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浙江省杭州学军中学2014届高三上学期期中考试数学文试题


浙江省杭州学军中学 2014 届高三第一学期期中考试文科数学试题

考生须知: 1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 2. 答题前, 在答题卷密封区内填写班级和姓名. 3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效. 4. 考试结束, 只需上交答题卷.

选择题部分(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请把答案填在答卷上) 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 0 ? 2 ? 1 , B ? x log 3 x ? 0 ,则 A ? ?CU B ? =( ▲ )
x

?

?

?

?

A.

? x x ? 1?

B.

? x x ? 0?

C.

? x x ? 0?

D.

? x 0 ? x ? 1?

?x+2,x≤-1, ?2 2.若函数 f(x)=?x ,-1<x<2,则 f(f(-1))等于( ▲ ) ?2x,x≥2, ?
A.2 3.设函数 f
''

B.1

C. 3

D.4 ▲ ) D. ?1,???

?x ? ? x 2 ? 3x ? 4 ,则 y ? f ?x ? 的单调减区间(
B. ?? ?,?4? , ?1,??? C. ?? ?,?4?

A. ?? 4,1?

4. 已知等比数列 {an } 的公比为 q ,则“ 0 ? q ? 1 ”是“ {an } 为递减数列”的( ▲ ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

)的

部分图像如图所示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 单位后,得到的图像解析式为 A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin 2 x ( ▲ ) B. y ? sin( 2 x ? D. y ? sin( 2 x ?

?
6



?
6

)

? ?
6 3

) )

6.已知 ?a n ? 为等差数列,其公差为 ? 2 ,且 a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项, S n 为的 ?a n ? 前 n 项和,

n ? N * 则 S10 的值为( ▲ )
A. ? 110 B. ? 90 C. 90 D. 110

?y ? 0 ? 7. 若实数 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,目标函数 z ? x ? y 的最大值等于 (▲ ) ?x ? 2 y ? 4 ?

A.2

B.3

C.4
x

D.1
1 ? f ?x ? ,且 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 1 ,则 f ? x1 ? x 2 ? 的最 1 ? f ?x ?
A.4

8. 正实数 x1 , x 2 及函数 f ? x ? 满足 4 ? 小值为 ( ▲ )

4
B. 2 C. 5

1
D. 4

9. 对于函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [m, n] ,同时满足下列条件:① f ( x) 在 [m, n] 内是单调的; ②当定义域是 [m, n] 时, f ( x) 的值域也是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数的“和谐区间”.若函数

f ?x ? ? x ? 3 ? a 存在“和谐区间”,则 a 的取值范围是( ▲ )
A. ? ?

? 13 ? ,?? ? ? 4 ?

B. ? ?

? 13 ? ,?3? ? 4 ?

C. ? ?

? 13 ? ,3? ? 4 ?

D. ? ?

? 7 ? ,?? ? ? 2 ?

10.已知向量 a, b, c, 满足 a ? 2, a ? b ? b , a ? c ? b ? c ? 0 ,若对于每一确定的 b , c 的最大 值和最小值分别为 m, n ,则对任意 b, m ? n 的最小值是( ▲ ) A.

? ?? ?
D.

1 4

B.

1 4

C.

3 4

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.请把正确答案填在答卷对应的横线上) 11. sin 300 =___▲__.
0

12. log 2

7 1 ? log 212 ? log 2 42 ? ___▲___. 48 2
???? ? 3,1? ,将向量 OP 按逆时针旋转 5 ? 后,得向量 OQ ,则点 6

13.在平面直角坐标系中, O?0,0?, P

??? ?

Q 的坐标是 ▲_ .

14.如果函数 f ? x ? ? ? x ? 1? 1 ? x 的图像恒在 x 轴上方,则 x 的取值范围为__▲_ . 15. 已知 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ? 16. 若函数 f ( x) ? __▲__. 17.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 是奇函数且满足 f ?

?

?

1 ,则 x ? y 的值为 _▲_ 3

.

1 3 a 2 | x | ? x ? (3 ? a) | x | ?b 有六个不同的单调区间,则实数 a 的取值范围是 3 2

?3 ? ? x ? ? f ? x ? , f ?? 2? ? ?3 ,数列 ?a n ?满 ?2 ?

足 a1 ? ?1 ,且

Sn a ? 2 ? n ? 1 (其中 S n 为 ?a n ?的前 n 项和),则 f ?a5 ? ? f ?a6 ? ? __▲. n n

三、解答题(本大题共 6 小题,共 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 14 分) 设△ABC 的内角 A,B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求△ABC 的周长的取值范围. 19. (本小题满分 14 分)已知函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 ? 1 ? x ? 0 时, f ( x) ? e 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 4 x ? 4 x ? 1 。
2 ?x

1 c?b. 2



(1)求函数 f (x) 在 [?1,1] 上的单调区间; (2)若 g ( x) ? f ( x) ? kx(k ? 0) ,求函数 g (x) 在 x ? [0,3] 时的零点个数。 20.(本小题满分 15 分) 已知数列 ?a n ?满足: a1 ? 2t , t ? 2a n ?1t ? a n ?1 a n ? 0, n ? 2,3,4? .(其中 t 为常数,且 t≠0)
2

(1)求证:数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列; ? an ? t ?
,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

(2)设 bn ?

?n ? 1?2

an

x x ? x ? x ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b 。 2 2 4 2 4 2 4 ? 2? (1)求当 x ? ( , ) 时函数 f (x) 的值域; 2 3
已知向量 a ? (2 cos , tan( ? (2)是否存在实数 x ? [0, ? ], 使f ( x) ? f ?( x) ? 0(其中f ?( x)是f ( x)的导函数) ? 若存在,则求出

21. (本小题满分 14 分)

x 的值;若不存在,则证明之。 22.(本小题满分 15 分) 函数 f ( x ) ? x ? ax ? b, a , b ? R 的图象记为 E . 过一点 A( , ? ) 作曲
3

1 2

3 8

线 E 的切线,这样的切线有且仅有两条。 (1)求 a ? 2b 的值; (2)若点 A 在曲线 E 上,对正数 b 和任意的 x ? [0,1] ,求证: f ( x )? | a ? 3b ? 1 | ?

1 ? 0. 2

杭州学军中学 2013 学年第一学期期中考试 高三数学(文科)答卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 )

请填涂在答题卡上
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 12.

13.

14.

15.

16.

17. 三、 解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18. (本小题满分 14 分)

19. (本小题满分 14 分)

20. (本小题满分 15 分)

21. (本小题满分 14 分)

22. (本小题满分 15 分)

参考答案: 1-10 CBADA,DCCBD 11. ?

3 2

12. ?

1 2

13. ?? 2,0?

14. ?x x ? 1且x ? ?1?

15.

? 3

16. a ? ?2,3?

17.

3

? ?x ?e ,?1 ? x ? 0 19. (1)由题可知 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? 4 x ? 1,0 ? x ? 1 ?
由图可知,函数 f (x) 在 ?? 1,1? 的单调递减区间为 (?1. ]( k ? Z ) ,

1 2

在 ?? 1,1? 递增区间为 [ ,1]( k ? Z )

1 2

????6 分

考察数形结合思想 (2)当 k ? e 时, g ? x ? 有 1 个零点????8 分 当 1 ? k ? e 时, g ? x ? 有 2 个零点????10 分 当

1 ? k ? 1 时, g ? x ? 有 3 个零点????12 分 3 1 当 0 ? k ? 时, g ? x ? 有 4 个零点????14 分 3
20.(1)证明:∵t -2an-1t+an-1an=0, 2 ∴(t -an-1t)-(an-1t-an-1an)=0, ∴t(an-1-t)=an-1(an-t), 由 a1-t≠0 知 an-t≠0, ∴ = = =+ ,
2



-

=,n=2,3,4,?,t≠0.

∴数列

为等差数列. 。。。。。。。。6 分 。。。。。。。

解:(2)由(1)得,数列

为等差数列,公差为,



=

+(n-1)=,∴an=t+=

. 。。。。。。。。11 分 。。。。。。。

bn=

=

=

=t

.

∴Sn=b1+b2+b3+?+bn=t 21.解: (1) f ( x) ? a ? b ? 2 cos ? 2 sin( ?

=t

=

. 。。 。。15 分

x x x ? ? 2 cos (sin ? cos ) ? 1 ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ) ??? 5 2 2 2 4


x 2

x 2

?

x ? x ? ) ? tan( ? ) tan( ? ) 4 2 4 2 4

3? 11? , ) ,所以 2 3 4 4 12 ? 6? 2 2 sin(x ? ) ? ( , ) ?????? 8 分 4 4 2 3 ?1 ,1) 所以函数 f (x) 的值域为 ( ?????? 10 分 2 (2) f ( x) ? f ?( x) ? sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 0 ,
由 x?(

? 2?
,

), x ?

?

?(

2 ? 3? 因为 x ? 2k? ? ,且 x ? 2k? ? , (k ? Z ) ,所以 x 不存在。?? 14 分 2 2 3 2 22.解: (i)? f ( x) ? x ? ax ? b, a, b ? R,? f '( x) ? 3x ? a (I) 1 3 2 设切点为 ( x0 , y0 ) ,则切线方程为 y ? y0 ? (3x0 ? a)( x ? x0 ) ,将点 A( , ? ) 代入得 2 8 3 1 3 2 2 ? ? y0 ? (3x0 ? a)( ? x0 ) 可化为 16 x0 ? 12 x0 ? 4a ? 8b ? 3 ? 0 8 2 3 2 设 g ( x) ? 16 x ? 12 x ? 4a ? 8b ? 3 1 ? g '( x) ? 48 x 2 ? 24 x ,? y ? g ( x) 的极值点为 0, 2 1 3 ? 过点A( , ? ) 作曲线 E 的切线,这样的切线有且仅有两条 2 8

即 cos x ? 0 , x ? [0, ? ] ,所以 x ?

?



???? 12 分

1 3 ? g (0) ? 0或g ( ) ? 0 ,? a ? 2b ? ? 或a ? 2b ? ?1 ????7 分 2 4 (ii)因为点 A 在曲线 E 上,所以 a ? 2b ? ?1 1 1 f ( x)? | b | ? ? x3 ? ax ? b? | b | ? 2 2 1 ? b ? 0 时,左边= x3 ? (?1 ? 2b) x ? 2b ? 2 1 令函数 k ( x) ? x3 ? (?1 ? 2b) x ? 2b ? (0 ? x ? 1) 2 2b ? 1 ? k ' ?x ? ? 3x 2 ? ?? 1 ? 2b ? ,由 k '( x) ? 0 得 x ? 3


2b ? 1 1 ? 1 时,即 b ? 1 时,函数 y ? k ( x) 在 [0,1] 上单调递减, k ( x) ? k (1) ? ? 0 3 2
2b ? 1 2b ? 1 ] 上单调递减,在 [ ,1] 上单调递增 3 3

当 0 ? b ? 1 时,函数 y ? k ( x) 在 [0,

k ( x) ? k (

2b ? 1 2(2b ? 1) 2b ? 1 1 )?? ? (2b ? 1) ? 3 3 3 2

令函数 m(b) ? ? 设

2(2b ? 1) 2b ? 1 1 ? (2b ? 1) ? 3 3 2

2b ? 1 3 3 1 ? t ? ( ,1) , m(t ) ? ?2t 3 ? 3t 2 ? 在 ( ,1) 上单调递增 3 3 3 2 ? 3? 9?4 3 ? ? m?t ? ? m? ? 3 ? ? 18 ? 0 ????15 分 ? ?


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