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2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略课件:第1部分 专题5 第15讲 直线与圆_图文


热 点 题 型 · 探 究

专题 5 第 15 讲

解析几何 直线与圆

专 题 限 时 集 训

题型一| 直线与方程

(1)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx -y-m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|· |PB|的最大值是________. (2) 垂直于直线 y = x + 1 且与圆 x2 + y2 = 1 相切于第一象限的直线方程是 ________.

(1)5 A,B,

(2)x+y- 2=0

[(1)∵直线 x+my=0 与 mx-y-m+3=0 分别过定点

∴A(0,0),B(1,3). 当点 P 与点 A(或 B)重合时,|PA|· |PB|为零; 当点 P 与点 A,B 均不重合时,∵P 为直线 x+my=0 与 mx-y-m+3=0 的 交点,且易知此两直线垂直, ∴△APB 为直角三角形,∴|AP|2+|BP|2=|AB|2=10, |PA|2+|PB|2 10 ∴|PA|· |PB|≤ = 2 =5,当且仅当|PA|=|PB|时,上式等号成立. 2

|b| (2)由垂直于直线 y=x+1 可设直线方程为 x+y+b=0,则有 2 2=1,b= 1 +1 ± 2,又∵切点在第一象限,故直线方程为 x+y- 2=0.]

【名师点评】 两直线位置关系的判定方法: (1)给定两条直线 l1:y=k1x+b1 和 l2:y=k2x+b2,则有下列结论: l1∥l2?k1=k2 且 b1≠b2;l1⊥l2?k1· k2=-1. (2)若给定的方程是一般式,即 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2=0, 则有下列结论: l1∥l2?A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0 或 A1C2-A2C1≠0; l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

1.(2016· 南京二模)若直线 l1:x+2y-4=0 与 l2:mx+(2-m)y-3=0 平行, 则实数 m 的值为________.

2 2 m 2-m -3 3 [由题意得: 1 = 2 ≠-4?m=3.]

2.(2016· 南通调研一)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,0),B(4,0).若直线 x 1 -y+m=0 上存在点 P,使得 PA=2PB,则实数 m 的取值范围是________.
[-2 2,2 2] [法一:设满足条件 PB=2PA 的 P 点坐标为(x,y),则(x-4)2 |m| +y =4(x-1) +4y ,化简得 x +y =4.要使直线 x-y+m=0 有交点,则 ≤2.即 2
2 2 2 2 2

-2 2≤m≤2 2.

法二:设直线 x-y+m=0 有一点(x,x+m)满足 PB=2PA,则 (x-4)2+(x+m)2=4(x-1)2+4(x+m)2. 整理得 2x2+2mx+m2-4=0.(*) 方程(*)有解,则 Δ=4m2-8(m2-4)≥0, 解得-2 2≤m≤2 2.]

3.过点 P(-4,0)的直线 l 与圆 C:(x-1)2+y2=5 相交于 A,B 两点,若点 A 恰好是线段 PB 的中点,则直线 l 的方程为________. 【导学号:19592045】

x± 3y+4=0 [如果直线 l 与 x 轴平行,则 A(1- 5,0),B(1+ 5,0),A 不 是 PB 中点,则直线 l 与 x 轴不平行;设 l:x=my-4,圆心 C 到直线 l 的距离 d 5 = 2 ,令 AB 中点为 Q,则 AQ= 5-d2,PQ=3AQ=3 5-d2,在 Rt△CPQ m +1 5 25 中,PQ +CQ =PC ,得 d =2= 3,则直线 l 的方程为 x± 3y+4 2,解得 m=± 1+m
2 2 2 2

=0.]

题型二| 圆的方程

(1)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴 所得弦的长为 2 3,则圆 C 的标准方程是__________________. (2)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2-4x-8y+19=0 关于直线 l:x+ 2y-5=0 对称的圆 C2 的方程为________.

(1)(x-2)2+(y-1)2=4 (2)x2+y2=1

[(1)设圆 C 的圆心为(a,b)(b>0),由题

意得 a=2b>0,且 a2=( 3)2+b2,解得 a=2,b=1. ∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4. (2)由圆 C1:x2+y2-4x-8y+19=0 化简可得该圆圆心为(2,4),半径为 1,则 ? ?y′-4=2, ?x′-2 圆心(2,4)关于直线 l:x+2y-5=0 的对称点满足? y′+4 ?x′+2 +2× 2 -5=0, ? 2 ?
? ?x′=0, 可解得? ? ?y′=0,

故圆 C2 的方程为 x2+y2=1.]

【名师点评】 求圆的方程的两种方法 1.几何法:通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆 的基本量和方程. 2.代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.

1.(2015· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx -y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________.

(x-1)2+y2=2 [直线 mx-y-2m-1=0 经过定点(2,-1). 当圆与直线相切于点(2,-1)时,圆的半径最大,此时半径 r 满足 r2=(1-2)2 +(0+1)2=2.]

2.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被该圆所 截得的弦长为 2 2,则圆 C 的标准方程为________. 【导学号:19592046】

(x-3)2+y2=4

[设圆心坐标为(a,0)(a>0), 由于圆过点(1,0), 则半径 r=|a-1|,

|a-1| 圆心到直线 x-y-1=0 的距离为 d= . 2 由弦长为 2 1(舍去). 故圆心为(3,0),半径为 2,所求圆的方程为(x-3)2+y2=4.]
?|a-1|? ?2 2 2 2可知? = ( a - 1) - 2 ,解得 ( a - 1) =4,所以 ? ? 2 ? ?

a=3 或 a=-

3.当且仅当 a<r<b 时,圆 x2+y2=r2(r>0)上恰好有两点到直线 3x+4y-15=0 的距离为 2, 则以(a, b)为圆心, 且和直线 4x-3y+1=0 相切的圆的方程为________.

(x-1) +(y-5) =4

2

2

|-15| [因为圆心(0,0)到直线 3x+4y-15=0 的距离 d= 2 3 +42

=3.结合图形可知, 圆上恰好有两点到直线 3x+4y-15=0 的距离为 2 的充要条件 是|r-3|<2,即 1<r<5,由题意知 a=1,b=5,所以圆心为(1,5),则圆心(1,5)到直 |4×1+5×?-3?+1| 2 线 4x-3y+1=0 的距离为 = 2. 所以所求圆的方程为 ( x - 1) +( y 2 2 4 +?-3? -5)2=4.]

题型三| 直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)(2016· 苏中三市二调)在平面直角坐标系 xOy 中, 过点 P(-2,0)的直 线与圆 x2+y2=1 相切于点 T,与圆(x-a)2+(y- 3)2=3 相交于点 R,S,且 PT= RS,则正数 a 的值为________. (2)(2016· 南京三模)在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 M: (x-a)2+(y+a-3)2=1(a >0),点 N 为圆 M 上任意一点.若以 N 为圆心,ON 为半径的圆与圆 M 至多有一 个公共点,则 a 的最小值为________.

(1)4

3 3 (2)3 [(1)由题意得 PT= 2 -1= 3,kPT= 3 ,PT:y= 3 (x+2),即
2

x- 3y+2=0,又 RS=PT= 3,所以圆(x-a)2+(y- 3)2=3 的圆心到直线 PT 的 距离为
? 3-? ? ?

|a-1| 3 3? ?2 3 =2,从而 2 =2,因此正数 a 的值为 4. 2? ?

(2)由题意得圆 N 与圆 M 内切或内含,即 MN≤ON-1?ON≥2,又 ON≥OM -1,所以 OM≥3. a2+?a-3?2≥3?a≥3 或 a≤0(舍).因此 a 的最小值为 3.]

【名师点评】 1.与弦长有关的问题常用几何法,即利用圆的半径 r,圆心到 l 直线的距离 d,及半弦长2构成直角三角形的关系来处理. 2.讨论点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利 用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.

1.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________.
4± 15 [由△ABC 为等边三角形知,圆心 C 到直线 AB 的距离为 3,所以 |a+a-2| = 3,解得 a=4± 15.] 2 a +1

1 x 2.已知方程 x +tan θ-sin θ=0 有两个不等实根 a 和 b,那么过点 A(a,a2),
2

B(b,b2)的直线与圆 x2+y2=1 的位置关系是________.

相切 [可求出过 A,B 两点的直线方程为(a+b)x-y-ab=0, |ab| 1 1 圆心到直线 AB 的距离为 d= ,而 a+b=-tan θ,ab=-sin θ,因 2 ?a+b? +1
? 1 ? ? ? ?sin θ?

此 d=

,化简后得 d=1,故直线与圆相切.] 1 tan2θ+1

3.已知圆 x2+y2=4,点 M(4,0),过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆 O 交于 A, B 两点,则△ABM 的外接圆的面积的最小值为________.

25 4π

[如图,设∠AMB 为 α.在△ABM 中,∵AB=4,

2 AB 由正弦定理可知,△ABM 的外接圆半径 R=2sin α=sin α.

要使 R 最小,只需 sin α 最大, 显然当且仅当 AB 与 y 轴重合时,α 最大, 4 4 α 1 此时 tan 2=2,∴tan α=3,sin α=5. 5 25 ∴R=2,故△ABM 的外接圆的面积为 4 π.]


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