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高中数学2.2.1直线与平面平行的判定课件新人教A版必修2_图文


§2.2 直线?平面平行的判定及 其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1.了解直线与平面的位置关系,并学会用符号和图形来表示它 们. 2.了解直线与平面平行的定义,并掌握直线与平面平行的判定 定理,会用符号语言和图形语言来描述它们. 3.结合具体问题体会化归与转化的数学思想,重视空间与平面 的相互转化. 1.定义 如果一条直线和一个平面没有公共点,那么就说这条 直线和这个平面平行.表示式:a与α a∥α __________. 2.判定定理 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直 平行 线平行,那么这条直线和这个平面________. 表示式: a??? ? b ? ? ? ? a ?. a b ? ? 1.直线与平面平行的判定方法主要有: (1)利用定义:证直线与平面无公共点(需用反证法). (2)利用直线和平面平行的判定定理,即线线平行 线面平行 ? . (3)利用平面与平面平行,得到直线与平面平行.即 若α∥β,a ? α,则a∥β. 2.“平行于同一平面的两直线平行”对吗? 如下图所示,显然正方体AC中下底面的三条棱a、b、c都平 行于上底面α,侧面上的直线d也平行于α,但a∥c,a∩b于 A,a与d异面.即平行于同一平面的两条直线相交?平行?异 面的各种关系都可能出现. 3.“若平面外的一条直线与平面平行,那么它和平面内的所有 直线平行”对吗? 不对.若平面外一直线和已知平面平行,则在这个平面内可以 找到无数条互相平行的直线与平面外的这条直线平行,但 不是平面内的所有直线与它平行.如上图所示,b∥α,但 b BC. 题型一 直线?平面的位置关系 例1:对于不重合的两条直线m、n和平面α,下列命题中的真 命题是( ) A.如果m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线, 那么n ? B.如果m ? ? , n ? , m, n共面, 那么m n C.如果m ? ? , n ? ? , m, n是异面直线, 那么n与? 相交 D.如果m ? , n ? , m \, n共面, 那么m n. 解析:如图所示,在长方体AC1中,设平面ABCD为α,AB为 m,CC1为n,易知n与α相交,∴A错;若B1C1为n,则有 n∥α,∴C错;记A1B1为m,B1C1为n,则m与n相交,∴D错. ∴排除A?C?D,故 B正确. 答案:B 规律技巧:此类题目属于位置关系的判定题,并且用符号语 言表示,是高考考查立体几何的主要形式.其解题策略是借 助长方体等作为模型,利用排除法求解. 变式训练 1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中与平面D1AC不平行的是( A.A1B C.BC1 答案:B D.A1C1 B.BB1 ) 题型二 直线和平面平行的判定 例2:正方体ABCD-A1B1C1D1中,E?G分别是BC?C1D1的中点, 如下图.求证:EG∥平面BB1D1D. 分析:要证明EG∥平面BB1D1D,根据线面平行的判定定理,需 要在平面BB1D1D内找到与EG平行的直线,要充分借助于E ?G为中点这一条件. 证明:取BD的中点F,连结EF?D1F. ∵E为BC的中点, ∴EF为△BCD的中位线,则EF∥DC,且 1 EF ? CD. 2 . ∵G为C1D1的中点, ∴D1G∥CD且 1 D1G ? CD 2 , ∴EF∥D1G且EF=D1G, ∴四边形EFD1G为平行四边形, ∴D1F∥EG,而D1F 平面BDD1B1,EG 平面BDD1B1, ∴EG∥平面BDD1B1. 规律技巧:在证明直线与平面平行的问题中,关键是寻找面内 与已知直线平行的直线,常利用平行四边形?三角形中位线 ?平行公理等. 变式训练 2:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S?E?G分别是 B1D1?BC?SC的中点,求证:直线EG∥平面BDD1B1. 证明:如图所示,连结SB. ∵E?G分别是BC?SC的中点, ∴EG∥SB. 又∵ , , EG ? 平面BDD B SB ? 平面BDD1B 1 1 1 ∴直线EG∥平面BDD1B1. 例3:正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE? BD上各有一点P?Q,且AP=DQ. 求证:PQ∥平面BCE. 分析:解法1:证明线面平行,可用线面平行的判定定理. 证明:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N, 连结MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB, ∴AE=BD. 又∵AP=DQ,∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN, PM PE QN BQ ∴ ? , ? . AB AE DC BD ∴PM QN.∴PQ∥MN. 又MN ? 平面BCE, PQ ? 平面BCE, ? PQ 平面BCE. 解法2:线面平行可以转化为线线平行,而线线平行可通过“线 段对应成比例”得到.连结AQ并延长交BC于K,连结EK,只 需证出 AP AQ 即可. ? PE QK 证明:如图所示,由AD∥BC,AK∩BD=Q知, △ADQ∽△KBQ, ∴ AQ DQ ? . QK BQ AP DQ AP AQ ? .? ? , PE BQ PE QK 另一方面,由题设知,AE=BD,且AP=DQ. ∴PE=QB,∴ ∴PQ∥EK. 又PQ ? 平面BCE,EK? 平面BCE. ∴PQ∥平面BCE. 变式训练 3:如图,在三棱锥P—ABC中,点O?D分别是AC?PC的中点. 求证:OD∥平面PAB. 证明:在△ACP中,∵O为AC的中点,D为PC的中点, ∴OD∥AP. ∵ OD ? 平面PAB, AP.? 平面PAB ∴OD∥平面PAB. 易错探究 例4:以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面). ①若a∥b,b α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b; α,则a∥b. ③若a∥b,b∥α,则a∥α;④若a∥α

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