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【教师原创整理】江苏省南通市2015届高三数学总复习优秀资源课件:第19讲 几何概型与互斥事件


第19讲

几何概型与互斥事件

江苏省启东市汇龙中学

主要内容
一、聚焦重点 互斥事件和几何概型的概率计算. 二、廓清疑点 对几何概型测度的认识. 三、破解难点 综合性概率问题的求解.

聚焦重点:互斥事件和几何概型的概率计算.

基础知识
互斥事件及有关概念
(1)互斥事件:不能同时发生的两个事件; (2)对立事件: 两个互斥事件必有一个发生, 事件 A 的 对立事件记作 A.

概率加法公式
(1)如果事件 A 与 B 互斥,那么事件 A+B 发生的 概率为 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ; (2)如果把事件 A 的对立事件记为 A,则有

P ( A ? A) ? P ( A) ? P ( A) ? 1.

基础知识
几何概型的概念 对于一个随机试验,如果我们将每个基本事件理解

为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域 中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的 发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点,这里的区域可以是线段、平面图形、立体 图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型. 几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)无限;
(2)每个基本事件出现的可能性相等.

问题研究
(1)怎样利用概率加法公式求互斥事件的概率? (2)怎样正确地求解几何概型的概率?

经典例题1
例 1 班级联欢时,主持人拟出了如下一些节目:双 人舞、独舞、朗诵等.指定 3 个男生和 2 个女生来 参与,把 5 个人分别编号为 1,2,3,4,5,其中 1, 2,3 号是男生,4,5 号是女生,将每个人的号分别 写在 5 张相同的卡片上,并放入一个箱子中充分混 合,每次从中随机地取出一张卡片,取出谁的编号 谁就表演节目.现为了取出 2 人来表演双人舞,连 续不放回地取出 2 张卡片,求取出的 2 人不全是男 生的概率.

思路分析
思路 1:列举出连续不放回地抽取 2 张卡片的所有可 能结果,计算 2 人中恰有一位女生,2 人都是女生 的概率,然后由互斥事件的概率加法公式计算.
正向列举

思路 2:利用对立事件的概率公式解题.先计算取出 的 2 人都是男生的概率.
逆向转化

思路 3:不考虑抽取的顺序,只看抽取的结果.所以 试验的所有可能结果数为 10,而取出的全是男生 的结果有 3 种,然后利用对立事件的概率公式计 算.
前后在同一 角度思考

规范解题
解析 1:连续不放回地抽取 2 张卡片的所有可能结果为:
?2 ?1 ?1 ?1 ?1 ?3 ?3 ?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? 1? ? 2?? 3?? 4?? 5?? ?4 ?4 ?4 ?3 ?3 ? ? ? ? ? ?5 ?5 ?5 ?5 ?4 由上可以得出所有试验的可能结果数为 20,并且每种结

果的可能性相同.其中取出的 2 人中恰有一位女生的概率
12 2 P ( A1 ) ? ,取出的 2 人都是女生的概率 P ( A2 ) ? ,这 20 20

两个事件互斥,所以取出的两人不全是男生的概率为
12 2 P ( A) ? ? ? 0.7 . 20 20

规范解题
解法 2:用 A 表示事件“连续不放回地抽取 2 张卡 片,取出的 2 人全是男生” ,则 A就表示“连续不 放回地抽取 2 张卡片,取出的 2 人不全是男生” ,
6 ? 0.7 . 所以 P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? 20

正难则反, 转化思想

规范解题
解法 3:如果不考虑抽取的顺序,只看抽取的结果. 那么所有的结果可列举如下:? 1,2 ? , ? 1,3 ? , ? 1,4 ? ,

? 1,5 ? ,? 2,3 ? , ? 2,4 ? , ? 2,5 ? , ? 3,4 ? ,? 3,5 ? , ? 4,5 ? .
所以试验的所有可能结果数为 10,而取出的 2 人 全是男生的结果有 3 种,所以 “连续不放回地抽取 2 张卡片,取出的 2 人不全是男生”的概率
6 P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? ? 0.7 . 20

回顾反思
(1)思想方法:对立事件一定是互斥事件,但 互 斥事件不一定是对立事件. (2)基本策略:从集合的观点来看,表示互斥事

件与对立事件的交集都是空集,但两个对立 事件的并集是全集,而两个互斥事件的并集 不一定是全集.
(3)知能提升:求复杂事件的概率通常有两种方 法:一是将所求事件转化彼此互斥事件的

并;二是先求对立事件的概率,进而再求所
求事件的概率.

经典例题2
例 2 已知关于 x 的方程 ax 2 ? ax ? a ? 3 ? 0 (1) 若方程有两实根, 求实数 a 的取值范围; (2)在(1)的前提下,任取一实数 a ,方 程有两正实根的概率是多少?

思路分析
思路 1:本题(2)是讨论区间的问题.出现忽 视前提条件,找不准测度致误 .或将模型误看 成古典概型,无法枚举,思维受阻.
模型的特 征要理清

思路 2:本题(2)是讨论区间的问题,这里相 当于几何中的长度问题.由此可借助几何概型 求解,本题的测度就是长度.
测度的确 定是关键

规范解题
解析: (1)方程有两实根的条件是

a ? 0且? ? (?a )2 ? 4a(a ? 3) ≥ 0,即 0 ? a ≤ 4.
(2)方程有两正根的条件是 a 2 ? 4a(a ? 3) ≥ 0,
a?3 ? 0 ,解之可得 3 ? a ? 4, 且 a

注意两正根 的充要条件 设数轴上与 0,3,4 对应的点分别是 A,B,C,
故可以认为方程有两实根的几何区域是线段 AC, “方程有两正实根”的几何区域为线段 BC,故所
1 求的概率为 . 4

区间端点不 影响概率

回顾反思
(1)基本方法 一般地,在几何区域 D 中随机地取一点,记事件
“该点落在其内部一个区域 d 内”为事件 A,则事件

d的测度 A 发生的概率为 P ( A) ? . D的测度 (2)思维误区
①如果一个随机事件所在区域是一些孤点,则它出 现的概率为 0; ②如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一些 孤点,则它出现的概率为 1.

廓清疑点:对几何概型测度的认识

问题研究
如何正确确定几何概型中的测度?

经典例题3
例 3 已知半圆 O 的直径 AB 为 2R, (1)在半圆弧上随机地取一点 M,过 M 作平行于 AB 的弦 MN,求使|MN|<R 的概率; (2) 在半圆内随机地取一点 S,过 S 作平行于 AB 的弦 MN, 求使|MN|<R 的概率; (3) 在垂直于半圆直径 AB 的半径 OC 上任取点 S, 过 S 作平行于 AB 的弦 MN,求使|MN|<R 的 概率.

思路分析
例 3 已知半圆 O 的直径 AB 为 2R, (1)在半圆弧上随机地取一点 M,过 M 作平行于 AB 的弦 MN,求使|MN|<R 的概率;
思路 1: 本题的关键在于寻找与 R 相等的弦.在半圆 弧 AB 上取三等分点 P、Q,则|PQ|=R, 当 M 在弧 PQ 上时|MN|<|PQ|=R. 题中点 M 落在弧上的每一点都是等 可能的,是几何概型,本题中的测 度为弧长.
A O B P Q

规范解题
解析 1:记“|MN|<R”为事件 A,在半圆弧 AB 上取三等分点 P、Q,则|PQ|=R,取弧 PQ 上 一点 M, 过 M 作平行 AB 的弦 MN,则
1 |MN|<R,而弧 PQ 的弧长是半圆弧 AB 的 . 3

所以由几何概型的计算公式,得 P 弧PQ的长 1 P ( A) ? ? . 弧AB的长 3

Q

测度为弧长

A

O

B

思路分析
例 3 已知半圆 O 的直径 AB 为 2R, (2) 在半圆内随机地取一点 S,过 S 作平行于 AB 的弦 MN, 求使|MN|<R 的概率;

思路 2: 本题的关键是寻找点 S 的位置.在半圆弧 AB 上取三等分点 P、Q,则|PQ|=R,满足条件的 点在弓形内(阴影部分)而点 S 落在半圆 O 内的 每一点都是等可能的,所以这是几何概型,本题 的测度应为面积.
P Q

形同质异

A

O

B

规范解题
解析 2:在半圆弧 AB 上取三等分点 P、Q,当 S 取在 弓形 PQ 内,即在如图所示的阴影部分时所作的弦 MN 的长小于 R.故由几何概型的概率计算公式得:
弓形PQ的面积 P ( A) ? 半圆O的面积
1 2 3 2 πR ? R 1 3 6 4 ? ? ? 1 2 3 2π πR 2
2π ? 3 3 . ? 6π
P Q

A

O

B

测度为面积

思路分析
例 3 已知半圆 O 的直径 AB 为 2R, (3) 在垂直于半圆直径 AB 的半径 OC 上任取点 S, 过 S 作平行于 AB 的弦 MN,求使|MN|<R 的概率.

思路 3:本题中 S 落在线段 OC(不包括端点)上 并且每一点都是等可能出现的,符合 几何概型的显著特征,但本 题的测度是线段的长度.
P T C Q

测度的确 定很重要

A

O

B

规范解题
解析 3: 在半圆弧 AB 上取三等分点 P、 Q, 连接 PQ, 记 PQ 与 OC 交于点 T, 则 S 取在线段 CT 上时所作

3 的 弦 MN 的 长 小 于 半 径 R , 易 求 |OT|= R, 2 3 |CT|=(1 ? ) R .故由几何概型的概率计算公式得: 2 C 3 Q ( 1 ? ) R P | CT | 3 2 T P ( A) ? ? ? 1? . | OC | R 2

测度为长度

A

O

B

回顾反思
(1)思想方法:几何概型的测度可以为长度、面 积、体积、角度等几何量. (2)基本策略:复杂的实际问题,解题的关键是 先建立模型,找出随机事件与所有基本事件 相对应的几何区域,然后利用几何概型的概 率公式求解. (3)知能提升:①几何概型的研究对象是无限的,

而古典概型的研究对象是有限的;②古典概型
1 中每一个基本事件的概率都是 ,而几何概型中 n

每一个基本事件的概率均为 0.

破解难点:综合性概率问题的求解.

问题研究 如何进行综合性概率问题的求解?

经典例题4
例 4 已知一元二次方程 Ax 2 ? Bx ? C ? 0 . (1)若 A ? 1, B, C 是一枚骰子先后抛掷两次出现的 点数,求方程有实根的概率; (2)若 B ? ? A, C ? A ? 3,且方程有实数根,求方 程至少有一个非正实数根的概率.

形同质 异

思路分析
例 4 已知一元二次方程 Ax 2 ? Bx ? C ? 0 , (1) 若 A ? 1, B, C 是一枚骰子先后抛掷两次出现 的点数,求方程有实根的概率.

思路 1: 本题所求的等可能事件总数有限,所以应是 古典概型.可用列举法进行求解.
古典概型

规范解题
解析 1: 本题所求的等可能事件总数有限, 所以应 是古典概型.因为 A ? 1且方程有实数根,所以
? ? B 2 ? 4C ≥ 0 ,所以 B ≥ 2 C .

C ? 1时, B ? 2,3,4,5,6; C ? 3时, B ? 4,5,6; C ? 5 时, B ? 5,6;

C ? 2时, B ? 3,4,5,6; C ? 4 时, B ? 4,5,6; 分类讨 C ? 6 时, B ? 5,6; 论注意
不重不 漏

共计 19 个基本事件.
19 的概率为 . 36

而总的基本事件有 6 ? 6 ? 36 个,所以方程有实根

思路分析
例4 已知一元二次方程 Ax 2 ? Bx ? C ? 0 . (2)若 B ? ? A, C ? A ? 3,且方程有实数根,求 方程至少有一个非正实数根的概率.

思路 2:本题所求的等可能事件总数无限, 所以应 是几何概型 . 本题的测度为长度 . 本题中出现了 “至少”一词,故用对立事件来求解比较方便.

几何概 型

规范解题
解析 2:本题所求的等可能事件总数无限,所以应 是几何概型.因为方程有实数根,则满足

A2 ? 4 A( A ? 3) ≥ 0, A ? 0,即 0 ? A ≤ 4 ,若方程只有
C A? 3 B 正实数根, 则 ? ? 0且 ? ? 1 ? 0且 0 ? A ≤ 4 , A A A

1 即 3 ? A ≤ 4 . 故方程只有正实数根的概率为 ,于 4 1 3 是,方程至少有一个非正实数根的概率为1 ? ? . 4 4

正难则 反

回顾反思
(1)思想方法:转化与化归的思想,正难则反,

转化为对立事件的求解.
(2)思维误区:概率模型的误读,古典概型和几何

概型具有明显不同的特征,注意区分. (3)知能提升: 求复杂事件的概率通常有两种方法:
一是将事件转化成彼此互斥的事件的和; 二是先求对立事件的概率,再求所求事件的概率 .

总结提炼
知识与内容

一、聚焦重点:互斥事件和几何概型的概率计算. 二、廓清疑点:对几何概型测度的认识.
三、破解难点:综合性概率问题的求解.

总结提炼
思想与方法 (1)运用定义解题. (2)化归转化思想. (3)分类讨论思想. (4)数形结合思想. (5)利用公式计算时要注意公式成立的条件.





同步练习 1 .设 f ( x ) ? x 2 ? x ? 2, x ? ? ?5,5? ,则对于任意的 x0 ? ? ?5,5?,使 f ( x0 ) ≤ 0 的概率为 .
2.如图,在边长为 25cm 的正方形中挖去腰长为 23cm 的两个等腰直角三角形,现有均匀的粒子 散落在正方形中, 问粒子落在中间带形区域的概 率是多少?

同步练习
3.甲乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出 1到5 根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (1)若以A表示和为6的事件,求P(A); ( 2) 现连玩三次, 若以B表示甲至少赢一次的事 件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与 C是否为互斥事件?为什么? (3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

3 1. 10

参考答案

2. 解析:因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是 等可能的,所以符合几何概型的条件. 设 A=“粒子落在中间带形区域”,则依题意,得 正方形面积为 25× 25 = 625,两个等腰直角三角形
1 的面积为 2× × 23× 23 = 529. 带形区域的面积为 2 96 625-529=96,∴ P(A)= . 625

参考答案
3. (1)基本事件总数为 n=25 ,事件A包含的基本事件数
5 1 共5个,所以 P ( A) ? ? ; 25 5

(2) B与C不是互斥事件. 因为事件B与C可以同时发生, 如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意; (3)这种游戏规则不公平.由 (1)知和为偶数的基本 事件数为13个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2), (2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (5,1), (5,3),(5,5).
13 12 所以甲赢的概率为 ,乙赢的概率为 ,所以这 25 25

种游戏规则不公平.


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