0≤x≤400?, ( D ) A.100 C.200
基础知识
? ? ?-100

?x>400?,

B.150 D.300
题型分类

令 P′(x)=0,得 x=300,易知 x=300 时,总利润 P(x)最大.
思想方法 练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

5.设 P 为曲线 C:y=x2-x+1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线 的斜率的范围是[-1,3],则点 P 纵坐标的取值范围是 __________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

5.设 P 为曲线 C:y=x2-x+1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线 的斜率的范围是[-1,3],则点 P 纵坐标的取值范围是 ?3 ? ? ,3? ?4 ? __________ .

解 析
设 P(a,a2-a+1),则 y′|x=a=2a-1?[-1,3], ? 1?2 3 2 ∴0≤a≤2.而 g(a)=a -a+1=?a-2? +4, ? ? 1 3 当 a=2时,g(a)min=4.当 a=2 时,g(a)max=3, ?3 ? 故 P 点纵坐标的取值范围是?4,3?. ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

6.在直径为 d 的圆木中,截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁, 则矩形面的长为________(强度与 bh2 成正比, 其中 h 为矩形的长, b 为矩形的宽).

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

6.在直径为 d 的圆木中,截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁, 6 2 则矩形面的长为________( 其中 h 为矩形的长, 3 d 强度与 bh 成正比, b 为矩形的宽).

解 析
截面如图所示,设抗弯强度系数为 k,强度为 ω,则 ω=kbh2,
又 h2=d2-b2,

∴ω=kb(d2-b2)=-kb3+kd2b, ω′=-3kb2+kd2, 2 d 令 ω′=0,得 b2= 3 , 3 3 6 2 2 ∴b= 3 d 或 b=- 3 d(舍去).∴h= d -b = 3 d.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

7. 已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值, 若 m、 n?[-1,1], 则 f(m)+f′(n)的最小值是________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

7. 已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值, 若 m、 n?[-1,1], 则 f(m)+f′(n)的最小值是________ -13 .

解 析
对函数 f(x)求导得 f′(x)=-3x2+2ax,

由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0, 即-3×4+2a×2=0,∴a=3. 由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x, 易知 f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增, ∴当 m?[ -1,1] 时,f(m)min=f(0)=-4. 又∵f′(x)=-3x2+6x 的图象开口向下,
且对称轴为 x=1,∴当 n?[ -1,1] 时,f′(n)min=f′(-1)=-9. 故 f(m)+f′(n)的最小值为-13.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

8. (10 分)设函数 f(x)=ax3-3x2 (a?R),且 x=2 是 y=f(x)的极值点. (1)求实数 a 的值,并求函数的单调区间;

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

8. (10 分)设函数 f(x)=ax3-3x2 (a?R),且 x=2 是 y=f(x)的极值点. (1)求实数 a 的值,并求函数的单调区间;

解 析
解 (1)f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),因为 x=2 是函数 y=f(x)的极值点,所以 f′(2)=0,即 6(2a-2)=0,

因此 a=1. 经验证,当 a=1 时,x=2 是函数 y=f(x)的极值点.

所以 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 所以 y=f(x)的单调增区间是(-∞,0),(2,+∞); 单调减区间是(0,2).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

8. (10 分)设函数 f(x)=ax3-3x2 (a?R),且 x=2 是 y=f(x)的极值点. (2)求函数 g(x)=ex· f(x)的单调区间.

解 析
解 (2)g(x)=ex(x3-3x2),g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)

=ex(x3-6x)=x(x+ 6)(x- 6)ex,
因为 ex>0,所以 y=g(x)的单调增区间是(- 6,0), ( 6,+∞);单调减区间是(-∞,- 6),(0, 6).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 9.(12 分)某汽运集团公司生产一种品牌汽车,上年度成本价为 10 万元/ 辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5 万辆.本年度公司为了进 一步扩大市场占有量,计划降低成本,实行降价销售.设本年度成 本价比上年度降低了 x (0<x<1), 本年度出厂价比上年度降低了 0.9x. (1)若本年度年销售量比上年度增加了 0.6x 倍, 问 x 在什么取值范围 时,本年度的年利润比上年度有所增加?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 9.(12 分)某汽运集团公司生产一种品牌汽车,上年度成本价为 10 万元/ 辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5 万辆.本年度公司为了进 一步扩大市场占有量,计划降低成本,实行降价销售.设本年度成 本价比上年度降低了 x (0<x<1), 本年度出厂价比上年度降低了 0.9x. (1)若本年度年销售量比上年度增加了 0.6x 倍, 问 x 在什么取值范围 时,本年度的年利润比上年度有所增加?

解 析
解 (1)本年度年利润为[13(1-0.9x)-10(1-x)]×5×(1+0.6x) =5(3-1.7x)(1+0.6x). 要使本年度的年利润比上年度有所增加,
则有 5(3-1.7x)(1+0.6x)>5×(13-10). 5 解得 0<x<51.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 9.(12 分)某汽运集团公司生产一种品牌汽车,上年度成本价为 10 万元/ 辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5 万辆.本年度公司为了进 一步扩大市场占有量,计划降低成本,实行降价销售.设本年度成 本价比上年度降低了 x (0<x<1), 本年度出厂价比上年度降低了 0.9x. ? 59 307? 2 ?-x + x+ ?, (2)若本年度年销售量 y 关于 x 的函数为 y=2 011· 34 289? ? 则当 x 为何值时,本年度年利润最大?

解 析



(2)本年度年利润为

W(x)=[13(1-0.9x)-10(1-x)] ×2 ?17 119 2 17 921? 3 =2 011?10x - 20 x + 5 x+289?. ? ? ?51 119 17? 2 W′(x)=2 011?10x - 10 x+ 5 ?. ? ? 1 令 W′(x)=0,解得 x1=3,x2=2.又 0<x<1,
基础知识 题型分类 思想方法

? 59 307? 2 011?-x +34x+289? ? ?

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 9.(12 分)某汽运集团公司生产一种品牌汽车,上年度成本价为 10 万元/ 辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5 万辆.本年度公司为了进 一步扩大市场占有量,计划降低成本,实行降价销售.设本年度成 本价比上年度降低了 x (0<x<1), 本年度出厂价比上年度降低了 0.9x. ? 59 307? 2 ?-x + x+ ?, (2)若本年度年销售量 y 关于 x 的函数为 y=2 011· 34 289? ? 则当 x 为何值时,本年度年利润最大?

解 析
所以函数
? ?1 ? 1? W(x)在?0,3?上为增函数,在?3,1?上为减函数. ? ? ? ?

1 1 故当 x=3时,W(x)取得最大值,即当 x=3时,本年度的年利润 最大.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1 x 1.函数f(x)= e (sin x+cos x)在 2 ? π? ? 区间?0, ? 上的值域为 ( ) 2? ? ? ?1 1 ? ? 2 ? e A.? , ?2 2 ? ? ? ?1 1 ? ? 2 ? e B.? , ?2 2 ? ? ? C.[1, e ] D.(1, e )
? 2
? 2

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1 x 1.函数f(x)= e (sin x+cos x)在 2 ? π? ? 区间?0, ? 上的值域为 ( A ) ? 2? ? ?1 1 ? ? 2 ? e A.? , ?2 2 ? ? ? ?1 1 ? ? 2 ? e B.? , ?2 2 ? ? ? C.[1, e ] D.(1, e )
? 2
? 2

解 析

1 1 f′(x)= ex(sin x+cos x)+ ex(cos x-sin x) 2 2 =excos x, π π 当 0≤x≤ 时,f′(x)≥0,且只有在 x= 时, 2 2
f′(x)=0,
? π? ∴f(x)是?0,2?上的增函数, ? ?
?π? 1 2 ∴f(x)的最大值为f?2?= e , ? ? 2
?

1 f(x)的最小值为 f(0)= . 2

? ? π? 1 1 ∴f(x)在?0,2?上的值域为? ?2,2 ? ? ?

e

? 2

? ? ?. ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

x 3 2.若函数 f(x)= 2 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的 3 x +a 值为 3 A. 3 ( B. 3 C. 3+1 D. 3-1 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

x 3 2.若函数 f(x)= 2 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的 3 x +a 值为 3 A. 3 ( D ) B. 3 C. 3+1 D. 3-1

x2+a-2x2 a-x2 f′(x)= = 2 , ?x2+a?2 ?x +a?2 当 x> a时,f′(x)<0,f(x)单调递减,

解 析

当- a<x< a时,f′(x)>0,f(x)单调递增,

a 3 3 当 x= a时,令 f(x)= 2a = 3 , a= 2 <1,不合题意. 1 3 ∴f(x)max=f(1)= = ,a= 3-1,故选 D. 1+a 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

3.已知对任意 x?R,恒有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当 x>0 时, f′(x)>0,g′(x)>0,则当 x<0 时有 A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4 5 6
7

3.已知对任意 x?R,恒有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当 x>0 时, f′(x)>0,g′(x)>0,则当 x<0 时有 A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 ( B )

解 析
由 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),知 f(x)为奇函数, g(x)为偶函数.

又 x>0 时,f′(x)>0,g′(x)>0,
由奇、偶函数的性质知,当 x<0 时,f′(x)>0,g′(x)<0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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1

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2 3

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5

6

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1-x 4.已知函数 f(x)= ax +ln x,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数, 则正实数 a 的取值范围为___________.

解 析

基础知识

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1-x 4.已知函数 f(x)= ax +ln x,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,

[1,+∞) . 则正实数 a 的取值范围为___________
解 析
1-x ax-1 ∵f(x)= ax +ln x,∴f′(x)= (a>0), ax2
∵函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,
ax-1 ∴f′(x)= ax2 ≥0 对 x?[1,+∞)恒成立, 1 ∴ax-1≥0 对 x?[1,+∞)恒成立,即 a≥x 对 x?[1,+∞) 恒成立,∴a≥1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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5.已知函数 f(x)=x2(x-a). 若 f(x)在(2,3)上单调,则实数 a 的取值范围是 ______________________; 若 f(x)在(2,3)上不单调, 则实数 a 的取值范围是_____________.

解 析

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5.已知函数 f(x)=x2(x-a). 若 f(x)在(2,3)上单调,则实数 a 的取值范围是 ?9 ? (-∞,3]∪?2,+∞? ? ? ______________________ ; 若 f(x)在(2,3)上不单调, 则实数 a

? 9? ?3, ? 2? ? 的取值范围是_____________ .

解 析
f′(x)=3x2-2ax,若 f′(x)在(2,3)上单调,

则 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(2,3)上恒成立,
3 3 ∴a≤2x 或 a≥2x. 9 ∵x?(2,3),∴a≤3 或 a≥2.
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6.用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别 截去一个小正方形,然后把四边翻转 90° 角,再焊接成水箱,则 水箱的最大容积为_____________.

解 析

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6.用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别 截去一个小正方形,然后把四边翻转 90° 角,再焊接成水箱,则

128 000 cm3 . 水箱的最大容积为_____________ 解 析
设水箱底边长为 x cm, ? x? 则水箱高 h=?60-2? cm. ? ?

3 x 水箱容积 V=V(x)=x2h=60x2- 2 (0<x<120). 3 2 V′(x)=120x-2x .

令 V′(x)=0,得 x=0(舍去)或 x=80.

可判断得 x=80 (cm)时,V 取最大值为 128 000 cm3.
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7.(13 分)(2012· 浙江)已知 a?R,函数 f(x)=4x3-2ax+a. (1)求 f(x)的单调区间;

解 析

基础知识

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7.(13 分)(2012· 浙江)已知 a?R,函数 f(x)=4x3-2ax+a. (1)求 f(x)的单调区间;

解 析
(1)解 由题意得 f′(x)=12x2-2a.
当 a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立, 此时 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
当 a>0
? 时,f′(x)=12? ?x- ? ? a? ?? ?x+ 6? ??

a? ? , 6? ?
? a? ? ? 和? 6? ? ? ? a ? ,+∞?, 6 ?

? 此时函数 f(x)的单调递增区间为? ?-∞,- ? ? a a? ? ? 单调递减区间为?- , ?. 6 6 ? ?

基础知识

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7.(13 分)(2012· 浙江)已知 a?R,函数 f(x)=4x3-2ax+a. (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+|2-a|>0.

解 析
(2)证明 由于 0≤x≤1,故当 a≤2 时, f(x)+|2-a|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2. 当 a>2 时,f(x)+|2-a|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2 =4x3-4x+2. 设 g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,

则 g′(x)=6x
基础知识

2

? -2=6? ?x- ?

? 3? 3? ?? ? x + ? ?, 3? 3 ?? ?

题型分类

思想方法

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7.(13 分)(2012· 浙江)已知 a?R,函数 f(x)=4x3-2ax+a. (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+|2-a|>0.

解 析
x g′(x) g(x) 1 0

于是 g′(x),g(x)随 x 的变化情况如下表:
? ? ?0, ?

3? ? 3? ?

3 3 0

? ? ? ?

? 3 ? ,1? 1 3 ?



+ 增 1

减 极小值 ? 3? 4 3 ? ? 所以,g(x)min=g? ?=1- 9 >0. ? 3 ?
故 f(x)+|2-a|≥4x3-4x+2>0.
基础知识 题型分类

所以,当 0≤x≤1 时,2x3-2x+1>0.

思想方法

练出高分


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