伤城文章网 > 数学 > (数列复习之专题二: 数列性质)教学备课讲义完美编辑版

(数列复习之专题二: 数列性质)教学备课讲义完美编辑版


中小学 1 对 1 课外辅导专家

精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号
学员编号: 学员姓名: 课 题 年 级:高三 辅导科目:数学 T 数列性质复习专题 课时数:3 学科教师:王建华 C 方法与思路引导 T 综合应用求解

授课时间 教学内容

基础知识
等差数列 定义 等比数列

a1 { A aa( a ?? d }P? n 常数) 为1 ? ? n ? n n {n为P a G ? ?( } ? q 常数) (q ? 0) a n

通项公式 求和公式

a n =a 1 + (n-1) a k + d= (n-k) dn + a 1 -d d=

? 1 ? a an ? qk ?q a n n 1 k

中项公式
性 质
1

n a ?a ) (1 n n n? ) ( 1 na ( ?) q 1 ? 1 ?na ? d 1 ? n 2 2 s ?? 1( ? ) a ? nq a1 q n 1 a d 2 d ( ?) q 1 ? 1 q ? 1 q ? n ?(a ? )n 1 ? ? ? 2 2 nn 1 ( ?) s ? n? (d ?) n na 2 a ? b 2 2 A= 推广:2 a n = a ? ?a ? 。推广: a ? nm a m a ?n G ?ab nm nm n ? ? 2 sn ?
若 m+n=p+q 则

a?n?p?q m a a a
? N )则 { a k n } 也为 A.P。

若 m+n=p+q,则 a a ? p q。 aa m n 若 { k n } 成等比数列 (其中 k n 数列。

2

若 { k n } 成 A.P(其中 k n

? N ) { a k n } 成等比 ,则

3

s s ?, 3 ?n成等差数列。 ,n n n s n 2 ss 2
a? a ? a a d n 1? m n( ?) ? mn n 1 mn ? ?
两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn} 仍为等差数列。

( s s ?, 3 ?n , n n n s 成等比数列。 q ? ?1 ) n 2 ss 2

4

q n ?1 ?

an a1



q n?m ?

an (m?n ) am

5

两个等比数列{an}与{bn}的积、 倒数组成的数列{an?bn}、 商、
? a n ? 、 ? 1 ? 仍为等比数列。 ? ? ? ? ? bn ? ? bn ?

6

若{an}为等差数列,且 bn 为等比数列;

? a an (a>0 且 a?1),则{b }
n

若{an}为等比数列, bn 且 则{bn}为等差数列;

a ? loga an (a>0 且 a?1, >0),
n

精锐教育网站:www.1smart.org

1

精锐教育·教务管理部

中小学 1 对 1 课外辅导专家
7 (1) 若 项 数 为

2n

,则

S偶 ? S奇 ? nd



(1) 若项数为 2 n ,则

S偶 S奇

? q; S 奇 ? a1 S偶

S偶 S奇

?

an?1 ; S 2n ? n(an ? an?1 ) ; an

(2) 若项数为 2n ? 1 ,则

? q;

(2) 若 项 数 为

2n ? 1

, 则

S奇 ? S偶 ? an?1

S奇 S偶
拓展性质

?

n , S 2 n?1 ? (2n ? 1)an ; n ?1
1、三个数成等比的设法:

1、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列 仍为等差数列。 2、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列 仍为等比数列。 3、在等差数列{an}中,所有的点 ? n,

a ,a,aq;四个数成等 q

? ?

Sn ? ? 共线。 n ? 2 等比数列{an}的任意连续 M 项的和构成的数列
SM、S2M? SM、S3M? S2M、S4M ? 0)仍为等比数列。 S3M、?(且每项都不为

比的错误设法:

a a 3 , ,aq,aq (为什么?) q3 q

4、等差数列 ap ? q, aq ? p, 则ap?q ? 0 ; 5、等差数列 S m ? n, S n ? m, 则S m?n ? -(m ? n) 等比数列 的前 n 项 和公式常 见应用题

难点:等比数列的前 n 项和公式的常见应用题: ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 a ,年增长率为 r ,则每年的产量成
1 等比数列,公比为 1? r . 其中第 n 年产量为 a( ?r)n?1,且过 n 年后总产量为:

1? ? ? 1 2 ? 1 ? n a? r . a? r a r? a r ? ?? ? ? ? ? a ? 1 1 ?? ?? 1 ? ? 1? ?r 1

?

n

?

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 a 元,利息为 r ,每月利息按复利 计算,则每月的 a 元过 n 个月后便成为 a(1? r) n 元. 因此,第二年年初可存款:
a1?r)[ ?( ?r)12] ( 1 1 . a12 ) a101 () a11 ) ...= 1? ? ? ? ? ( r 1 ( ? 1 r ? ?) r a ( r 1?( ?r) 1

典型例题
数列判定
1 1 1 例 1.若 a、b、c 成等差数列,b、c、d 成等比数列, , , 成等差数列,则 a、c、e 成( c d e
A.等差数列 C.既成等差数列又成等比数列 B.等比数列 D.以上答案都不是 )

精锐教育网站:www.1smart.org

2

精锐教育·教务管理部

中小学 1 对 1 课外辅导专家 变式练习: (1)已知

1 1 1 b?c a?c a?b , , 成等差数列,求证: , , 也成等差数列。 a b c a b c

(2) .设数列{an}是公比为 a(a≠1),首项为 b 的等比数列,Sn 是前 n 项和,对任意的 n∈ N+ ,点(Sn ,Sn+1)在 ( A.直线 y=ax-b 上 B.直线 y=bx+a 上 C.直线 y=bx-a 上 D.直线 y=ax+b 上 (3)已知 a1,a2,a3,?,a8 为各项都大于零的数列,则“a1+a8<a4+a5”是“a1,a2, a3,?,a8 不是等比数列”的 ( A.充分且必要条件 B.充分但非必要条件 C.必要但非充分条件 D.既不充分也不必要条件





等比等差中项
例 2 . 在 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 ( ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 2 ? log3 5

?an ?

中 , 若 a5 a6 ? 9, 则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ?

变式练习 (1)数列 2, 5,2 2, 11,…, 则 2 5 是该数列的 A.第 6 项 ( 2)等差数列 { a n } 、 { b n } 的前 n 项和 S n 、 T n 满足 B.第 7 项 C.第 10 项 ( D.第 11 项 )

S n 3n ? 1 a ,则 5 ? ? Tn 2 n ? 5 b5



a b

3 3

=

.

插入数列
例 3.已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等 比数列,则 b2(a2-a1)= ( ) 9 A.8 B.-8 C.±8 D. 8 变式练习 8 27 (1).在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_____. 3 2

精锐教育网站:www.1smart.org

3

精锐教育·教务管理部

中小学 1 对 1 课外辅导专家 (2)若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列, c 、 a 、 b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 , 则a= ( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 (3)在 2 与 7 之间插入 n 个数, 使这个以 2 为首项的数列成等差数列, 并且 S16=56 则 n=( ) A. 26 B. 25 C. 24 D. 23

公差公比
例 4.若一个三角形的三个内角成等差数列,且其中一角为 28 ,则其他两个角的度数为 。 变式练习 (1)首项为 ?24 的等差数列,从第 10 项开始为正数,则公差 d 的取值范围是
0





8 8 B、 d >3 C、 ≤ d <3 D、 < d ≤3 3 3 (2)在等差数列 ?an ? 中, a p ? q, aq ? p( p ? q), 则 a p?q 的值是
(3)一个等差数列的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,求它的前 110 项和
王新敞
奎屯 新疆

8 A、 d > 3



通项求和公式
例 5.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 5n2 ? kn ,且 a2 ? 18,则 k = 变式练习 8 15 24 (1)数列-1, ,- , ,?的一个通项公式是 5 7 9 n3+n n(n+3) A.an=(-1)n B.an=(-1)n 2n+1 2n+1 2 (n+1) -1 n(n+2) C.an=(-1)n D.an=(-1)n 2n+1 2n-1 .

求通项方法
例 6.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? 3
n?1

? an?1 ? n ? 2? .

3n ? 1 (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)证明: an ? . 2

精锐教育网站:www.1smart.org

4

精锐教育·教务管理部

中小学 1 对 1 课外辅导专家 变式练习 (1)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ;

(2) 数列 {an } 的前 n 项为 Sn , Sn ? 2an ? 3n(n ?N * ) . (1)证明:数列 ?an ? 3? 是等比数列; (2)求数列 ? an

?的通项公式 an ;

(3)数列 ?an ? 中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项; 若不存在,请说明理由.

a (3)已知数列 { a n } 满足 a? , n1? 1 0 ?

a? 3 n ( ? * ,则 a 20 =( n N ) 3n? a 1
D.



A.0

B. ?

3

C. 3

3 2

迭代递推法
例 7. 数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an,(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn;
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

精锐教育网站:www.1smart.org

5

精锐教育·教务管理部

中小学 1 对 1 课外辅导专家 变式练习 (1) .数列{an}满足 a1=2,对于任意的 n∈N*都有 an>0,且(n+1)an2+an·an+1-nan+12=0,又知数列{bn}的通项为 bn=2n -1 +1 (1)求数列{an}的通项 an 及它的前 n 项和 Sn; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn;
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

(2) 、.在数列 ? a n ? 中,已知 aaa n nn ? 3 aa ) 2 , ?? (3 1 , ? 32 ? 2 n ? 1 ? 2 (1)求 a , a4, a 。 3 5 (2)猜想 ? a n ? 的通项公式,并证明你的结论。

(3)数列 {an } 中,

Sn=4an-1+1 (n≥2)且 a1=1;

①若 bn ? an?1 ? 2an ,求证数列{bn}是等比数列②若 c n ?

an ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列 2n

数列应用
例 8、从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 15,本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预 计今后的旅游业收入每年会比上年增加 14;①设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元, 写出 an、bn 的表达式;② 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入

精锐教育网站:www.1smart.org

6

精锐教育·教务管理部

中小学 1 对 1 课外辅导专家 变式练习 (1) 某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车。有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交车,随后电力型公交车 每年的投入比上一年增加 50%,试问: (1) 该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车? 到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ?
1 3

精锐教育网站:www.1smart.org

7

精锐教育·教务管理部


搜索更多“(数列复习之专题二: 数列性质)教学备课讲义完美编辑版”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com