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2012-2013年高二数学(文)寒假作业


2012-2013 年山东省宁阳二中高二数学(文)寒假作业 1,解三角形练习题
一、选择题: 1. △ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为(
王新敞
奎屯 新疆

)? D 等腰三角形
王新敞
奎屯 新疆

A 直角三角形? B 等腰直角三角形? C 等边三角形
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

2. 在△ABC 中,b= 3 ,c=3,B=300,则 a 等于( A. 3 B.12 3 C. 3 或 2 3 )

) D.2

3. 不解三角形,下列判断中正确的是( A.a=7,b=14,A=300 有两解 C.a=6,b=9,A=450 有两解

B.a=30,b=25,A=1500 有一解 D.a=9,c=10,B=600 无解

4. 已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为 ( A. ? )
1 4

B.

1 4

C. ?

2 3

D.

5. 在△ABC 中, A=60° b=1, , 其面积为 3 , 则 n i s A.3 3 C.
8 3 3

a?b?c 等于( A ?n B ?n C i s i s
2 39 3 39 2

2 3

)

B. D.

6. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB?AC 的值为( A.79 C.5 7.关于 x 的方程 x 2 ? x ? cos A ? cos B ? cos2 是( ) B.直角三角形 C.锐角三角形 B.69 D.-5

)

C ? 0 有一个根为 1,则△ABC 一定 2

A.等腰三角形

D.钝角三角形

8. 设 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是( A.0<m<3 B.1<m<3 C.3<m<4 ) D.45° D.4<m<6

)

9. △ABC 中,若 c= a 2 ? b 2 ? ab ,则角 C 的度数是( A.60° B.120° C.60°或 120°

10. 在△ABC 中,若 b= 2 2 ,a=2,且三角形有解,则 A 的取值范围是( A.0°<A<30° B.0°<A≤45° C.0°<A<90° D.30°<A<60°

)

11. 在 △ ABC 中 , t a n ? s i 2 B ? t a B ? s i 2 A , 那 么 △ ABC 一 定 是 A n n n ( ) B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

A.锐角三角形 C.等腰三角形

12. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度, 则这个新的三角形的形状为 ( ) (A) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 二、填空题 13.在△ABC 中,有等式:①asinA=bsinB;②asinB=bsinA;③acosB=bcosA; ④
a b?c . 其中恒成立的等式序号为______________ ? sin A sin B ? sin C

(B) 直角三角形 (D) 由增加的长度决定

14. 在等腰三角形 ABC 中,已知 sinA∶sinB=1∶2,底边 BC=10,则△ABC 的 周长是 。

15. 在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的 度数等于________. 16. 已 知 △ ABC 的 三边 分 别 是 a 、 b 、 c ,且 面 积 S ? C=____________.
a2 ? b2 ? c2 ,则角 4

三、解答题 17. 已知在△ABC 中,A=450,AB= 6 ,BC=2,求解此三角形.

18. 在△ABC 中,已知 a-b=4,a+c=2b,且最大角为 120°,求△ABC 的三边长.

19. 在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足 2sin(A+B)- 3 =0,求角 C 的度数,边 c 的长度及△ABC 的面积.

20. 在△ABC 中,已知边 c=10, 又知 的半径。

cosA b 4 = = ,求 a、b 及△ABC 的内切圆 cosB a 3

21.在△ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,边 c=

7 ,且 2

tanA+tanB= 3 tanA?tanB- 3 ,又△ABC 的面积为 S△ABC= 值。

3 3 ,求 a+b 的 2

22. 在 △ABC 中,内角 A,B C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , ,
C? ? . 3

⑴.若 △ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; ⑵.若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,证明: △ABC 是直角三角形.

2,数列练习题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知两数的等差中项为 10,等比中项为 8,则以两数为根的一元二次方程 是( ) B.x2-10x+64=0 D.x2-20x+64=0

A.x2+10x+8=0 C.x2+20x+64=0

2.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个) ,经过 3 小时,这种细菌由 1 个可繁殖成( A.511 个 B.512 个
1 2

) C.1023 个 D.1024 个
a3 ? a 4 等于 a 4 ? a5

3.等比数列{an},an>0,q≠1,且 a2、 a3、a1 成等差数列,则 ( A. )
5 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

1? 5 2

D.

5 ?1 2

4. 已知数列 2 、 6 、 10 、 14 、 2 ??那么 7 2 是这个数列的第 3 ( 项( A.23 ) B.24 C.19 D.25



5.等差数列{an}中,S9=-36,S13=-104,等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7, 则 b6 等于( A.4 2 ) B.-4 2 C.±4 2 D.无法确定 )

6.数列{an}前 n 项和是 Sn,如果 Sn=3+2an(n∈N*) ,则这个数列是( A.等比数列 C.除去第一项是等比 B.等差数列 D.除去最后一项为等差

7.设{an}是由正数组成的等比数列,公比 q=2,且 a1?a2?a3???a30=230, 则 a3?a6?a9???a30 等于( A.210 B.220 ) C.26 D.215

8.若 Sn 是{an}前 n 项和且 Sn=n2,则{an}是( A.等比但不是等差 C.等差也是等比

) B.等差但不是等比 D.既非等差也非等比 )

9. b、 成等比数列, f x) 2+bx+c 的图象与 x 轴的交点个数是 a、 c 则 ( =ax ( A.0 B.1 C.2 D.不确定

10.一房地产开发商将他新建的 20 层商品房的房价按下列方法定价,先定一个 基价 a 元/m2,再据楼层的不同上下浮动,一层价格为(a-d)元/m2,二 层价格 a 元/m2,三层价格为(a+d)元/m2,第 i 层(i≥4)价格为[a+d
i- ( ) 3] 元/m2. 其中 a>0, d>0, 则该商品房的各层房价的平均值为 (

2 3



A.a 元/m2 C.a+[1-( )17]d 元/m2 11.已知 an ? A.
9 10
2 3

1 2 [ (1-( )17)d 元/m2 3 10 1 2 D.a+ [1-( )18]d 元/m2 3 10

B.a+

1 ? n ? N * ? ,则 a1 ? a2 ? ? ? a10 的值为( n(n ? 1)



B.

9 11

C.

10 11

D.1 ( D.215 )

12.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2,则 a100 的值为 A.2100-2 B.2101-2 C.2101

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.一条信息,若一人得知后,一小时内将信息传给两人,这两人又在一小时 内各传给未知信息的另外两人.如此下去,要传遍 55 人的班级所需时间大 约为_______小时. 14.已知 an=
9 n (n ? 1) (n∈N*) ,则数列{an}的最大项为_______. n 10

15.一个五边形的五个内角成等差数列,且最小角为 46°,则最大角为 _______. 16.在数列{an}中,已知 a1=1,an=an-1+an-2+?+a2+a1. (n∈N*,n≥2) ,这

个数列的通项公式是_______. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)数列 3、9、?、2187,能否成等差数列或等比数列? 若能.试求出前 7 项和.

18. (本小题满分 12 分)已知三个实数成等比数列,在这三个数中,如果最小 的数除以 2,最大的数减 7,所得三个数依次成等差数列,且它们的积为 103,求等差数列的公差.

19. (本小题满分 12 分)已知 y=f(x)为一次函数,且 f(2) 、f(5) 、f(4) 成等比数列,f(8)=15,求 Sn=f(1)+f(2)+?+f(n)的表达式.

20. (本小题满分 12 分)设 an 是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,且对所 有自然数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项,求数列{an}的通项 公式.

21. (本小题满分 12 分)是否存在互不相等的三个数,使它们同时满足三个条 件①a+b+c=6,②a、b、c 成等差数列,③将 a、b、c 适当排列后,能构成 一个等比数列.

22. (本小题满分 14 分) 已知等比数列 ?a n ?的通项公式为 a n ? 3 n ?1 ,设数列 ?bn ? 满足对任意自然数 n 都有
b1 b2 b3 b + + +┅+ n = 2n +1 恒成立. a1 a 2 a 3 an

①求数列 ?bn ? 的通项公式; ②求 b1 ? b2 ? b3 ? ┅+ b2005 的值.

3,不等式练习题
一、选择题:
1.如果 a ? 0, b ? 0 ,那么,下列不等式中正确的是(
1 1 ?a ? b ? B. a b x ?1 2.不等式 ) ? 0 的解集为( 2? x



A.

C.

a 2 ? b2

D . | a |?| b |

A . {x | ?1 ? x ? 2}
C . {x | x ? ?1 或 x ? 2}

B . {x | ?1 ? x ? 2} D . {x | x ? ?1 或 x ? 2}


3.下面四个不等式中解集为 R 的是(

A . ? x2 ? x ? 1 ? 0
C . x2 ? 6 x ? 10 ? 0

B . x2 ? 2 5x ? 5 ? 0 D . 2 x 2 ? 3x ? 4 ? 0

4.下列函数中,最小值是 2 的是( ) 1 A. y ? x? B . y ? 3x ? 3? x x

C . y ? lg x ?

1 (1 ? x ? 10) lg x

D . y ? sin x ?

1 ? (0 ? x ? ) sin x 2

5.设 x, y ? R ,且 x ? y ? 5 ,则 3x ? 3y 的最小值是(



A. 6 3

B.

18 3

C. 4 6

D.

6 6

6.已知点(3,1)和( ?4 ,6)在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则实数 a 的取值 范围是( ) A . a ? ?7 或 a ? 24 C . ?7 ? a ? 24

B . a ? 7 或 a ? 24 D . ?24 ? a ? 7


?x ? 2 y ? 4 ? 7.在约束条件 ? x ? y ? 1 下,目标函数 z ? 3x ? y ( ? x?2?0 ?

A .有最大值 3,最小值 ?3

B .有最大值 5,最小值 ?3

C .有最大值 5,最小值 ?9

D .有最大值 3,最小值 ?9


8.如果 a ? 0 且 a ? 1 , M ? log a (a3 ? 1), N ? log a (a 2 ? 1) ,则(

A. M ? N

B.

M ?N C. M ?N

D . M , N 的大小与 a 值有关

9.已知不等式 x2 ? 2 x ? k 2 ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ( ) A . (? 2, 2) B . (??, ? 2) ? ( 2, ??) C . ( 2, ??) D . (?2, 2) 10.若 x1 , x2 是方程 x 2 ? ax ? 8 ? 0 的两相异实根,则有( )

A . | x1 |? 2,| x2 |? 2
C . | x1 ? x2 |? 4 2

B . | x1 |? 3,| x2 |? 3
D . | x1 | ? | x2 |? 4 2

二、填空题:
11. 已 知 不 等 式 ax2 ? bx ? 1 ? 0 的 解 集 是 {x | ? 3 ? x
a ?b ?

, } 4 则

.

12.不等式 (3x ? 1)( x ? 3)( x ? 1) ? 0 的解集为 13.正数 a, b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是__________.
? x ? y ? 4, ? 14.已知点 P( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? x, 点 O 为坐标原点,那么 | PO | 的最 ? x ? 1, ?

小值等于____________,最大值等于_____________

三、解答题:
15.已知集合 A ? {x | x 2 ? 4 ? 0}, B ? {x |
2x ? 3 ? 0} ,求 A ? B 和 A ? (CR B) . x ?3

16.解关于 x 的不等式 x 2 ? (m ? m2 ) x ? m3 ? 0 .

17.建造一个容积为 4800 m 3 ,深为 3 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的 造价每平方米分别为 150 元和 120 元,那么怎样设计水池能使总造最低,最低 总造价为多少元?

18.某厂使用两种零件 A, B 装配两种产品 X , Y ,该厂生产能力是月产 X 最多 2500 件,月产 Y 最多 1200 件,而组装一件 X 需要 4 个 A ,2 个 B ,组装一件 Y 需要 6 个 A ,8 个 B .某个月该厂能用 A 最多 14000 个, B 最多 12000 个, 已知产品 X 每件利润 1000 元,产品 Y 每件利润 2000 元,欲使该月利润最高, 需要组装产品 X , Y 各多少件,最高利润是多少? (12 分)

4,简易逻辑练习题
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把 正确答案的代号填在题后的括号内) . 1.函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( A.ab=0 B.a+b=0 ) C.有三个 D.有四个 C.a=b ) D.a2+b2=0

2. “至多有三个”的否定为( A.至少有三个

B.至少有四个

3.有金盒、银盒、铅盒各一个,只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题 p: 肖像在这个盒子里;银盒上写有命题 q:肖像不在这个盒子里;铅盒上写 有命题 r:肖像不在金盒里.p、q、r 中有且只有一个是真命题,则肖像 在( ) B.银盒里 D.在哪个盒子里不能确定

A.金盒里 C.铅盒里

4.不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成立,那么 a 的取值范围是 ( ) B. (?2,2] C. (??,2] ) D. (??,?2)

A. (?2,2)

5. 和 b 都不是偶数”的否定形式是( “a A.a 和 b 至少有一个是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数

B.a 和 b 至多有一个是偶数 D.a 和 b 都是偶数

6.某食品的广告词为: “幸福的人们都拥有” ,初听起来,这似乎只是普通的 赞美说词,然而他的实际效果大哩,原来这句话的等价命题是( A.不拥有的人们不一定幸福 C.拥有的人们不一定幸福 B.不拥有的人们可能幸福 D.不拥有的人们不幸福 ) D.p 假 q 假 )

7.若命题“p 或 q”为真, “非 p”为真,则( A.p 真 q 真 B.p 假 q 真

C.p 真 q 假

8.条件 p: x ? 1 , y ? 1,条件 q: x ? y ? 2 , xy ? 1 ,则条件 p 是条件 q 的 ( ) B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件 )
1 2

A.充分而不必要条件 C.充要条件

9.2x2-5x-3<0 的一个必要不充分条件是( A.- <x<3
1 2

B.- <x<0

1 2

C.-3<x<

D.-1<x<6

10.设原命题:若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1.则原命题与其逆 命题的真假情况是( A.原命题真,逆命题假 C.原命题与逆命题均为真命题 ) B.原命题假,逆命题真 D.原命题与逆命题均为假命题

二、填空题:请把答案填在题中横线上. 11.下列命题中_________为真命题. ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B” ; ②“若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 12.若 p: “平行四边形一定是菱形” ,则“非 p”为___ _____.

13.已知 p,q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件,则 s 是q的 件. 14.设 p、q 是两个命题,若 p 是 q 的充分不必要条件,那么非 p 是非 q 的 条件. 条件,r 是 q 的 条件,p 是 s 的 条

三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假. (1)矩形的对角线相等且互相平分;

(2)正偶数不是质数.

16.写出由下述各命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的复合命题, , , 并指出所构成的这些复合命题的真假. (1)p:连续的三个整数的乘积能被 2 整除,q:连续的三个整数的乘积能 被 3 整除; (2)p:对角线互相垂直的四边形是菱形,q:对角线互相平分的四边形是 菱形;

17.给定两个命题, 对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立; : Q 关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 P: 有实数根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

18.已知 p,q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件,那 么 (1)s 是 q 的什么条件? (2)r 是 q 的什么条件? (3)p 是 q 的什么条件?

19.设 0<a, b, c<1,求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 不同时大于

1 . 4

20.求证:关于 x 的方程 x2+2ax+b=0 有实数根,且两根均小于 2 的充分但不 必要条件是 a≥2 且|b| ≤4..

5,圆锥曲线练习题
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把 正确答案的代号填在题后的括号内) . 1. 过椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点 F(c, a2 b2

0)的弦中最短弦长是 (
2c 2 D. b

)

2b 2 A. a

2a 2 B. b

2c 2 C. a

2. 过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 ? 的直线交椭圆于 A、 两点, FA ? 2 FB , B 若 则椭圆的离心率为( A.
2 3

) B.
2 2

C.

1 2

D.

2 3

3. 过原点的直线 l 与曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 相交,若直线 l 被曲线 C 所截得的线段 3

长不大于 6 ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是 ( A

)
2? 3

?
6

?? ?

5? 6

B

?
6

?? ?

2? 3

C

?
3

?? ?

D.

?
4

?? ?

3? 4

4. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D,且
?BDB1 ? 90 ? ,则椭圆的离心率为

( A

)
3 ?1 2
5 ?1 2

B

5 ?1 2

C

D

3 2

5. P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点, F1 为一个焦点,以 PF1 为直径的圆与圆 a2 b2

x 2 ? y 2 ? a 2 的位置关系为 (

) C. 内切或外切 D. 无公共点或相交.

A. 内切

B.

外切

6. 设 ? ? (0, ( ) A. (0,

?
4

) ,则二次曲线 x 2

cos? ? y 2 tan? ? 1 的离心率的取值范围是 sin ?

1 ) 2

1 B. ( , 2

2 ) 2

C. ( 2 , ? ?)

D.

(

2 , 2

2)

7. 设 F1 , F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 4

?F1 PF2 ? 90 ? ,则 ?PF1 F2 的面积为 (

) D.
5

A. 1

B.

5 2

C. 2

8. 设 F1 , F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,P 在双曲线上,当 ?F1 PF2 的面积 4

为 1 时, PF1 ? PF2 的值为 A. 0 B.

( 1

) C.
1 2

D. 2 )

9. 过点(0, 2)与抛物线 y 2 ? 8 x 只有一个公共点的直线有( A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条

D. 无数条.

10. 抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的动弦 AB 长为 a (a ? 2 p) ,则 AB 中点 M 到 y 轴 的最短距离是 ( (A)
a 2

) (B)
p 2

(C)

a? p 2

(D)

a? p 2

11. 直线 l 过抛物线 y 2 ? a( x ? 1) (a ? 0) 的焦点,并且与 x 轴垂直,若 l 被抛物线 截得的线段长为 4,则 a ? ( A. 4 B. 2 ) C.
1 4

D.

1 2

12. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、B,若 A、B 在抛物线准线上 的射影为 A1 , B1 ,则 ?A1 FB1 ? ( A. 45 ? B. 60 ? ) D.
120 ?

C. 90 ?

二、填空题:请把答案填在题中横线上. 13. (2000 全国高考) 椭圆
x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当 9 4

?F1 PF2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范围是

14.

已 知 F1 , F2 为 椭 圆 的 两 个 焦 点 ,P

为 椭 圆 上 一 点 , 若

?PF1 F2 : ?PF2 F1 : ?F1 PF2 ? 1 : 2 : 3 , 则此椭圆的离心率为

15. 设圆过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆 9 16

心到双曲线中心的距离为 16,过点 P(-2, -4)的抛物线的标准方程为 三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17,设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 椭圆上的点的最远距离为 7 ,求这个椭圆方程.
3 3 .已知点 P(0, ) 到这个 2 2

18,(2000 全国高考)已知梯形 ABCD 中, AB ? 2 CD ,点 E 分有向线段 AC 所成的 比为 ? ,双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点,当 取值范围.
2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心率 e 的 3 4

19,过抛物线 y 2 ? 2 x 的顶点作互相垂直的二弦 OA、OB。 求 (1)AB 中点的轨迹方程。 (2)证明:AB 与 x 轴的交点为定点。

x2 y2 20,双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0) a b

到直线 l 的距离与点(-1,0) 到直线 l 的距离之和 s≥ 率 e 的取值范围.

4 c,求双曲线的离心 5

21,已知抛物线 y2=8x 上两个动点 A、B 及一个定点 M(x0, y0) 是抛物线 ,F 的焦点,且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交 于一点 N. (1)求点 N 的坐标(用 x 0 表示) ; (2)过点 N 与 MN 垂直的直线交抛物线于 P、Q 两点,若|MN|=4 2 ,求 △MPQ 的面积.

x2 8y2 22,设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>b>0)的左、右两个焦点. a b

(1)若椭圆 C 上的点 A(1, 圆 C 的方程和焦点坐标;

3 )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭 2

(2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程;

6,导数及其应用练习题
一,选择题 1.满足 f(x)=f ′(x)的函数是( A f(x)=1-x ) C f(x)=0 ) D
y ? x?2

B f(x)=x

D f(x)=1

2.曲线 y ? 4 x ? x 3 在点(-1,-3)处的切线方程是( A
y ? 7x ? 4

B

y ? 7x ? 2

C

y ? x?4

3 . 已 知 函 数 y= f(x) 在 区 间 (a , b) 内 可 导 , 且 x0 ∈ (a , b) , 则
lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) =( ) h

A f ′(x0)

B 2f ′(x0)

C

-2f ′(x0)

D 0 )

4.函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( A 1,-1 B 3,-17 C 1,-17 D 9,-19

5.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x)、g(x)满足 f ′(x)=g′(x), 则( ) A f(x)=g(x) C f(x)=g(x)=0 B D f(x)-g(x)为常数函数 f(x)+g(x)为常数函数

6.函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值 点 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
b
y

y ? f ?(x)

a

O

x

7.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图 1 所 示,则导函数 y=f ?(x)可能为 ( )
O

y

x

图1

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

8.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x <0 时,f ′(x)g(x) +f(x)g′(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( A (-3,0)∪(3,+∞) C (-∞,-3)∪(3,+∞) B (-3,0)∪(0,3) D (-∞,-3)∪(0,3) )

二.填空题
3 9.某物体做直线运动,其运动规律是 s=t2+ ( t 的单位是秒,s 的单位是米), t

则它在 4 秒末的瞬时速度为

.

10.过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直 线方程是__________. 11 函数 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? m(m为常数) 在 [?2, 上有最大值 3,那么此函数在 2]
[?2, 上的最小值为 2]

12.周长为 20 cm 的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为 13. 设 函 数 f ? x? ? c o s

?

3x ??

??

0?? ? ?? 。 若 f ? x? ? f/ ? x 是 奇 函 数 , 则 ?

? ? __________。
14.设函数 f ( x) ? x m ? ax 的导数为 f / ( x) ? 2 x ? 1,则数列

? ? (n ? N
1 f (n)

?

) 的前

n 项和是

.

三.解答题 15,已知二次函数 f(x)满足:①在 x=1 时有极值;②图象过点(0,-3),且在该点 处的切线与直线 2x+y=0 平行. ⑴求 f(x)的解析式; ⑵求函数 g(x)=f(x2)的单调递增区间.

16,已知 f(x)=x3+ax2+bx+c,在 x=1 与 x=-2 时,都取得极值。 ⑴求 a,b 的值;
1 1 ⑵若 x ? [-3,2]都有 f(x)> ? 恒成立,求 c 的取值范围。 c 2

17,已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)( x ? a) 。 ⑴求导数 f ?(x) ; ⑵若 f ?(?1) ? 0 ,求 f (x) 在[-2,2] 上的最大值和最小值; ⑶若 f (x) 在(-∞,-2)和[2,+∞]上都是递增的,求 a 的取值范围。

18,已知函数 f(x)=ln(x+1)-x. ⑴求函数 f(x)的单调递减区间; ⑵若 x ? ?1 ,证明: 1 ?
1 ? ln( x ? 1) ? x . x ?1

1,参考答案
1. A 2.C 3. B 4. A 5. B 6. D 7. A 8. B 9.B 10. B 11.D 12.A 13. ②④ 14.50, 15.1200,16. 450 17. 解答:C=120
?

B=15

?

AC= 3 ? 1 或 C=60

?

B=75

?

18. 解答:a=14,b=10,c=6 19. 解答:解:由 2sin(A+B)- 3 =0,得 sin(A+B)= 三角形 ∴A+B=120°, a+b=2 3 , a?b=2, ∴c2=a2+b2-2a?bcosC=(a+b)2-3ab=12-6=6, ∴c= 6 , S△ABC= 1 1 3 3 absinC= ?2? = 2 2 2 2 . cosA sinB = ,变形为 cosB sinA C=60°, 又∵a、b 是方程 x2 -2 3 x+2=0 的两根,∴ 3 , 2 ∵△ABC 为锐角

20. 解 答 : 由

cosA b sinB b = , = ,可得 cosB a sinA a

sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π -2B, 三角形. 由 a2+b2=102 和 6+8-10 =2 2 b 4 = ,解得 a=6, b=8, a 3 ∴内切圆的半径为 r= a+b-c 2 ∴A+B=

? . ∴△ABC 为直角 2

=

21. 解答:由 tanA+tanB= 3 tanA?tanB- 3 可得

tan A ? tan B =- 3 ,即 tan(A+B)=- 3 1 ? tan A ? tan B

∴tan(π -C)= - 3 , ∴-tanC=- 3 , ∴tanC= 3 ∵C∈(0, π ), ∴C=

? 3
3 3 1 3 3 ,∴ absinC= 2 2 2

又△ABC 的面积为 S△ABC=



1 3 3 3 ab? = , ∴ab=6 2 2 2

又由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcosC ∴( 7 2 2 2 ? ) = a +b -2abcos 2 3 7 2 2 2 ) = a +b -ab=(a+b)2-3ab 2 121 , ∵a+b>0, 4 ∴a+b= 11 2

∴(

∴(a+b)2=

22. 解答 ⑴.由余弦定理及已知条件得, a 2 ? b2 ? ab ? 4 ,
1 又因为 △ABC 的面积等于 3 ,所以 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2
? a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ? ab ? 4,

⑵.由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , 当 cos A ? 0 时, A ?
? , △ABC 是直角三角形; 2

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ? 2sin( B ? C ) ? 2sin B cos C ? 2cos B sin C ,
C? ? ? 代入上式得 sin B ? sin B ? 3 cos B ,故 cos B ? 0,B ? , 3 2

△ABC 是直角三角形.

2,参考答案
1, 【解析】设两数为 a、b,则有 a+b=20,ab=64.由韦达定理,∴a、b 为 x2 -20x+64=0 的两根. 【答案】D 2,解析】1=1, 【 a 公比 q=2. 经过 3 小时分裂 9 次, ∴末项为 a10, a10=a1?9=512. 则 2 【答案】B 3, 【解析】 依题意: 3=a1+a2, a 则有 a1q2=a1+a1q, 1>0, 2=1+q ? q= ∵a ∴q 又∵an>0.∴q>0,∴q=
a ? a4 1 5 ?1 5 ?1 , 3 = = . 【答案】B a 4 ? a5 q 2 2

1? 5 . 2

4, 【解析】由题意,根号里面是首项为 2、公差为 4 的等差数列,得 an=2+(n-1)4=4n-2,而 7 2 = 98 ,令 98=4n-2 ? n=25. 【答案】D 5, 【解析】S9=-36 ? a5=-4,S13=-104 ? a7=-8 ? b6=± a5 a 7 =±4 2 . 【答案】C 6, 【解析】Sn+1-Sn=(3+2an+1)-(3+2an) ? an+1=2an(n≥1)【答案】A . 7, 【解析】由 a1?a30=a2a29=?=a15a16 已知转化为(a1a30)15=230 ? a1a30=22 又 a3?a6???a30=(a3a30)5=(a1q2?a30)5=(a1a30)5?210=220. 【答案】B 8, 【解析】∵Sn=n2,Sn-1=(n-1)2,Sn+1=(n+1)2 ∴an=Sn-Sn-1=2n-1,an+1=Sn+1-Sn=2n+1 ∴an+1-an=2,但
a n ?1 2n ? 1 不是常数. 【答案】B ? an 2n ? 1

9, 【解析】由已知 b2=ac,∴Δ =b2-4ac=-3ac. 又∵a、b、c 成等比,∴a、c 同号,∴Δ <0. 【答案】A

2? 2 17 ? ?1 ? ( 3 ) ? 2 3 ? =17a+2d? 10, 【解析】a4+a5+?+a20=17a+d ? [1-( )17] 2 3 1? 3 2 ∴a1+a2+?+a20=20a+2d[1-( )17] 3 1 2 ∴平均楼价为 a+ d[1-( )17]【答案】B . 3 10

11, 【解析】由题意, an ?

1 1 1 , ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 10 ∴ a1 ? a2 ? ? ? a10 = 1 ? ? ? ? ? ? ? ? , 【答案】C 2 2 3 10 11 11

12【解析】由题意,an+1=2an+2,∴ an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) ,又 a1+2=4,∴【答案】B 13, 【解析】由题意,n 小时后有 2n 人得知,此时得知信息总人数为 1+2+22+? +2n=2n+1-1≥55. 即 2n+1≥56 ? n+1≥6 ? n≥5. 【答案】5 14【解析】设{an}中第 n 项最大,则有 ?
?a n ? a n ?1 ?a n ? a n ?1

? 9 n (n ? 1) 9 n ?1 ? n ? ? ? 10 n 10 n ?1 即? n ,∴8≤n≤9 n ?1 ? 9 (n ? 1) ? 9 (n ? 1) ? 10 n 10 n ?1 ?

即 a8、a9 最大. 【答案】a8 和 a9

15, 【解析】由 S5=5?46°+

5? 4 d=540°得 d=31° 2

∴a5=46°+4?31°=170°.

【答案】170°

16, 【解析】由 an=an-1+an-2+?+a2+a1=Sn-1(n≥2) 又 an=Sn-Sn-1=an-1-an ∴
a n ?1 =2(n≥2) ,由 a2=a1=1 an

∴an=2n-2 (n≥2) ,∴an= ?

?1 ?2
n?2

( n ? 1) ( n ? 2)

【答案】an= ?

?1 ?2
n?2

( n ? 1) ( n ? 2)

17, 【解】 (1)若 3,9,?,2187,能成等差数列,则 a1=3,a2=9,即 d=6.则 an=3+6(n-1) ,令 3+6(n-1)=2187,解得 n=365.可知该数列可构成 等差数列,S7=7?3+
7?6 ?6=147. 2
3(1 ? 3 7 ) =3279. 1? 3

(2)若 3,9,?,2187 能成等比数列,则 a1=3,q=3,则 an=3?3n-1=3n, 令 3n=2187,得 n=7∈N,可知该数列可构成等比数列,S7= 18【解】设成等比数列的三个数为

a a ,a,aq,由 ?a?aq=103,解得 a=10, q q

即等比数列
1 5

10 5 ,10,10q. (1)当 q>1 时,依题意, +(10q-7)=20.解 q q

得 q1= (舍去) 2= .此时 2,10,18 成等差数列,公差 d=8. ,q (2)当 0<q<1,由题设知(
10 -7)+5q=20,求得成等差数列的三个数为 q

5 2

18、10、2,公差为-8.综上所述,d=±8. 19【解】设 y=f(x)=kx+b,则 f(2)=2k+b,f(5)=5k+b,f(4)=4k+b,依 题意: [f(5) 2=f(2) ] ?f(4) . 即(5k+b)2=(2k+b) (4k+b)化简得 k(17k+4b)=0. ∵k≠0,∴b=-
17 k 4

① ②

又∵f(8)=8k+b=15

将①代入②得 k=4,b=-17. ∴Sn=f(1)+f(2)+?+f(n)=(4?1-17)+(4?2-17)+?+(4n-17) =4(1+2+?+n)-17n=2n2-15n. 20 【解】∵an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项,∴ (an+2)= 2S n ,
1 2

即 Sn=

1 (an+2)2 8 1 当 n=1 时,a1= (a1+2)2 ? a1=2. 8 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= [ n+2)2-(an-1+2)2] (a 8

即(an+an-1) n-an-1-4)=0 (a 又∵an+an-1>0,∴an=an-1+4,即 d=4. 故 an=2+(n-1)?4=4n-2. 21【解】假设存在这样的三个数 ∵a、b、c 成等差数列,∴2b=a+c 又 a+b+c=6,∴b=2. 设 a=2-d,b=2,c=2+d. ①若 2 为等比中项,则 22=(2+d) (2-d) ∴d=0,则 a=b=c,不符合题意. ②若 2+d 为等比中项,则(2+d)2=2(2-d) ,解得 d=0(舍去)或 d=- 6.∴a=8,b=2,c=-4. ③若 2-d 为等比中项,则(2-d)2=2(2+d) ,解得 d=0(舍去)或 d=6 ∴a=-4,b=2,c=8 综上所述,存在这样的三个不相等数,同时满足 3 个条件,它们是 8,2, -4 或-4,2,8. 22. 解: (1)?对任意正整数 n,有
b1 b2 b3 b + + +┅+ n = 2n +1 a1 a 2 a 3 an



∴当 n=1 时,

b1 ? 3 ,又 a1 ? 1 ,∴ b1 ? 3 ; a1

当 n ? 2 时,

b b1 b2 b3 + + +┅+ n ?1 = 2n -1 a1 a 2 a 3 a n ?1



∴②-①得

bn ? 2 ; bn ? 2a n ? 2 ? 3n ?1 ; an

(n ? 1), ?3 , ∴ bn ? ? n-1 ?2 ? 3 , (n ? 2)

(2) b1 ? b2 ? b3 ? ┅+ b2005 = 3 ? (2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 32004 ) = 3 ? 3(3 2004 ? 1) = 3 2005

3,参考答案
1,A 11、
1 2

2,D

3,C

6,C 1 12、 {x | x ? ?3 或 ?1 ? x ? } 3 14、 2; 10

4,B

5,B

7,C

8,A

9,B

10,D

13、 [9, ??)

15、解:解不等式 x2 ? 4 ? 0 得 x ? ?2 或 x ? 2 , 即 A ? {x | x ? ?2 或 x ? 2} ;
2x ? 3 3 ?0得x? ? 或x?3 x ?3 2 3 3 即 B ? {x | x ? ? 或 x ? 3} ; CR B ? {x | ? ? x ? 3} 2 2 3 ? A ? B ? {x | x ? ? 或 x ? 2 } ; 2

解不等式

A ? (CR B) ? {x | 2 ? x ? 3} .

16、解:方程 x 2 ? (m ? m2 ) x ? m3 ? 0 的两根为 x1 ? m, x2 ? m2 . (1) 当 m ? m2 ,即 {m | m ? 0或m ? 1} 时,不等式的解集为
{x | x ? m或x ? m2 } ;

(2) 当 m ? m2 ,即 {m | 0 ? m ? 1} 时,不等式的解集为

{x | x ? m2或x ? m} ;

(3) 当 m ? m2 ,即 m ? 0 或 m ? 1时,不等式的解集为
{x | x ? m} .

17、解:设水池底面长为 x 米时,总造价为 y 元.
4800 1600 ? 1600m2 ,水池底面宽为 m. 3 x 1600 ? y ? 150 ?1600 ? 120 ? 3 ? (2 x ? 2 ? ) x 1600 ? 150 ?1600 ? 720( x ? ) x

由题意知水池底面积为

?x?

1600 1600 ? 2 x? ? 80 , ? ”当且仅当“ x ? 40 ”时取得. “ x x

所以当 x ? 40 时, ymax ? 297600 . 答:水池底面设计成边长为 40 米的正方形时总造价最低,最低造价为 297600 元. 18、解:设月生产产品 X , Y 分别为 x 件, y 件,该月利润为 z ,则有
? 0 ? x ? 2500 ? 0 ? x ? 2500 ? 0 ? y ? 1200 ? 0 ? y ? 1200 ? ? ?? ? ?4 x ? 6 y ? 14000 ?2 x ? 3 y ? 7000 ? 2 x ? 8 y ? 12000 ? x ? 4 y ? 6000 ? ?

目标函数 z ? 1000 x ? 2000 y ,即 z ? 1000( x ? 2 y) .
2 1 设 x ? 2 y ? k1 (2 x ? 3 y ) ? k2 ( x ? 4 y ) ,可得 k1 ? , k2 ? . 5 5 2 1 2 1 所以 x ? 2 y ? (2 x ? 3 y) ? ( x ? 4 y) ? ? 7000 ? ? 6000 ? 4000 5 5 5 5
? zmax ? 1000 ? 4000 ? 4000000 .
?2 x ? 3 y ? 7000 ? x ? 2000 等号成立的条件是 ? ,即 ? ,符合条件. ? x ? 4 y ? 6000 ? y ? 1000

答:组装产品 2000 件 X ,1000 件时 Y ,月利润最高,最高利润为 400 万元.

4,参考答案
一、

1.D;解析:若 a2+b2=0,即 a=b=0 时,f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x|x|= -f(x)∴a2+b2=0 是 f(x)为奇函数的充分条件.又若 f(x)为奇函数即 f(- x)=-x|(-x)+a|+b=-(x|x+a|+b) ,则必有 a=b=0,即 a2+b2=0,∴a2+b2=0 是 f(x)为奇函数的必要条件. 2.B;提示:这是一个含有量词的命题的否定. 3.B;本题考查复合命题及真值表.解析:∵p=非 r,∴p 与 r 一真一假,而 p、q、r 中有且只有一个真命题,∴q 必为假命题,∴非 q: “肖像在这个盒 子里”为真命题,即:肖像在银盒里.评述:本题考查充要条件的基本知识, 难点在于周期概念的准确把握. 4.B;解析:注意二次项系数为零也可以. 5.A;解析:对“a 和 b 都不是偶数”的否定为“a 和 b 不都不是偶数” ,等 价于“a 和 b 中至少有一个是偶数” . 6.D;解析:该题考察的是互为逆否命题的真值相同,也就是在选项中找到 该命题逆否命题. 7.B;解析:由“非 p”为真可得 p 为假,若同时“p 或 q”为真,则可得 q 必须为真. 8.A;解析:由我们学习过的不等式的理论可得 p ? q ,但 x ? 100, y ? 0.1 满 足 q: x ? y ? 2 , xy ? 1 ,但不满足 q,故选项为 B. 9. 解析: 2x2-5x-3<0, D; 由 解得- <x<3, 记为 P, 则①P ? A, ②B P, B 是 P 的充分非必要条件,③C 的必要条件,④D P,C 既不是 P 的充分条件,也不是 P
1 2

P,P D,D 是 P 的必要不充分条件.

10. A;提示:举例:a=1.2,b=0.3,则 a+b=1.5<2,∴逆命题为假.

二、 11.②④; 解析:本题是一道开放性题,考查四种命题间的关系及充要条件. ①A∩B=A ? A ? B 但不能得出 A B,∴①不正确; ②否命题为: “若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为 0” ,是真命题; ③逆命题为: “若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形全等” ,是假命 题; ④原命题为真, 而逆否命题与原命题是两个等价命题, ∴逆否命题也为真命 题. 12.平行四边形不一定是菱形;或至少有一个平行四边形不是菱形; 解析:本题考查复合命题“非 p”的形式,p: “平行四边形一定是菱形” 是假命题,这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”? 若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题,与真值表相违,故原命题 的“非 p”为“平行四边形不一定是菱形” ,是一个真命题. 第二种说法是命题是全称命题的简写形式,应用规则变化即可. 13.必要,充分,必要. 提示:画出箭头图. 14.必要不充分. 三、 15.本题考查四种命题间的关系. 解: (1)逆命题:若一个四边形的对角线相等且互相平分,则它是矩形(假命 题) . 否命题:若一个四边形不是矩形,则它的对角线不相等或不互相平分(假 命题) . 逆否命题: 若一个四边形的对角线不相等或不互相平分, 则它不是矩形 (真 命题) .

(2)逆命题:如果一个正数不是质数,那么这个正数是正偶数(假命题) . 否命题:如果一个正数不是偶数,那么这个数是质数(假命题) . 逆否命题:如果一个正数是质数,那么这个数不是偶数(假命题) . 16.解: (1)根据真值表,复合命题可以写成简单形式: p 或 q:连续的三个整数的乘积能被 2 或能被 3 整除. p 且 q:连续的三个整数的乘积能被 2 且能被 3 整除. 非 p:存在连续的三个整数的乘积不能被 2 整除. ∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数,而有一个是 3 的倍数, ∴p 真,q 真,∴p 或 q 与 p 且 q 均为真,而非 p 为假. (2)根据真值表,只能用逻辑联结词联结两个命题,不能写成简单形式: p 或 q: 对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形. p 且 q: 对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形. 非 p:存在对角线互相垂直的四边形不是菱形. ∵p 假 q 假,∴p 或 q 与 p 且 q 均为假,而非 p 为真.
?a ? 0 17.解:对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立 ? a ? 0或? ?? ? 0

? 0 ? a ? 4 ;关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?

1 ; 4

1 1 如果 P 正确,且 Q 不正确,有 0 ? a ? 4, 且a ? ? ? a ? 4 ;如果 Q 正确, 4 4

且 P 不正确,有 a ? 0或a ? 4, 且a ? 1 ? a ? 0 .所以实数 a 的取值范围为
4

?? ?,0? ? ? 1 ,4 ? . ? ?
?4 ?

18.本题考查充要条件、充分条件、必要条件.对于这类问题,将语言叙述符 号化,画出它们的综合结构图,再给予判定. 解:p、q、r、s 的关系如图所示,由图可知

答案: (1)s 是 q 的充要条件 (2)r 是 q 的充要条件 (3)p 是 q 的必要条 件
1 1 ? ? ?(1 ? a)b ? 4 ? (1 ? a)b ? 2 ? ? 1 1 ? ? 19.证明:用反证法,假设 ?(1 ? b)c ? ? ? (1 ? b)c ? ,①+②+③得: 4 2 ? ? 1 1 ? ? ?(1 ? c)a ? 4 ? (1 ? c)a ? 2 ? ?

3 1? a ? b 1? b ? c 1? c ? a 3 ? (1 ? a)b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? ? ? ? ,左右 2 2 2 2 2 1 矛盾,故假设不成立,∴(1-a)b,(1-b)c, (1-c)a 不同时大于 . 4

20.解析:先证充分性,而必要性只需要通过举反例来否定. 先证明条件的充分性:
?a ? 2 ?? ? a 2 ? 4 ? b, ?b ? 4 ? ? ? 4(a 2 ? b) ? 0,

∴方程有实数根 ①

?a ? 2 ? ? 2 a ? ?4 ?? ?? , ?b ? ?4 ?b ? ?4 ? ( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? ?2a ? 4 ? ?4 ? 4 ? ?8 ? 0, 而( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4 ? b ? 4a ? 4 ? ?4 ? 8 ? 4 ? 8 ? 0, ?( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? 0 ? x1 ? 2 ? 0 ? x1 ? 2 ?? ?? ?? , ?( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? 0 ? x2 ? 2 ? 0 ? x2 ? 2

①、②知“a≥2 且|b|≤4” ? “方程有实数根,且两根均小于 2”. 再验证条件不必要: ∵方程 x2-x=0 的两根为 x1=0, x2=1,则方程的两根均小于 2,而 a=- ∴“方程的两根小于 2” ? “a≥2 且|b|≤4”. 综上,a≥2 且|b|≤4 是方程有实数根且两根均小于 2 的充分但不必要条件. 评析:充分条件与必要条件是数学学习中的重要概念,在解答任何一个数 学问题时都必须准确认识到问题所需要解决的是满足条件的充分性、必要
1 <2, 2

性,还是充分且必要.对于证明题、计算题等,往往只需满足命题条件的充 分性,即由条件进行推理、演绎得出结论;而对于求参数的范围,求不等 式的解集,求函数的值域等许多问题,则必需保证推理的充要性.

5,参考答案
A 13, ? D D B C C A
15,

A
16 3

C

D
2

A
2

C

3 3 ?x? 5 5

14, 3 ? 1

16, x ? ? y, y ? ?8 x

17,解:设椭圆方程为
c 3 ? a 2

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , M ( x, y) 为椭圆上的点,由 a2 b2

得 a ? 2b

AM

2

3 1 ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3 ,(?b ? y ? b) 2 2

若b ? 盾.

1 3 3 1 2 ,则当 y ? ?b 时 AM 最大,即 (?b ? ) 2 ? 7 , ?b ? 7 ? ? ,故矛 2 3 2 2

若b ?

1 1 时, y ? ? 时 4b 2 ? 3 ? 7 , b 2 ? 1 2 2
x2 ? y2 ? 1 4

所求方程为

18,解:如图建系:设双曲线方程为:
x2 y2 c ? 2 ? 1 则 B(c,0), C( , h) ,A(-c,0) 2 2 a b
? E(

? ?2 ?h c, ) ,代入双曲线方 2(1 ? ? ) 1? ?

程得:

? 2 c2 2 2 2 2 ?b ? ? a h ? a b 4 ? , ? 2 ?b 2 ? (? ? 2) ? c 2 ? a 2 ( ?b ) 2 ? a 2 b 2 ? 1? ? 4(1 ? ? ) 2 ?

?e2 ?

2? ? 1 2 3 , ? ?[ , ] 1? ? 3 4

? 7 ? e ? 10

19, 解 (1)设 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? , M ?x, y ? , 则 l AB: : x ? my ? t ,代入抛物线方程
y2 ? 2x



:

y 2 ? 2my ? 2t ? 0

? y1 ? y 2 ? 2m, y1 y 2 ? ?2t

,



x1 x2 ? t 2 , x1 ? x2 ? 2m 2 ? 2t . 又

OA ⊥ OB, ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 . 得

x1 ? x 2 ? 2 ?x ? 2 ? m ? 2 ? 消去 M: y 2 ? x ? 2 t 2 ? 2t ? 0, t ? 2, t ? 0 (舍),而 ? y1 ? y 2 ?y ? ?m ? 2 ?

(2)在直线方程 l AB: x ? my ? t 中,令 y ? 0, 得 x ? t ? 2 所以交点为(2,0) 20, 解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点 (1,0)到直线 l 的距离 d1 =
b(a ? 1) a ?b
2 2

b(a ? 1) a2 ? b2 ab a ?b
2 2

.同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离
2 ab . c

d2 =

.s= d1 +d2=

=

2 ab 4 4 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c 2 ? a 2 ≥2c2. 5 5 c

于是得 5 e 2 ? 1 ≥2e2.即 4 e2-25e+25≤0.解不等式,得 由于 e>1>0,所以 e 的取值范围是
5 ?e? 5. 2

5 ≤e2≤5. 4

21, (1)设 A(x1, y1)、B(x2、y2),由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得 x1+x2=2x0. 得线段 AB 垂直平分线方程: y ?
y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 ( x ? x0 ), 2 y1 ? y 2

令 y=0,得 x=x0+4, 所以 N(x0+4, 0). (2)由 M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4 2 , 得 x0=2. 由抛物线的对称性,可设 M 在第一象限,所以 M(2, 4), N(6,0).
? y ? x ? 6, 得P(18,12 ), Q(2,?4), 得△MPQ 的面积是 64. 直线 PQ: y=x-6, 由 ? 2 ? y ? 8 x.

22 解: (1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之

3 ( )2 3 1 和是 4,得 2a=4,即 a=2.又点 A(1, )在椭圆上,因此 2 ? 2 2 =1 得 2 2 b
b2=3,于是 c2=1. 所以椭圆 C 的方程为
x2 y2 =1,焦点 F1(-1,0) 2(1,0). ,F ? 4 3

(2)设椭圆 C 上的动点为 K(x1,y1) ,线段 F1K 的中点 Q(x,y)满足:
x? ? 1 ? x1 y , y ? 1 , 即 x1=2x+1,y1=2y. 2 2

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 1 2 4y2 ? ? 1 为所求的轨迹方程. 因此 =1.即 ( x ? ) ? 4 3 2 3

6,参考答案:
一、选择题:1.C 二、填空题:9. 2.D 3.B 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 10. 2x-y+4=0 11. ?37 14.
n n?1

125 16
? 6

12.

4000 27

? cm2

13. 三、解答题:

15. 解:⑴设 f(x)=ax2+bx+c,则 f ?(x)=2ax+b.
? f ?(1) ? 0, ?2a ? b ? 0, ?a ? 1, ? ? ? 由题设可得: ? f ?(0) ? ?2, 即 ?b ? ?2, 解得 ?b ? ?2, ? f (0) ? ?3, ?c ? ?3. ?c ? ? 3 . ? ? ?

所以 f(x)=x2-2x-3.

⑵ g(x)=f(x2)=x4-2x2-3,g ?(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1).列表: x f?(x) f(x) (-∞,-1) - ↘ -1 0 (-1,0) + ↗ 0 0 (0,1) - ↘ 1 0 (1,+∞) + ↗

由表可得:函数 g(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). 16. 解 : a =
3 ? 13 2 3 ? 13 3 7 1 1 ?c?0 或 , b = - 6. 由 f(x)min = - +c> - 得 2 2 2 c 2

c?

17. 解:⑴由原式得 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 4 x ? 4a, ∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4.
1 1 ,此时有 f ( x) ? ( x 2 ? 4)( x ? ), f ?( x) ? 3x 2 ? x ? 4 . 2 2 4 4 50 9 由 f ?(?1) ? 0 得 x ? 或 x=-1 , 又 f ( ) ? ? , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0, 3 3 27 2 9 50 所以 f(x)在[-2,2]上的最大值为 , 最小值为 ? . 2 27

⑵由 f ?(?1) ? 0 得 a ?

⑶解法一: f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线, 由条件得
f ?(?2) ? 0, f ?(2) ? 0,

即 4a ? 8 ? 0 8 ? 4a ? 0

?

∴-2≤a≤2.

所以 a 的取值范围为[-2,2]. 解 法 二 : 令 f ?( x) ? 0 即 3x 2 ? 2ax ? 4 ? 0,
a ? a 2 ? 12 x1,2 ? ( x1 ? x2 ) 3

由 求 根 公 式 得 :

所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4. 在 ?? ?, x1 ?和 ?x 2 ,?? ? 上非负. 由题意可知,当 x≤-2 或 x≥2 时, f ?(x) ≥0,

从而 x1≥-2,

x2≤2,

? 2 ? 即 ? a ? 12 ? a ? 6 解不等式组得-2≤a≤2. ? a 2 ? 12 ? 6 ? a. ?

∴a 的取值范围是[-2,2]. 18. 解: ⑴函数 f(x)的定义域为 (?1, ??) .f ?( x) =
1 x -1=- 。 f ?( x) <0 由 x ?1 x ?1

及 x>-1,得 x>0.∴ 当 x∈(0,+∞)时,f(x)是减函数,即 f(x)的单调 递减区间为(0,+∞) . ⑵证明:由⑴知,当 x∈(-1,0)时, f ?( x) >0,当 x∈(0,+∞)时,
f ?( x) <0,

因此,当 x ? ?1 时, f ( x) ≤ f (0) ,即 ln( x ? 1) ? x ≤0∴ ln( x ? 1) ? x . 令 g ( x) ? ln( x ? 1) ?
1 1 x 1 = . ? ? 1 ,则 g ?( x) ? 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 x ?1

∴ 当 x∈(-1,0)时, g ?( x) <0,当 x∈(0,+∞)时, g ?( x) >0. ∴ 当 x ? ?1 时, g ( x) ≥ g (0) ,即 ln( x ? 1) ?
ln( x ? 1) ? 1 ? 1 . x ?1
1 ? ln( x ? 1) ? x . x ?1 1 ? 1 ≥0,∴ x ?1

综上可知,当 x ? ?1 时,有 1 ?


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