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含绝对值的不等式的解法


14.8含绝对值的不等式的解法

|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.
|a|

A
; ; ;

0 a x=±2 1、已知|x|=2,解得 2、已知|x|<2,解得 -2<x<2

x<-2 或 x>2 3、已知|x|>2,解得

如果a>0,则 1、|x|=a的解是: 2、|x|<a的解是: x=±a -a<x<a

3、|x|>a的解是: x<-a或x>a 如果a>0,则 1、|kx+b|=a的解是: 2、|kx+b|<a的解是: kx+b=±a -a<kx+b<a

3、|kx+b|>a的解是: kx+b<-a或kx+b>a

这是一个绝对值的不等式.怎样解绝对 值的不等式呢?
?

让我们先看含绝对值的方程:
|x|=2 有绝对值意义可知,方程的解是x=2或x=-2, 在数轴上表示如下:

?

-2

0

2

再看相应的不等式|x|<2与|x|>2. ? 由绝对值的意义,集合数轴表示可知,不等式 |x|<2表示数轴上到原点的距离小于2的点的 集合,在数轴上表示如下:
?

-2
?

0

2

因而不等式| x | <2的解集是 {x |-2<x<2}

?

不等式|x|>2表示数轴上到原点的距离大于2的点的集 合,在数轴上表示如下:

-2
?

0

2

因而不等式|x|>2的解集是 {x |x<-2} ∪ {x |x>2} ={x |x<-2, 或x>2}

结 论
?

不等式|x|<a(a>0)的解集是 {x |-a<x<a}

?

不等式|x|>a(a>0)的解集是
{x |x>a, 或x<-a}

例 题
?

例一、解不等式|x-500|≤5

解:由原不等式可得: -5≤x-500≤5 不等式两边各加上500,得: 495≤x≤505

所以, 原不等式的解集是
{x |495≤x≤505}

例 题
?

例二、解不等式|2x+5|>7 2x+5<-7, 或2x+5>7

解:由原不等式可得: 整理, 得
x<-6, 或x >1 所以, 原不等式的解集是

{x |x<-6, 或x >1}

练 习
?

1.解下列不等式:
(1) |x|<5 (2) |x|>10

解:由原不等式可得: -5<x<5
所以, 原不等式的解集: {x |-5<x<5}

解:由原不等式可得: x<-10或x>10
所以, 原不等式的解集: {x |x<-10或x>10}

练 习
?

(3)2|x|≤8

(4) 5|x|≥7

解:由不等式的性质可知: 解:由不等式的性质可知: |x|≤4 |x|≥7/5 即 -4 ≤ x ≤4 即 x ≤-7/5或x≥7/5 所 所以,原不等式的解集为 以,原不等式的解集为 {x | -4 ≤ x ≤4} {x| x ≤-7/5或x≥7/5}

练 习
?

(5) |3x|<12

(6) |4x|>14
解:由原不等式可得: -12<3x<12 由不等式的性质可知: -4<x<4 所以,原不等式的解集为 {x | -4<x<4} 解:由原不等式可得: 4x<-14或4x>14 由不等式的性质可知: x <-7/2或 x >7/2 所以,原不等式的解集为 {x | x <-7/2或 x >7/2}

练 习
2.解下列不等式: (1)|x +4|>9
?

(2)|1/4+x|≤1/2 解:由原不等式可得: -1/2 ≤1/4+x ≤1/2 由不等式的性质可知: -3/4≤x≤1/4 所以,原不等式的解集为 {x |-3/4≤x≤1/4}

解:由原不等式可得: x+4<-9或x+4>9 整理,得x <-13或x >5 所以,原不等式的解集为 {x |x<-13或x>5}

练 习
?

(3)|2-x| ≥3
2-x ≤-3 或 2-x ≥ 3

?

(4)|x-2/3|<1/3
-1/3<x-2/3<1/3

解:由原不等式可得:

解:由原不等式可得:

由不等式的性质可知: x ≤-1或x ≥5

由不等式的性质可知: 1/3<x<1

所以,原不等式的解集为
{x |x ≤-1或x ≥5}

所以,原不等式的解集为
{x |1/3<x<1}

课时小结
?1.含绝对值的不等式解法关键是去

掉绝对值符号. ?2.注意在解决问题过程中绝对值不 等式的集合意义.

1、设集合M ? {x | x ? x}, N ? {x | x |? 2}, 则( B)
2

A.M ? N ? ? C.M ? N ? M
2

B.M ? N ? M D.M ? N ? R

2、解不等式 2x ? 3 | x | ?35 ? 0

(??,?5) ? (5,??)
3、解不等式| 3x ? 1 | ?2 ? 0 4、解不等式| 3x ? 1 | ?2 ? 0

练 习
?

(5)|5x-4|<6
-6<5x-4<6

?

(6)|x/2+1|≥2
x/2+1≤-2或x/2+1 ≥ -2

解:由原不等式可得:

解:由原不等式可得:

由不等式的性质可知: -2/5<x<2

由不等式的性质可知: x ≤ -6或x ≥2

所以,原不等式的解集为
{x | -2/5<x<2}

所以,原不等式的解集为
{x | x ≤ -6或x ≥2}


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