伤城文章网 > 数学 > 高中数学

高中数学


3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示 (张静)

教学目标
? 1.掌握空间向量基本定理; ? 2.能用空间向量基本定理解决一些简单问 题.

复习:
共线向量定理:
??? ? ? 对空间任意两个向量a、 b ? 0),// b的 ( b a ? ? 充要条件是存在实数?,使a=? b。

共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线,则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x,y,使 p=x a+yb。

平面向量基本定理:
如果e1,2是同一平面内的两个不共线向量, e 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。 (e1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。) e

平面向量的正交分解及坐标表示

? ? ? a ? xi?? y j ?

y

? a
x

? ? i ? (1, 0), j ? (0,1), 0 ? (0, 0). i

? o j

?? 我们知道,平面内的任意一个向量 p 都可以 ? ? 用两个不共线的向量 a, b 来表示(平面向量基本定 理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?

问题:

??? ???? ? ? ? ? ? OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk . ?? ? 由此可知,如果 i, j , k 是空间两
两垂直的向量,那么,对空间任一 ?? 向量 p ,存在一个有序实数组 ? ? ? ? ? {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk .

? ? ??? ???? ? ???? ? OP ? OQ ? zk . OQ ? xi ? y j.

z

? ? ? 我们称 xi, y j , zk ?? ?

?? 为向量 p 在

? k ? ? j i O
x

?? p

P

y Q

i, j , k 上的分向量。

? ? ? 探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量 a, b, c ?? ? 代替两两垂直的向量 i, j , k ,你能得出类似的
结论吗? 空间向量基本定理:

? ? ? 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一 ??

向量 p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z, ? ? ? ? ? 使 p ? xa ? yb ? zc.

任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

? ? ? a, b, c 都叫做基向量

特别提示:对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面,

? (2) 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任 意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着 ? 它们都不是 0 。
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基 底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念。

还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

推论:设O、A、B、C是不共线的四点,则对空间任一 点P,都存在唯一的有序实数组{x,y,z},使

??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC.

当且仅当x+y+z=1时,P、A、B、C四点共面。

一、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、 z轴,它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 空间直角坐标系O--xyz 点O叫做原点,向量e1,e2,e3都叫做坐标向 量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。

二、空间向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作.P=(x,y,z)
x e3 e1 O e2 y

z

p

在空间直角坐标系O--xyz中,对空间任一点, A,对应一个向量OA,于是存在唯一的有序实数 组x,y,z,使 OA=xe1+ye2+ze3
z

在单位正交基底e1, e2, e3 中与向量OA对应的有序实数 组(x,y,z),叫做点A在此空间 直角坐标系中的坐标,记作 A(x,y,z),其中x叫做点A的横 坐标,y叫做点A的纵坐标,z 叫做点A的竖坐标.
x

A(x,y,z) e3 e1 O e2 y

练习:

e e AB 1、在空间坐标系o-xyz中, ? e1 ? 2e2 ? 3e2 ( e1、2、3 分 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 , AB的坐标为

2、点M(2,-3,-4)在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 投影的坐标分别为 ,关于原点的对称点 为 ,关于轴的对称点为 ,

例题1
已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC, M,N,分别是对边OA,BC的中点,点P,Q 是线段MN三等分点,用基向量 OA,OB, OC表示向量OP,OQ.(请同学们自主完成,代 表板演)
O M A Q P C

N
B

? 例2.边长为1的正方体 中,E是BB1的中点, ???? ? 如图建立空间直角坐标系,求下列向量 DA1 ? ??? ????? ???? ??? ? ? ? DB DC1 DB1 DE 坐标.(自主完成后, 有不明白的地方小组讨论,代表展示。)
z D1 A1 B1 E D A x B C y C1

? 练习: ? 在下三棱柱
| BO |? 2

ABO ? A1 B1O1 中, AOB ? ?

| AA1 |? 4

? 2

| AO |? 4

? D是A1B1的中点,则在如图所示的空间直 ???? ???? 坐标系中,求 DO A1 B 的坐标. z
O1 A1 O A x D


B1

B

y

三、课堂小结 ? 1.空间向量基本定理 ? 2.空间向量的坐标表示 ? 3.选定空间不共面的三个向量作为基向量, 并用它们表示出指定的向量,是用向量解决 立体几何问题的基本要求


搜索更多“高中数学”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com