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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程课件新人教B版选修1_图文


第二章—— 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程 [学习目标] 1.了解双曲线的定义,几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测 挑战自我,点点落实 重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功 [知识链接] 取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分 别固定在点 F1 , F2 上,把笔尖放在点 M 处,拉开闭拢拉链,笔尖 经过的点可画出一条曲线,思考曲线满足什么条件? 答案 如图,曲线上的点满足条件:|MF1| - |MF2| =常数;如果改变一下位置,使 |MF2|-|MF1|=常数,可得到另一条曲线. [预习导引] 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于常数(小于 差的绝对值 |F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线 的 焦点 ,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程 焦点在x轴上 标准方 程 焦点在y轴上 x y 2- 2=1 a b (a>0,b>0) F1(-c,0), F2(c,0) 2 2 y x 2- 2=1 a b (a>0,b>0) (0,-c) 2 2 焦点 焦距 F1 a2+b2 ,F2 (0,c) |F1F2|=2c,c2= 要点一 例1 求双曲线的标准方程 根据下列条件,求双曲线的标准方程. 15 16 (1)经过点 P(3, 4 ),Q(- 3 ,5); 解 方法一 若焦点在x轴上, 2 2 x y 设双曲线的方程为a2-b2=1(a>0,b>0), 15 16 由于点 P(3, 4 )和 Q(- 3 ,5)在双曲线上, ? 9 225 2 - = 1 , 2 2 ? ?a 16b ?a =-16, 所以? 解得? 2 25 ? b =- 9. ?256 ? - = 1 , 2 2 ? 9a b 若焦点在y轴上,设双曲线的方程为 (舍去) y x 2- 2=1(a>0,b>0), a b 2 2 ? 225 9 ?16a2-b2=1, 将 P、Q 两点坐标代入可得? 25 256 ? 2 - 2 =1, 2 ? a 9 b ? a = 9 , ? 解之得? 2 ? ?b =16, y2 x2 所以双曲线的标准方程为 9 -16=1. 方法二 设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0). ∵P、Q两点在双曲线上, ? 256 9m ? n ? 1, 16 256 m ? 25n ? 1, 9 ? 1 m?? , 16 1 n? , 9 2 2 y x ∴所求双曲线的标准方程为 9 -16=1. x y 解 方法一 依题意可设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0). ?a2+b2=6, 2 ? ? a ? =5, 依题设有?25 4 解得? 2 ? b =1, ? 2 - 2=1, ? ?a b 2 2 x 2 ∴所求双曲线的标准方程为 5 -y =1. 2 方法二 ∵焦点在 x 轴上,c= 6, x y ∴设所求双曲线方程为 λ - =1(其中 0<λ<6). 6-λ ∵双曲线经过点(-5,2), 2 2 25 4 ∴ λ - =1,∴λ=5 或 λ=30(舍去). 6-λ x 2 ∴所求双曲线的标准方程是 5 -y =1. 2 规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相 似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法 求出a,b的值.若焦点位置不确定,可分焦点在x轴和y轴上两种 情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂,注意到双曲线 过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即 可确定m、n,避免了讨论,实为一种好方法. 跟踪演练 1 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线过点 9 (3,-4 2)和(4,5),求双曲线的标准方程; y2 x2 解 由已知可设所求双曲线方程为a2-b2=1 (a>0,b>0), ?32 9 2 ? ? a2 -b2=1, a ? =16, 则? 解得? 2 81 ? b = 9 , ?25 ? - = 1 , 2 2 ?a 16b 2 2 y x ∴双曲线的方程为16- 9 =1. x y (2)求与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双曲线 方程. x2 y2 解 方法一 由题意可设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0). 又 c= 16+4=2 5. ?3 2? 4 双曲线过点(3 2,2),∴ a2 -b2=1. 2 2 2 ∵a +b =(2 5) ,∴a =12,b =8. 2 2 2 2 2 x y 故所求双曲线的方程为12- 8 =1. 2 2 x2 y2 方法二 设双曲线方程为 - =1 (-4<k<16), 16-k 4+k 将点(3 2,2)代入得 k=4, x y ∴所求双曲线方程为12- 8 =1. 2 2 要点二 双曲线定义的应用 2 例2 如图,若F1,F2是双曲线 x2 另一个焦点的距离; 的两个焦点. y - = 1 9 16 (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于 16,求点M到 x y 解 双曲线的标准方程为 9 -16=1, 故 a=3,b=4,c= a +b =5. 2 2 2 2 (1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6, 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到 另一个焦点的距离等于x, 则|16-x|=6, 解得x=10或x=22. 故点M到另一个焦点的距离为10 或22. (2)若P是双曲线左支上的点,且|PF1|· |PF2|=32,试求△F1PF2 的面积. 解 将||PF2|-|PF1|

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