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北师大版高中数学选修2-3课件:第三章 统计案例 §1


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第三章 统计案例
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升

第三 章

统计案例

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§1 回归分析

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课前预习学案

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某中学随机选取 8 名女生, 测得其身高和体重数据如下表: 编号 身高(cm) 体重(kg) 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59

求根据一名女中学生的身高预测她的体重的回归方程,并 预测一名身高为 172 cm 的女生的体重.

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提示:

选取身高 (cm) 为自变量 x ,体重 (kg) 为因变量 y ,

作散点图如图.

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从图中看出,身高和体重近似呈线性相关关系,因此可用 线性回归方程刻画它们之间的关系. 1 1 x =8(x1+x2+…+x8)=8×1 322=165.25, 1 1 y =8(y1+y2+…+y8)=8×436=54.5, ? ? y i- y ? i=1 ?xi- x ?· 代入公式 b= ,得 b≈0.848, 8 2 ? i=1 ?xi- x ?
8

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由 a= y -b x ,得 a≈-85.632. 所以 y 对 x 的线性回归方程为 y=0.848x-85.632. 将 x=172 代入线性回归方程,得 y=60.224. 所以预测一名身高为 172 cm 的女生的体重为 60.224 kg.

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1.相关关系的概念
非确定性 关系, 两个变量间的关系可分为确定性关系和__________ 函数 关系,后者又称为相关关系. 前者又称为________

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2.相关系数
? ?xi- x ??yi- y ? i= 1
lxy (1)r= lxxlyy
n

n

2 ? ? x - x ? · ? ? y - y ? i i i=1 i=1 =__________________________

n

2

n



? n ? ? ?i=1

?? n ?. 2 2?? 2 2? ?xi -n x ??? yi -n y ? ??i=1 ?

? xiyi-n x y i=1

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(2)线性相关系数r与相关关系的强弱: r>0 ①当__________ 时,两个变量正相关; r<0 ②当__________ 时,两个变量负相关;

r=0 ③当__________ 时,称两个变量线性不相关;
| r| [-1,1] ④r的取值在__________ 之间,_______ 值越大,变量之 间的线性相关程度越高; ⑤r的绝对值越接近于_______ ,表示两个变量之间的线性 0 相关程度越低.

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相关分析的意义和作用

函数关系是大家比较熟悉的概念,它是指变量之间的确定
性关系,即当X取某一数值x时,变量Y按照某种规则总有一个 或多个确定的数值与之对应.相关关系则是指变量之间的非确

定性关系,由于随机因素的干扰,当变量X取确定值x时,变量
Y的取值不确定,是一个随机变量,但它的概率分布与X的取值 有关.这里,我们看到了函数关系与相关关系的本质区别,在

函数关系中变量X对应的是变量Y的确定值,而在相关关系中,
变量X对应的是变量Y的概率分布.换句话说,相关关系是随机 变量之间或随机变量与非随机变量之间的一种数量依存关系, 对于这种关系,只能运用统计方法进行研究.通过对相关关系 的研究又可以总结规律,从而指导人们的生活与生产实践.

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3.线性回归方程
设样本点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),线性回归方程 为∧ y =a+bx.
2 2 则 lxx=? ( x - x ) = ? x - n x i i i=1 i=1 n 2 n

lxy=? (xi- x )(yi- y )=? xiyi-n x y ; i=1 i=1
2 2 lyy=? ( y - y ) = ? y - n y i i i=1 i =1 n 2 n n n

n

n

?xi- x ??yi- y ? ? xiyi-n x y lxy ? i=1 i=1 b=l = = n 2 ; n 2 2 xx ? ? x i- x ? ?xi -n x i =1 i=1

y -b x a=__________.

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怎样确定回归的模型
1.确定研究对象,明确要考虑哪两个变量之间的相关关 系. 2.画出确定好的两个变量的散点图,观察它们之间的关 系(如是否存在线性关系等).

3 .由经验确定回归方程的类型 ( 如观察到数据呈线性关
系,则选用线性回归方程=bx+a). 4.按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法).得 出回归方程.

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1.下列属于相关关系的是(

)

A.利息和利率
B.居民收入与储蓄存款 C.电视机产量与苹果产量 D.某种商品的销售额与销售价格 解析: 相关关系指的是自变量一定时,因变量的取值带 有一定的随机性的两个变量间的关系,既不是确定的函数关 系,也不是没有关系.这里选项A、D是确定的函数关系;C中 两个变量没有关系.

答案: B

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2.对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y= a+bx中,回归系数b( )

A.可以小于0
C.可能等于0 解析:

B.大于0
D.只能小于0

b可能大于 0,也可能小于 0,但当 b = 0 时,x 、y

不具有线性相关关系.
答案: A

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3.如图是 x 和y 的一组样本数据的散点图,去掉一组数据 ____________后,剩下的4组数据的相关指数最大.

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解析:

经计算,去掉D(3,10)这一组数据后,其他4组数

据对应的点都集中在某一条直线附近,即两变量的线性相关性
最强,此时相关指数最大. 答案: D(3,10)

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4.现随机抽取了我校 10 名学生在入学考试中的数学成绩 (x)与入学后的第一次考试中的数学成绩(y),数据如下表: 学生号 x y 1 84 2 64 3 84 4 68 5 69 6 68 7 69 8 46 9 57 10 71 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108

试问: 这 10 名学生的两次数学考试成绩是否具有显著性线 性相关关系?

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解析: 107.8,

1 由题意得: x = 10 (120+ 108+ … + 99 + 108)=

1 y = 10(84+64+…+57+71)=68,
2 2 2 2 = 120 + 108 + … + 99 + 108 =116 584, ?x2 i i= 1 10 10

2 2 2 2 ?y2 i =84 +64 +…+57 +71 =47 384 i= 1

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?xiyi=120×84+108×64+…+108×71=73 796,
i= 1

10

∴r=

73 796-10×107.8×68 ?116 584-10×107.8?2?47 384-10×682?

≈0.750 6. ∵0.750 6 接近于 1,∴两次数学考试成绩有显著性线性相 关关系.

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课堂互动讲义

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相关系数
某班5名学生的数学和物理成绩如下表: 学生 学科 数学成绩(x) 物理成绩(y) A 88 78 B 76 65 C 73 71 D 66 64 E 63 61

(1)求物理成绩y关于数学成绩x的相关系数; (2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程.

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[思路导引]

利用相关系数r判断x与y是否相关,若相关再
1 (1) x = 5×(88+76+73+66+63)=73.2,

利用线性回归模型求解.
[边听边记]

1 y = 5×(78+65+71+64+61)=67.8.

?xiyi=88×78+76×65+73×71+66×64+63×61
i= 1

5

=25 054.

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2 2 2 2 2 = 88 + 76 + 73 + 66 + 63 =27 174. ?x2 i i= 1 5

5

2 2 2 2 2 ?y2 i =78 +65 +71 +64 +61 =23 674 i= 1

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?xiyi-n x y
i=1

5

∴r=
5 2 2 2 ? xi -n x ?? y2 - n y ? i i= 1 i=1

?

5

?



25 054-5×73.2×67.8 ?27 174-5×73.22??23 167-5×67.82?

=0.904 3 由于 r 的值接近于 1, 故可判断两变量 x 与 y 具有线性相关 关系.

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(2)由(1)知,求回归直线方程是有意义的. 回归系数:

?xiyi-n x y
i =1

5

b=

2 ?x2 i -5 x i =1

5

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25 054-5×73.2×67.8 = 27 174-5×73.22 =0.625, a= y -b x =67.8-0.625×73.2=22.05, 所以 y 对 x 的线性回归方程是: y=0.625x+22.05

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通过相关系数,来分析两个变量是否相关,
然后再利用回归方程的公式求解回归方程,借助回归方程对实 际问题进行分析.

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1 . 变 量 X 与 Y 相 对 应 的 一 组 数 据 为 (10,1) , (11.3,2) ,
(11.8,3) , (12.5,4) , (13,5) ; 变 量 U 与 V 相 对 应 的 一 组 数 据 为 (10,5) , (11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) , (13,1) . r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数, 则( )

A.r2<r1<0
C.r2<0<r1

B.0<r2<r1
D.r2=r1

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解析:

对于变量Y与X而言,Y随X的增大而增大,故Y与

X正相关,即r1>0;对于变量V与U而言,V随U的增大而减小,
故V与U负相关,即r2<0,所以有r2<0<r1.故选C. 答案: C

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线性回归分析
有一位同学家里开了一个小卖部,他为了研究气
温对热茶销售杯数的影响,经过统计,得到一个卖出热茶杯数 与当天气温的对比表:

气温 x/ ℃

-5

0

4

7

12

15

19

23 27 31 36

热茶销 售杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 y/ 杯 (1)求热茶销售杯数与气温的线性回归方程; (2)预测气温为-10 ℃时热茶的销售杯数.

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[思路导引]

根据样本点数据画出散点图.利用散点图直

观分析热茶销售杯数y与气温x具有线性相关关系,利用线性回 归方程中参数的计算公式可得线性回归方程并进行预测.

解析: (1)所给数据的散点图如图所示.

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由图可看出,这些点在一条直线附近,可以用线性回归方 程来刻画 y 与 x 之间的关系. 169 1 228 因为 x = 11 , y = 11 , 由公式计算得 b≈-2.352,a= y -b x ≈147.772. 所以 y 对 x 的线性回归方程为 y=-2.352x+147.772. (2)对于气温为-10 ℃, 由回归方程可以预报热茶的销售杯 数为 y=-2.352×(-10)+147.772=171.292≈171(杯).

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求线性回归方程的步骤
(1)列出散点图.从直观上分析数据间是否存在线性相关关 系.
n n 2 2 (2)计算 x , y , xi , yi , xiyi. i =1 i=1 i=1

?

n

?

?

(3)代入公式求出 y=bx+a 中参数 b,a 的值. (4)写出回归方程并对实际问题作出估计.

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2.在研究硝酸钠的可溶性程度时,对于不同的温度观测它 在水中的溶解度,得观测结果如下: 温度(x) 溶解度(y) 0 66.7 10 76.0 20 85.0 50 112.3 70 128.0

由资料看 y 与 x 呈线性相关,试求回归方程.

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解析:

x =30,

66.7+76.0+85.0+112.3+128.0 y= =93.6 5

?xiyi-5 x y
i=1

5

b=

2 2 x - 5 x ?i i=1

5

≈0.880 9.

a= y -b x =93.6-0.880 9×30=67.173. ∴回归方程为 y=0.880 9x+67.173.

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可线性化的回归分析
(12分)在一次抽样调查中测得样本的5个样本点, 数值如下表: x y [思路导引] 函数. 0.25 16 0.5 12 1 5 2 2 4 1

试建立y与x之间的回归方程. 先由数值表作出散点图,然后根据散点的形 状模拟出近似函数,进而转化为线性函数,由数值表求出回归

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[规范解答] 由数值表可作散点图如下

2分

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k 根据散点图可知 y 与 x 近似地呈反比例函数关系, 设 y=x, 1 令 t=x,则 y=kt,原数据变为: t y 4 16 2 12 1 5 0.5 2 0.25 1 4分

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6分

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由散点图可以看出 y 与 t 呈近似的线性相关关系.列表如 下: i 1 2 3 4 5 ∑ ti 4 2 1 0.5 0.25 7.75 yi 16 12 5 2 1 36 t iy i 64 24 5 1 0.25 94.25 t2 i 16 4 1 0.25 0.62 5 21.312 5 y2 i 256 144 25 4 1 430

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所以 t =1.55, y =7.2.

8分

?tiyi-5 t y
i=1

5

所以 b=

2 5 t2 i -5 t i=1
?

=4.134 4.

9分 10 分

a= y -b t =0.8, 所以 y=4.134 4t+0.8. 4.134 4 所以 y 对 x 的回归方程是 y= x +0.8.

12 分

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(1)两个变量不呈线性关系,不能直接利用线
性回归方程.建立两个变量的关系,可以通过变换的方法转化 为线性回归模型.

(2)常遇到的幂函数和指数函数的线性化问题如下:
①将幂函数 y =axm(a为常数,a ,x ,y 取正值 ) 化为线性函 数,方法是y=axm两边以10为底取对数,则有lg y=mlg x+lg a.令u=lg y,v=lg x,lg a=b,代入上式,得u=mv+b,其 中m,b是常数,它的图像就是一直线.

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②将指数函数 y = cax(a > 0 , c > 0 , a , c 为常数 ) 化为线性 函数.方法是y=cax两边以10为底取对数,则有lg y=xlg a+lg

c.令lg y=u,lg a=k,lg c=b,代入上式得u=kx+b.其中k,
b是常数,它的图像也是一条直线.与幂函数不同的是,在线 性化过程中,x仍保持不变,只是用y的对数lg y代替了y.

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3.某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经 统计得到数据如下: x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 1 检验每册书的成本费 y 与印刷册数的倒数 x 之间是否具有 线性相关关系.如有,求出 y 对 x 的回归方程.

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解析:

1 首先作变量置换 u= x ,题目所给的数据变成如 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005

表所示的 10 对数据: ui 1 yi 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 然后作相关性检测. 经计算得 r=0.999 8>0.75,从而认为 u 与 y 之间具有线性 相关关系.

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由公式得 a=1.126,b=8.973. 所以 y=1.126+8.973u, 1 最后回代 u= x , 8.973 可得 y=1.126+ x , 这就是题目要求的 y 对 x 的回归曲线方程.

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一位母亲记录了儿子 3~9 岁的身高(数据略),由此建立的 身高 y(单位:cm)与年龄 x(单位:岁)的回归模型为 y =7.19x+ 73.93,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则下列叙述正 确的是( ) A.身高一定是 145.83 cm B.身高在 145.83 cm 以上 C.身高在 145.83 cm 左右 D.身高在 145.83 cm 以下


【错解】 A

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【错因】

产生错误的原因在于没有准确理解线性回归直

线的特征,回归直线不一定经过样本点,但一定经过样本点的 中心.当 x=10 时,∧ y =7.19×10+73.93=145.83.

【正解】 C

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