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二次函数的最值与根的分布教案


做教育

做良心

中小学 1 对 1 课外辅导专家

备课教师:刘登骏

龙文教育个性化辅导教案提纲
学生:
教学课题 教学目标 考点分析 教学重点 教学难点 教学方法 教学过程: 一、 上节课知识点复习回顾及习题疑难解惑 二、本次课知识点 1.二次函数最值问题: 二次函数的区间最值问题,核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论.一般分为:对称轴在区间 的左边,中间,右边三种情况. 设 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ,求 f ( x ) 在 x ? [ m , n ] 上的最大值与最小值.
2

日期:









次 时段:

二次函数的最值与根的分布----导学案
1.掌握二次函数的图像及性质 2.能够求出二次函数在某个区间上的最值 3.能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化 二次函数跟的分布及二次函数的应用 讲练结合法、交谈式、启发式教学法

分析:将 f ( x ) 配方,得对称轴方程 x ? ? 当 a ? 0 时,抛物线开口向上 若? 若?
b 2a b 2a ? [m , n]

b 2a

? [ m , n ] 必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值;

当 a ? 0 时,抛物线开口向上,此时函数在 [ m , n ] 上具有单调性,故在离对称轴 x ? ?

b 2a

较远端点处取得最大

值,较近端点处取得最小值.当 a ? 0 时,如上,作图可得结论,对二次函数的区间最值结合函数图象总结如 下: 当a ? 0 时
b ? f ( n ), ? ? n ( 如图 3 ) ? 2a ? b b ? ? ? f (? ), m ? ? ? n ( 如图 4 ) 2a 2a ? b ? ? ? m ( 如图 5 ) ? f ( m ), 2a ?

f ( x ) m ax

b 1 ? f ( m ), ? ? ( m ? n )( 如图 1 ) ? ? 2a 2 ? ? f ( x ) min b 1 ? f ( n ), ? ? ( m ? n )( 如图 2 ) ? 2a 2 ?

1

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当a ? 0 时
b ? f ( n ), ? ? n ( 如图 6 ) ? 2a ? b b ? ? ? f (? ), m ? ? ? n ( 如图 7 ) 2a 2a ? b ? ? ? m ( 如图 8 ) ? f ( m ), 2a ?

f ( x ) max

f ( x ) m in

b 1 ? f (m ) , ? ? ( m ? n )( 如 图 9 ) ? ? 2a 2 ? ? ? f ( n ) , ? b ? 1 ( m ? n )( 如 图 1 0 ) ? 2a 2 ?

2.二次函数零点个数、一元二次方程、一元二次不等式解的情况:
? ? b ? 4ac
2

? ? 0

? ? 0

? ? 0

y ? ax ? bx ? c 的 图
2

象( a ? 0 )

函 数 y ? ax ? bx ? c
2

2个

1个

0个

的图象( a ? 0 )与 x 轴 的交 点或函 数零 点 的个数 方 程 ax ? bx ? c ? 0
2

x1 ?

?b ?

b ? 4ac
2


x0 ? ? b 2a

的解
x2 ? ?b ?

2a b ? 4ac
2

无解

2a

a x ? b x ? c ? 0 的解
2

x ? x 2 或 x ? x1
x 2 ? x ? x1

x ? x0

x? R
?

a x ? b x ? c ? 0 的解
2

?

2

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3.一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 )根的分布:
2

根 的 分 布

x1 ? x 2 ? k

k ? x1 ? x 2

x1 ? k ? x 2

图 象
k

k k

充 要 条 件

? ? ? 0 ? b ? ? k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?
?? ? 0 ? 或 ? ( x1 ? k ) ? ( x 2 ? k ) ? 0 ? ? ( x1 ? k ) ? ( x 2 ? k ) ? 0
k 1 ? x1 ? x 2 ? k 2

? ? ? 0 ? b ? ? k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?
?? ? 0 ? 或 ? ( x1 ? k ) ? ( x 2 ? k ) ? 0 ? ? ( x1 ? k ) ? ( x 2 ? k ) ? 0
k 1 ? x1 ? k 2 ? x 2 ? k 3

f ?k ? ? 0

或?

?? ? 0 ? ( x1 ? k ) ? ( x 2 ? k ) ? 0

根 的 分 布

两根有且仅有一根在 ? k 1 , k 2 ? 内

图 象
k1 k2 k1 k2 k3 k1

k2

f
? ? ? 0 ? f ? k1 ? ? 0 ? ? ? f ?k2 ? ? 0 ? b ? k1 ? ? ? k2 2a ? ?

? k1 ? ? f ? k 2 ? ?

0

充 要 条 件

? f ( k1 ) ? 0 ? ? f (k2 ) ? 0 ? ? f (k3 ) ? 0

? f ( k1 ) ? 0 ? 或? k ? k2 b ? 1 ? k1 ? ? 2a 2 ? ? f (k2 ) ? 0 ? 或? k ? k b 1 2 ? ? ? k2 ? 2 2a ?

三、典型例题 A.求二次函数在闭区间上的值域 (一)正向型
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是指已知二次函数和定义域区间,求其最值.对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类 问题的关键.此类问题包括以下四种情形: (1)轴定,区间定; (2)轴定,区间动; (3)轴动,区间定; (4) 轴动,区间动. 1.轴定区间定
2 例 1.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 ta n ? x ? 1, x ? [ ? 1, 3 ] , ,当 ? ? ?

?
6

时,求函数 f(x)的最大值与最小值.

解析: ? ? ?

?
6

时, f ( x ) ? ( x ?
f ( x ) m in ? ? 4 3

3 3

) ?
2

4 3

所以 x

?

3 3

时,

; x ? ? 1 时, f ( x ) m a x ?

2 3

3



2.轴定区间动 例 2.求函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? t , t ? 1 ? 上的最小值.
2

解析:对称轴 x ? 2 (1)当 2 ? t 即 t ? 2 时, y m in ? f ? t ? ? t ? 4 t ? 3 ;
2

(2)当 t ? 2 ? t ? 1 即 1 ? t ? 2 时, y m in ? f ? 2 ? ? ? 1 ; (3)当 2 ? t ? 1 即 t ? 1 时, y m in ? f ? t ? 1 ? ? t ? 2 t
2

3.轴动区间定 例 3.求函数 y ? ? x ( x ? a ) 在 x ? [ ? 1 , 1 ] 上的最大值.
a 2 a
2

解析: 函数 y ? ? ( x ?

)

2

?

图象的对称轴方程为 x ?

a 2

, 应分 ? 1 ?

a 2

?1,

a 2

? ?1 ,

a 2

? 1 即? 2 ? a ? 2 ,

4

a ? ? 2 和 a ? 2 这三种情形讨论,下列三图分别为

(1) a ? ? 2 ;由图可知 f ( x ) m a x ? f ( ? 1) (2) ? 2 ? a ? 2 ;由图可知 f ( x ) m a x ? f ( )
2 a

(3) a ? 2 时;由图可知 f ( x ) m a x ? f (1)

4

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? y 最大

? f ( ? 1) , a ? ? 2 ? a ? ? ? f ( ) , ? 2 ? a ? 2 2 ? f (1 ) , a ? 2 ? ?

;即 y 最大

? ? ( a ? 1) , a ? ? 2 ? 2 ?a ? ? , ? 2 ? a ? 2 4 ? ?a ? 1 , a ? 2 ?

4.轴动区间动
2 2 例 4.已知 y ? 4 a ( x ? a ) ( a ? 0 ) , ,求 u ? ( x ? 3 ) ? y 的最小值. 2

解析:将 y ? 4 a ( x ? a ) 代入 u 中,得
2

① ② 所以

,即 ,即

时, 时,

(二) 、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中的参数值. 例 5.已知函数 f ( x ) ? a x ? 2 a x ? 1 在区间 [ ? 3, 2 ] 上的最大值为 4,求实数 a 的值.
2

解析: f ( x ) ? a ( x ? 1) ? 1 ? a , x ? [ ? 3, 2 ]
2

(1)若 a ? 0 , f ( x ) ? 1, ,不合题意. (2)若 a ? 0 , 则 f ( x ) m a x ? f ( 2 ) ? 8 a ? 1 由 8 a ? 1 ? 4 ,得 a ?
3 8



(3)若 a ? 0 时,则 f ( x ) m a x ? f ( ? 1) ? 1 ? a 由 1 ? a ? 4 ,得 a ? ? 3 .

综上知 a

?

3 8

或a

? ?3 .
2

例 6.已知函数 f ( x ) ? ?

x

? x 在区间 [ m , n ] 上的值域是 [3 m , 3 n ] ,求 m,n 的值.

2

解析:方法一:讨论对称轴 ①若 解得 ②若
m ? n 2

中 1 与m,

m ? n 2

, n 的位置关系.

,则 ?

? f ( x ) m ax ? f ( n ) ? 3 n ? f ( x ) m in ? f ( m ) ? 3 m

? f ( x ) m a x ? f (1) ? 3 n ? 1 ? n ,则 ? ,无解 ? f ( x ) m in ? f ( m ) ? 3 m
m ? n 2

③若 m ? 1 ?

,则 ?

? f ( x ) m a x ? f (1) ? 3 n ? f ( x ) m in ? f ( n ) ? 3 m

,无解

④若

,则 ?

? f ( x ) m ax ? f ( m ) ? 3 n ? f ( x ) m in ? f ( n ) ? 3 m

,无解
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综上, m ? ? 4 , n ? 0 方法二:由 f ( x ) ? ? 所以 ?
1 2 ( x ? 1) ?
2

1 2

,知 3 n ?

1 2

,n ?

1 6

, ,则 [ m , n ] ? ( ? ? ,1] ,f(x)在 [ m , n ] 上递增.

? f ( x ) m ax ? f ( n ) ? 3 n ? f ( x ) m in ? f ( m ) ? 3 m

解得 m ? ? 4 , n ? 0 评注:方法二利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了 m,n 的取值范围,避开了繁难的分类讨 论,解题过程简洁、明了. 例 7.已知函数 y ? ? s in 2 x ? a s in x ?
a 4 a 2 ? 1 2 1 4 1 4
2
2

的最大值为 2 ,求 a 的值 .

解析:令 t ? s in x ,问题就转二次函数的区间最值问题. 令 t ? s in x , t ? [ ? 1,1] ,∴ y ? ? ( t ? ①当 ? 1 ? ②当
a 2
a 2 ) ?
2

( a ? a ? 2 ) ,对称轴为 t ?
2

a 2



? 1 ,即 ? 2 ? a ? 2 时, y m a x ?

. ( a ? a ? 2 ) ? 2 ,得 a ? ? 2 或 a ? 3 (舍去)
1 4 ( a ? a ? 2 ) 在 [ ? 1,1] 单调递增,
2

? 1 ,即 a ? 2 时,函数 y ? ? ( t ?
1 4 a ? 1 2 ? 2 ,得 a ?

a 2

) ?

由 y m ax ? ? 1 ? a ? ③ 当
a 2

10 3


y ? ? (t ? a 2 ) ?
2

? ? 1 , 即 a ? ?2 时 , 函 数

1 4

(a ? a ? 2)
2

在 [ ? 1,1] 单 调 递 减 , 由

y m ax ? ? 1 ? a ?

1 4

a ?

1 2

. ? 2 ,得 a ? ? 2 (舍去)
? ?2

综上可得: a 的值为 a
B.根的分布

或a

?

10 3



例 8.(1)方程 x ? 2 a x ? 4 ? 0 的两根均大于 1 ,求实数 a 的范围.
2

(2)方程 x ? 2 a x ? 4 ? 0 的两根一者大于 1 ,一者小于 1 求实数 a 的范围.
2

(3)方程 x ? 2 a x ? 4 ? 0 的两根一者在 ( 0 ,1) 内,一者在(6,8)内,求实数 a 的范围.
2

解析:令 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 4
2

?? ? 0 ? ?a (1)由 ? ? 1 或 ?2 ? f (1) ? 0 ?

?? ? 0 5 ? ; ? ( x 1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? 0 得: 2 ? a ? 2 ? ? ( x 1 ? 1) ( x 2 ? 1) ? 0

(2)由 f (1) ? 0 或 ?

?? ? 0 ? ( x 1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0

得: a ?

5 2



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? ? ? (3)由 ? ? ? ?

f (0 ) ? 0 f (1) ? 0 f (6 ) ? 0 f (8 ) ? 0
x x

得:

10 3

? a ?

17 4



例 9.关于 x 的方程 9 ? ( a ? 4 ) ? 3 ? 4 ? 0 有实根,求实数 a 的取值范围. 解析:令 3 ? t ( t ? 0 ) ,
x

原方程有实根等价于方程 t ? ( a ? 4 ) t ? 4 ? 0 有正根.
2

令 f ( t ) ? t ? ( a ? 4 ) t ? 4 ,则 f ( t ) 恒过 ( 0 , 4 ) 点.
2

?? ? 0 ? 方法一: ? a ? 4 得: a ? ? 8 ? 0 ?? ? 2

方法二:要使方程 t ? ( a ? 4 ) t ? 4 ? 0 有正根,则方程 t ? ( a ? 4 ) t ? 4 ? 0 的较大根大于 0 即可;
2 2

?? ? 0 ? 故由 ? ? ( a ? 4 ) ? ? ?

(a ? 4) ? 16
2

得: a ? ? 8
? 0

2
2

例 10.关于 x 的方程 a x ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负根,求实数 a 的取值范围. 解析:令 f ( x ) ? a x ? 2 x ? 1 , f ( x ) 恒过 ( 0 ,1) 点
2

方法一: ① a ? 0 时, 2 x ? 1 ? 0 ? x ? ?
1 2 ? 0 成立.

?? ? 0 ? ② a ? 0 时, ? 1 得: 0 ? a ? 1 ; ? 0 ?? ? a

③ a ? 0 时,恒成立; 综上可知: a ? 1 . 方法二: ① a ? 0 时, 2 x ? 1 ? 0 ? x ? ?
2

1 2

? 0 成立.
2

② a ? 0 时,要使方程 a x ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负根等价于方程 a x ? 2 x ? 1 ? 0 的较小根小于 0 即可.故
? ?a ? 0 ? ? ?? ? 0 ? ? ?2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 2a ? ? ?a ? 0 ? ? 或?? ? 0 ? ? ?2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 2a ?

得a ? 1 ;

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综上可知: a ? 1 . 例 11.已知函数 f ( x ) ? x ? ( 2 a ? 1) x ? a ? 2 与非负轴至少有一个交点,求实数 a 的取值范围.
2 2

解析:方法一: ①方程 f ( x ) ? 0 有一个实根是 0 ,则 f ( 0 ) ? 0 得: a ? ? 2 ;
?? ? 0 ? ? 2a ? 1 ②方程 f ( x ) ? 0 有两个正根,则 ? ? 0 得: 2 ? ? f (0 ) ? 0 ?

2 ? a ?

9 4



③方程 f ( x ) ? 0 有一个正根一个负根,则 f ( 0 ) ? 0 得: ? 2 ? a ? 综上可知: ? 2 ? a ? 方法二: 考虑命题的对立面:方程 f ( x ) ? 0 没有实根或两个负根; ①方程 f ( x ) ? 0 没有实根,则 ? ? 0 得: a ?
9 4
?? ? 0 ? ? 2a ? 1 ②方程 f ( x ) ? 0 有两个负根,则 ? ? 0 得a ? ? ? 2 ? f (0 ) ? 0 ?

2 ;

9 4





2 ;

故a ? ? 2 或a ?

9 4


2

因此函数 f ( x ) ? x ? ( 2 a ? 1) x ? a ? 2 与非负轴至少有一个交点实数 a 的取值范围是: ? 2 ? a ?
2

9 4



例 12.关于 x 的方程 x ? m x ? 1 ? 0 只有较小的根在 ( ? 1,1) 内,求实数 m 的取值范围.
2

2 解析:① f (1) ? 0 时, m ? 2 ,此时方程为 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,两根 x 1 ? x 2 ? 1 ,不成立;

②由 ?

? f ( ? 1) ? 0 ? f (1) ? 0

得m ? 2 ;

综上可知: m ? 2 . 例 13. 关于 x 的方程 x ? ( m ? 1) x ? 1 ? 0 在区间 [ 0 , 2 ] 上有实根,求实数 m 的取值范围.
2

解析:令 f ( x ) ? x ? ( m ? 1) x ? 1 ,
2

①端点: f ( 0 ) ? 1 ? 0 ; f ( 2 ) ? 0 得: m ? ? ②在开区间 ( 0 , 2 ) 上

3 2



(i)在 ( 0 , 2 ) 上仅有一个实根,则 f ( 0 ) ? f ( 2 ) ? 0 得: m ? ?
8

3 2


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?? ? 0 ? (ii)在 ( 0 , 2 ) 上有两个相等的实根,则 ? 得: m ? ? 1 ; 1? m ? 2 ?0 ? ? 2

?? ? ?0 ? (iii)在 ( 0 , 2 ) 上有两个不等的实根,则 ? ? f ? ? f ?

? 0 ? 1? m 2 (0 ) ? 0 (2) ? 0 ? 2

得: ?

3 2

? m ?1;

综上可知: m ? ? 1 .

C.恒成立问题 此类问题往往可以转化为求函数最值的问题或用参数分离的方法. 例 14.已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? 3 ,
2

(1)当 x ? R 时, f ( x ) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? [ ? 2 , 2 ] 时, f ( x ) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解析: (1)当 x ? R 时, f ( x ) ? a 恒成立,即 x ? a x ? 3 ? a ? 0 在 R 上恒成立,
2

因此 ? ? 0 得: ? 6 ? a ? 2 . (2) x ? [ ? 2 , 2 ] , f ( x ) ? a 恒成立,即 x ? [ ? 2 , 2 ] , f m in ( x ) ? a . 函数 f ( x ) ? x ? a x ? 3 的对称轴为: x ? ?
2

a 2


7 3

①? ②?

a 2 a 2

? ? 2 即 a ? 4 时, f m in ( x ) ? f ( ? 2 ) ? 7 ? 2 a ? a 得: a ?

故此时无解;

? 2 即 a ? ? 4 时, f m in ( x ) ? f ( 2 ) ? 7 ? 2 a ? a 得: a ? ? 7 故 ? 7 ? a ? ? 4 ;
a 2
a 2 a
2

③?2 ? ?

? 2 即 ? 4 ? a ? 4 时, f m in ( x ) ? f ( ?

) ? ?

? 3 ? a 得: ? 6 ? a ? 2 故 ? 4 ? a ? 2 ;

4

综上可知: ? 7 ? a ? 2 . 例 15.不等式 ( a ? 2 ) x ? 2 ( a ? 2 ) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

解析:① a ? 2 时, ? 4 ? 0 ,恒成立; ② a ? 2 时,满足 ? 综上可知: ? 2 ? a ? 2 . 例 16.当 x ? (1, 2 ) ,不等式 x ? m x ? 4 ? 0 ,求实数 m 的范围.
2

?a ? 2 ? 0 ?? ? 0

得: ? 2 ? a ? 2 ;

解析:方法一:令 f ( x ) ? x ? m x ? 4
2

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? f (1) ? 0 得: m ? ? 5 . f ( x ) 开口向上故 f ( x ) 在 [1, 2 ] 上的最大值为 f (1) 或 f ( 2 ) ,故 ? ? f (2) ? 0

方法二:参数分离法
x ? (1, 2 ) 时, x ? m x ? 4 ? 0 等价于 m ? ? ( x ?
2

4 x

, ) ( x ? (1, 2 ) )

?5 ? ?(x ?

4 x

( ) ? ? 4 , x ? (1, 2 ) ),

故 m ? ?5 . 例 16.对满足 p ? 2 的所有实数 p ,求使不等式 x ? p x ? 1 ? 2 x ? p 恒成立的 x 取值范围.
2

解析:由题意知,不等 ( x ? 1) p ? x ? 2 x ? 1 ? 0 对 p ? [ ? 2 , 2 ] 恒成立,
2

令 f ( p ) ? ( x ? 1) p ? x ? 2 x ? 1 , (看 p 作是的函数)
2

由?

? f (?2) ? 0 ? f (2) ? 0

得: x ? ? 1 或 x ? 3 .

四、课堂小结

教学反思 课后作业: 学生对于本次课评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 教师评定: 1、上次作业评价: ○非常好 ○好 2、上课情况评价: ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 需要优化 ○ 需要优化

学生签字:

教师签字:

教务主任签字: ___________

龙文教育教务处

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