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数学奥林匹克高中训练题(164)


20 13 年第



数母奥称吸粼高宁训稼题
中圈分类号 文献标识码 文章编号 一 刊 只 一

第一试
一、 填 空题 每小题 函数 分 ,共 分

在 复平 面上 , 复数 结 和

, 对应 的点 在联 对应

两 点 的线段 上运 动 , 复 数

的点在 以 原 点 为 圆 心 、 为 半 径 的 圆 上 运 动 则 复数么 孔 对 应 的点 所 在 区域 的 面 积 为 二 、 解答 题 共 分 已知 了一 分 、 任 ,且 满 足

二一
的值域是 在■
·
。, 则

办 , 一二 一
中 , 已知
一 '



, 分

少 ,

的最小值 对任 意 整 数 、 使得 , 试求



”万 二
则当 二矿 与 。 的正方体 滩 召`。 一 、 ,、 的体积 为 , ,尽 的中 二 两个

两个 不 同的正 整数
一 男 一

设 在边长为 中 ,点 点 则 四面体

函数 图 像相 切时 ,

对任 意正 整数

气 一



, 求 满足 方程

” ' 。

、 、 分别为棱 过 双 曲线


的正 整数解 ,

,

, … ,二。 兰
工 一

分 已知双 曲线

的右焦 点 、
点 标为 已知 为 首项 、


作 与左 焦点
与 , 任


土 工轴 , 与 双 曲线 交 于点 , 的 连 线 与 双 曲线 交 于
轴交 于点 , …是 以
… ` 一

一 ,

,

,

, 在 双 曲线

上任取一点 ,、 凡 向
、 从 证明

,

尸 。, 。 , 过 尸作 切 线
点 、 从 在以

, 并 由焦 点

,联 结



的横坐 〔 ,

切 线 作 垂线 , 垂 足分 别为

为直径 的 圆上

二凡从 为定值 ·

, 为公 比的等 比数 列 设 , 的个 数 为 一 、 为边 别与 、 为 共线 旧刀 、 召 材与





则 满足 条件 的有 序 数 对

一 只蚂 蚁从 等边 三角形 的一 个顶 点 开
始爬 行 每次 爬 行 可 随机 选 择 向另 一个 顶 点 沿边 线爬 行 则 蚂蚁 第 十 次 爬 回起 始顶 点 的 概率 为

分 如 图 ,在 ■ 中 , 已知 上的高 , 以 为直 径 的 分 交于点 、 设 、 , 、 分别 的 中点 , 与 交于点 尸, 只点 证 明 尸、 、

材 交 于点

中 等 数 学

,一 奇 ' ,一 `' 夸 ,, , 奇 ' ,, “' 手
了' 了 ` ' 一 了` 一 了
一 工 一 , , 滩






解得

二 二

二、

分 证明 对任意 、 声任

, ,有
又 由乙 角知
,

月卫 ,二 尸 一

,, , ,二 且 , 。 一 二 , 其中 , “ ” 表 示轮 换对称 积
三 、
,

、 艺

、 艺

二罗

为■

的三个 内

分 已知 数
。, 二 。 。

。 满足
满足



,



给定 奇 质数
, , `

和正 整数




`



一 召

通 兰 卫




艺 二 、

证 明 川 。的充 分必 要条件 为 四、 分 考虑

的方 格 表 , 其 中每

故· 普 ·· 誉` ·
,, 囚此

个方格内均填 有数字 每次操 作可先选定 三个 实数 、 、。, 然 后 选定 一行 , 将 这 一 行 每 个方格中的数都加上 , 杭 。 为该方格 所 在 的列 数 , 感 鉴 或选 定 一列 , 将 这 一 列每个方格中的数都加上 , 。 为该 方格 所 在 的行 数 , ` £ 问 能 否经 过 有 限次 操 作 , 使该 方 格 表 中 四个 角 的数 字 变 成
, 而 其他 格 的数 字仍 为

了'

了 了 `



因为 两个 函数 互 为 反 函 数 , 且 关 于 直 线


对 称 , 所 以 , 相切 时切 点 在 设 切点 为
札二 气


二 上

。,



① ③ ②

将式 ① 代人式 ②得 。
。甸

参 考 答 案
第 一试
一、
由题设得

再将式 ① 代人式 ③得
劝 戈 。二 ·

一 二, 一 万 一 」 ` 【,
任 一 ,一



【,

故一 。 。二 上 幼 。 。。 一


一 , 兀、 「 驮 、 令`“ “ ' “` ”,亏 日 “,爹
。 ,, 则 、 ,







一,


如图
交 于点
四面 体

,过 点
`



` 的平行线 , 与

由图像 可 得 函数 值域


则 四 面 体 。
下 肠

二味 面 体 , `,'

李'
·

由 不角万 能公 式得
·

静■ 。` , '
由 题 设 得, 。 李


2013 年第





口 ,

,

,





二尸 。

刃`






设 则 二 故



代 人上 式 即得
一 了 ` ` ,

万 二

在正方体底面上 ,有
, ,
一 二 , 叮 一二 居一 , , ,二 — 一— 二

一 '

一 一 一

' 二 为圆心在

二 、 由

井 一

一 二 上的一组圆 , 该区域面积为 万 二
少一


气 一'












而 '

井 叮

少一

故。 四 面 体二矗·
一 生


'


了一 '

·一 、 目, 一 犷、 由 题 设 得 点 从一 训 ·

二 令 。


十, 一 〕 ,二 粤
十, 一 万
`

将直线
,
一一

与双曲线方程联立得
` ' 一
, 了 一于

、,, 且 。仪 , 习 、, , 月

,尽

一 '

一干 一矿 二

丫 万一
, 二

丫万

由韦 达定理 得
, 二 一
,

一护万

由梅涅 劳斯定 理知
,
月尸
勿 ,苛 ,
曰 弓曰

时 , 上 式等号 成立
。 一 , 一 一

一 召 。 一 一 承 压 口扫

一一


故 所 求 最 小 值 为 冬


劝 令


易得
,




了一

二 ,

一一

由题设 得
”产 设




” 一 ' , 代人 题设 等式 得
护 、 少任

当 由
一 ” '

,犷二 时 , 得

,



故 满足 条件 的数对 个数 为

二 弋 , 万









令 。, 步后 回到起始 点的概 率 为 艺

,

…二。

… 。 即可

… ,

'

设蚂 蚁爬 行 。则
。 一

如 图 ,联 结 、凡 由双 曲 线 的 光 学 性 质 , 知 直 线 凡 ,即 匕 匕 凡尸 万

平分

冬 , 一·


中 等 数 学
· ·




、 、 、 四点 共 圆
尸尸 二 尸 ·

劝 点 尸到 由 为
材一 召 材一

,和 等幂 的切线 ,且 , 为
一一 一

中点 ,知

劝 ■召 材

,的 ■ 材

幼 匕


二匕

延长

,与尸 凡 交于点 州 则 ■ 为 月 的 中点

为等腰 三 角 形 ,且
由 双 曲线 定 义得

劝 为 同理 , 为 由 由 为 · ,

的切 线 口 的切线 到 口和 和

的 中点 , 知 点 · 口 , 知点

洲凡 尸 凡 一 二 因为 口为 凡 的中点 ,所 以 ,

口等幂 · 等幂 · 故 点 尸、 、 均 在 上 , 即 尸、 、 三点 共线 和 的根轴

李 £ 。 一 ,火 一 `
同理 , 从

故点 、 从 均在以 设 凡从 与 以 点州

为直径的圆上 为 直径 的 圆交 于 凡丛 ,

二 、由于原不等 式 是齐 次 的 , 故不 妨设


于是 , 原不 等式 等价 于
, 〕 二一 声 注意 到 , 一” 少一 一 舒 大于 少一 二 二 一 舒 一 声 、 一 少 ' ' ' 中至 多 有 一项 不 , , 一 二 一 ·

由 ,、 凡 关于点 对称 , 且 知 ,、 川 关 于点 对称 从 而 , 凡川 二
由 圆幂定 理得

,· 凡从 二凡 二 一

· 凡从 。 , 一。 ,



· 凡

吞 , 定值

故 ` 一产 、 一




交于

若存在一项不大于
不妨设 注意 到 ,

,则不等式显然成立
均 大于



一 、 如 图 ,设 材 、 抓 材 分 别与 、 凡 ,联 结 、 以 泛、 、

一 、 一 、 一

丫二 一




一 产 少一“
, , 一 舒

,, , 〕
,少 , ,

。 屯,尹
骨 舒〔
骨 一 显 然成 立 设 ■ 刀 天 、■
、 口

, 尹一 郡



一 '
一 '〕

'」
〕 ,

的外接圆分别为

同理 ,
产 了

多丫







,

由射影定理得

以上 二式相 乘 即得原 不等 式

年第



三 、充分 性

事 实上 , 由

用数学归纳法易访 引 匡 意
必要 性



,有 川气

一 一

涯 。, ,
, ,存在 任 ,侧 导 , 在模 的意 义 下 至
,…, , 、

、 、, ,

,,

、 、。 、、 卜

又 引 医 意 任 由于二元 数组
多有 犷 组 , 故数组
。, , 。, 。 则 。, 。 , 二 。 `。 三 。 又 一 任 , ,

爹 ' 万 ”` '一 '一 万 '` '〕 ·
涯 「,

爹〔` 涯 ” 一 '一 ` 一 万” 一 '〕

、 、, 一 , ,

中必 有两 组模

相 同 , 不妨 设为
三 。, ` 十 , 。 ,一 。 三 。 一 。 , 。,,

二 合 〔 涯 户 一 涯” 一〕


鑫, , 炸一 一 一 一一 。 , , ,即 川少 夸 ·
设 任 , 为满足 川 的最小正整数 , 且 由上述 结论 知

则 由题 目条件 有
, 故令 二 一 则

若 为满足 对 正整 数 。 有
。骨

, 的最小 正整数 , 则

'

芭卫

当 , 二 时 , 结论 显然成 立 当 整数 数 列
由 。 十 `二
。 `一
二 劣。 ` 。 一 ` 工 卜

故 守 , 劝井 因此 ,川 二 二
。 为 一正 四、 不能 反证 法

时 ,令

兰 , 易知 , 。 二

假 设 能经过 有 限次操 作使 方格 表变 为 四
。 十 。
一 。 卜
` ” '

。 十 。

个 角 均为

, 而其 他 所 有 方 格 的数 字仍 为 的子方格表 设经 行第 列 中的 数 都有

考虑方 格 表 左 上 角 过 有 限次 操 作 变 换 后 , 第
为 少




男。 。

。 一。

注 意到 , 对任 意二 次 函数
` ,且 `为 满 足 。 十十 。 及辗转

井 而

`,

关, ,故

` 二

少 ` 二, ,
,

一 故任 意操 作均 不 改变
一 一 二 ,一
一 。


一 一 、 一
一 。

关的最 小正 整 数 由 , 相 除法 得 故 令 则 故

, 。 十二

, ,扎 二 十“ 关 ` 那 叮户任 , 毛叮 , 幼 骨 ,

的值 , 即为不变 量 又初 始状 态方 格表 中所 有 方格 中的数均 为 求达 到 的形式 为
一 一 一 一

, 则该 不 变 量 为 ,且
… 科 ,

而所要

。, 厂 ,



。。 引 。骨

对奇质数 , 有 川 夸 · 故 只需证 明 川 少 守 ·
而 尹 , 十或 ,尸一

与该 结论 矛盾

故假设 不成 立 , 即 不 能 经 过 有 限 次 操 作
使方格 表 中的数 字变 为要 求 的形 式 雷


一 艺 二工 , 则 只需证 明
,,一 ·



河 北 省 石 家 庄 市 第二 中学 ,

, 一 ,即尸 , ,


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