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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第五节 对数函数习题 理


第五节 对数函数
[基础达标]  一、选择题(每小题5分,共35分) 1.(2015·泸州一诊)2lg 2-lg

的值为 (  ) A.1 B.2 C.3 D.4 1.B 【解析】2lg 2-lg

=lg

=lg 100=2. 2.函数f(x)=log2(x2-3x)的定义域为 (  ) A.(0,3) B.[0,3] C.(-∞,0)∪(3,+∞) D.(-∞,0]∪[3,+∞) 2.C 【解析】由已知可得x2-3x>0,即x(x-3)>0,解得x>3或x<0. 3.(2015·桂林十八中月考)函数f(x)=ln

的图象是

(  )

3.B 【解析】函数的定义域为-1<x<0或x>1,可排除选项A,D;又函 数f(x)在其单调区间内都是增函数,排除C,即只有选项B正确.

4.方程log2x+x+1=0的解的个数为 (  ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.B 【解析】log2x+x+1=0可化为log2x=-x-1,函数y=log2x单调递 增,y=-x-1单调递减,数形结合易知只有一个交点,故方程log2x+x+1=0的 解的个数为1. 5.(2016·浙江绍兴一中模拟)已知f(x)=

则f(3)= (  ) A.3 B.4 C.log215 D.log212 5.B 【解析】当x=3时,f(3)=f(3-2)=f(1),又当x=1时,f(1)=f(12)=f(-1),而当x=-1时,f(-1)=log216=log224=4,所以f(3)=4. 6.若点(a,b)在函数y=lg x的图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的 是 (  ) A.

B.(10a,1-b) C. D.(a2,2b) 6.D 【解析】当x=a2时,y=lg a2=2lg a=2b,所以点(a2,2b)在函数y=lg x的图象上. 7.(2016·云南玉溪一中月考)已知a>b>0,且ab=1,若0<c<1,p=logc ,q=logc ,则p,q的大小关系是 (  )

A.p>q B.p<q C.p=q D.p≥q 7.B 【解析】本题可利用特殊值法,由a>b>0,且ab=1,可取a=4,b=

,从而

,所以

,又0<c<1,函数y=logcx单调递减,故logc <logc ,即p<q. 二、填空题(每小题5分,共15分) 8.(2015·苏州期末考试)已知函数f(x)=lg

的定义域是

,则实数a的值为    . 8.

 【解析】由已知可得1>0,解得a<2x.又因为x∈

,故a=

. 9.若函数f(x)=loga(2x+1)(a>0,且a≠1)在区间

-

,+∞

上恒有f(x)>0,则f(x)的单调减区间是    . 9.

 【解析】当x∈

,即0<2x+1<1时,恒有f(x)>0,则0<a<1.令2x+1>0,得x>-

,得f(x)的单调减区间为

. 10.(2015·南通调研)设x,y,z均为大于1的实数,且z为x和y的等比中项, 则

的最小值为    . 10.

 【解析】因为x,y,z均为大于1的实数,所以lg x>0,lg y>0,lg z>0,又 由z为x和y的等比中项,可得z2=xy,则

=lg z·

lg xy·

. [高考冲关]  1.(5分)(2015·泉州五校联考)函数y=loga(|x|+1)(a>1)的大致图象 是 (  )

1.B 【解析】易知函数y=loga(|x|+1)(a>1)为偶函数,且在(0,+∞)递 增的幅度较缓,同时满足当x=0时y=0,由此判断正确选项为B. 2.(5分)(2015·北大附中月考)已知函数f(x)与函数g(x)的图象关于直 线y=x对称,且f(x)=

,则f(2)+g(2)=

(  )

A.2 B.3 C.4 D.5 2.D 【解析】因为f(x)= =2x,又f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,所以g(x)=log2x, 故f(2)+g(2)=22+log22=5. 3.(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x)+f(2-x)=0;②f(x)f(-2-x)=0;③在[-1,1]上表达式为f(x)=

则函数f(x)与函数g(x)=

的图象在区间[-3,3]上的交点个数为(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.B 【解析】根据①可知f(x)图象的对称中心为(1,0),根据②可知 f(x)图象的对称轴为x=-1,结合③画出f(x)和g(x)的部分图象,如图所 示,据此可知f(x)与g(x)的图象在[-3,3]上有6个交点.

4.(5分)(2015·成都一诊)已知定义在R上的奇函数f(x),当x≥0 时,f(x)=log3(x+1).若关于x的不等式f[x2+a(a+2)]≤f(2ax+2x)的解集

为A,函数f(x)在[-8,8]上的值域为B,若“x∈A”是“x∈B”的充分不必 要条件,则实数a的取值范围是    . 4.[-2,0] 【解析】∵x≥0时,奇函数f(x)=log3(x+1),∴函数f(x)在R 上为增函数,∵f[x2+a(a+2)]≤f(2ax+2x),∴x2+a(a+2)≤2ax+2x,即x2x+a(a+2)≤0,∴a≤x≤a+2,A={x|a≤x≤a+2}.又∵f(8)=log3(8+1)= 2,∴B={x|-2≤x≤2}.∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条 件,∴A?B,即

∴-2≤a≤0. 5.(10分)已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域; (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围. 5.【解析】(1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x), 则

解得-1<x<1, 故所求定义域为{x|-1<x<1}. (2)f(x)为奇函数.证明如下: 由(1)知f(x)的定义域为{x|-1<x<1}, 且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x), 故f(x)为奇函数. (3)由f(x)>0,得loga(x+1)-loga(1-x)>0,即loga(x+1)>loga(1-x). 又a>1, 则

解得0<x<1. 故使f(x)>0的x的取值范围是{x|0<x<1}.


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