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甘肃省兰州一中2015届高三数学冲刺模拟试题 理


甘肃省兰州一中 2015 届高三冲刺模拟试题 数 学(理 科)

第 I 卷(选择题) 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 一、选择题 1.设集合 M= ?x | 2x2 ? y2 ? 1 ? ,N= ? y | y ? x2? ,则 M ? N =( A. { (1,1) } B. { (-1,1) , (1,1) } )

C. ? 1 , ??

? ?2

?

D. ? , ?? ? ? 2 ? )

? 2

?

2. 设 i 是虚数单位,那么使得 (? 1 ?

2
2

3 i)n ? 1 的最小正整数 n 的值为( 2
C. 4 D. 5

A. 2

B. 3
2

3. 如果直线 ax+by=4 与圆 C:x +y =4 有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆 C 的位置关系 是( ) A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.不能确定

4.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象( )

π 3

π 个单位长度 6 π C.向右平移 个单位长度 12
A.向右平移

π 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 12
B.向左平移

2 y2 5.过椭圆 x ? ? 1 的右焦点 F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于 A,B,C,D 四点,则

4

3

1 ? 1 的值为( ) | AB | | CD |
A. 1

8

B.

1 6

C. 1

D. 7

12

6. 已知 ?ABC 的外接圆半径为 R,且 2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B (其中 a,b 分 别是 ? A , ? B 的对边) ,那么角 C 的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

7.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线 画出的是某多面件的三视图,该多面体的体积为( ) A. 40 cm 3 B. 50 cm 3 C. 60 cm 3 D. 80 cm 3
1

8.电子钟表一天显示的时间是从 00:00 到 23:59,每一时刻都 由 4 个数字组成,那么一天中任一时刻的 4 个数字之和等于 23 的概率是( ) A.

1 180

B.

1 288

C.

1 360

D.

1 480

9.已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此三 棱锥的体积为( ) A. 1

4

B.

2 4

C.

2 6

D.

2 12

10.执行右图程序框图,如果输入的正实数 x 与输出的实数 y 满足 y=x, 则 x= ( ) A.

3

B.

1? 3 2

C.

13

D.

1 ? 13 2

11.已知函数 y ? x3 在 x ? ak 时的切线和 x 轴交于 ak ?1 ,若 a1 ? 1 ,则数列

{an }
的前 n 项和为( A. 1 ? 2 n ) B. ( 2 )n?1 C. 3 ? ( 2 )n
n D. 3 ? 2 n ?1

3

3

3

3

3

12.已知函数 f ? x ? ? x3 ? mx, x ? R ,若方程 f ? x ? =2 在 x ? [?4, 4] 恰有 3 个不同的实数解,则实数 m 的取值范围是( A.

,3? ? ? 31 2 ? ?

B.

? ?3, 31 2? ?



C.

? ??, ?3? ?

, ?? ? ? 31 2

D.

? ??,3? ?

, ?? ? ? 31 2

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

4 5 4 -4) 的展开式中含 x 项的系数是___________. (用数字填写答案) x2 ???? ? ??? ? ???? ??? ? 14.在△ABC 中,∠A=90°,AB=1,BC= 5 ,点 M,N 满足 AM ? ? AB , AN ? (1 ? ? ) AC ,
13. 在(x +
2

??? ? ???? ? ? ? R ,若 BN ? CM ? ?2 ,则 ? =_________.
? x ? 2, ? 15.平面上满足约束条件 ? x ? y ? 0, 的点(x,y)形成的区域为 D,区域 D 关于直线 y=2x ? ? x ? y ? 10 ? 0.
对称的区域为 E,则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________. 16.定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 的导函数满足 f ? ? x ? ? f ( x) ,且 f ? x ? ? f ? x ? 3? ? ?1 ,若

f ? 2015? ? ?e ,则不等式 f ? x ? ? ex 的解集为__________.
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知点 A (sin ? ,1) ,B (cos ? , 0) ,C (? sin ? , 2) ,且 AB ? BP . (Ⅰ)记函数 f (? ) ? BP ? CA , ? ? (? ? , ? ) ,讨论函数的单调性,并求其值域;

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

8 2 ??? ? ??? ? (Ⅱ)若 O,P,C 三点共线,求 | OA ? OB | 的值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD, ∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△PAD 是以 AD 为底的等腰三角形. (Ⅰ)证明:AD⊥PB; (Ⅱ)若四棱锥 P—ABCD 的体积等于 3 ,试求 PB 与平面 PCD 所 2 成角的正弦值. 19. (本小题满分 12 分)
A

P

D

C

B

一种智能手机电子阅读器,特别设置了一个“健康阅读”按钮,在开始阅读或者阅读期 间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后,手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅 读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后,出现蓝色背景与绿色背景的概率都是

1 . 从按钮第二次按下起,若前次出现蓝色背景,则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率 2 1 2 3 分别为 、 ;若前次出现绿色背景,则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为 、 3 3 5 2 . 记第 n(n ? N , n ? 1) 次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为 Pn. 5
(Ⅰ)求 P2 的值; (Ⅱ)当 n ? N , n ? 2 时,试用 Pn-1 表示 Pn; (Ⅲ)求 Pn 关于 n 的表达式.

20. (本小题满分 12 分)
2 y2 已知椭圆 C: x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点 F1 , F2 与椭圆短轴的一个端点构成边长

a

b

为 4 的正三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过椭圆 C 上任意一点 P 做椭圆 C 的切线与直线 F1 P 的垂线 F1M 相交于点 M,求点 M

3

的轨迹方程; (Ⅲ)若切线 MP 与直线 x=-2 交于点 N,求证:

| NF1 | 为定值. | MF1 |

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 h( x) ? x ln x , ? ( x) ? a (a ? 0) . 2

x

(Ⅰ)求 g ( x) ?

?

x

a

? (t )dt ;

(Ⅱ)设函数 f ( x) ? h? ? x ? ? g (x) ?1 ,试确定 f ( x ) 的单调区间及最大最小值; (Ⅲ)求证:对于任意的正整数 n,均有 e
1? 1 ? 1 ??? 1 2 3 n

? e 成立. n!
n

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,按所做的第一题计分,做答时请 写清题号.
D

22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , 已 知 ?BAD ? 60? ,

?ABC ? 90? , ?BCD ? 120? ,对角线 AC, BD 交于点 S ,
且 DS ? 2 SB , P 为 AC 的中点. 求证: (Ⅰ) ?PBD ? 30? ; (Ⅱ) AD ? DC .
A

S P

C

B

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系,直线 L 的参数方程为 ?

? ?x ? 1? t (t 为参数). y ? 2 ? 3 t ? ?

(Ⅰ)写出直线 L 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

? x? ? x ? (Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 1 得到曲线 C ? ,设 ? y ? y ? ? 2
x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 的最小值,并求相应的点 M 的坐标.

M(x,y)为 C ? 上任意一点,求

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 已知正数 a,b,c 满足 a+b+c=6,求证:

1 ? 1 ? 1 ? 1. a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a) 2

4

甘肃省兰州一中 2015 届高三冲刺模拟试题参考答案 数 学(理 科) 第 I 卷(选择题) 一、选择题 题号 1 答案 二、填空题 13. -960 ; 14. D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 B 第Ⅱ卷 7 A 8 C 9 C 10 D 11 D 12 B

2 ; 3

15.

12 5 ; 16. ?1, ??? . 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 解:设 P(x,y) ,由 AB ? BP 得

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OB ? OA ? OP ? OB ,

即 (cos ? ? sin ? , ?1) ? ( x ? cos ? , y) , 所以 x ? 2cos ? ? sin ? , y ? ?1,亦即 P(2cos ? ? sin ? , ?1) ;???????? 2 分 (Ⅰ) f (? ) ? BP ? CA ? (sin ? ? cos? ,1) ? (2sin ? , ?1)

??? ? ??? ?

? 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 1 ? ? sin 2? ? cos 2?

? ? 2 sin(2? ? ? ) ; 4
由 ? ? (? ? , ? ) 得 2? ? ? ? (0, 5? ) ,

8 2

4

所以,当 2? ? ? ? (0, ? ) 即 ? ? ? ? , ? ? 时, f (? ) 单调递减,且 ? 2 ? f (? ) ? 0 ,

4

当 2? ? ? ? ? ? , 5? 即 ? ? ? ? , ? 时, f (? ) 单调递增,且 ? 2 ? f (? ) ? 1 ,

4

? ?2 4

?

2

?

4

? ?8 2

故,函数 f (? ) 的单调递减区间为 ? ? , ? ? ,单调递增区间为 ? ? , ? ,

?

?

8 8? ?

8 8? ?

? ?8 2

?

值域为 ? ? 2,1 .

?

?

?????????????? 6 分

(Ⅱ)由 O、P、C 三点共线可知, OP ∥ OC , 即 (?1) ? (? sin ? ) ? 2 ? (2cos ? ? sin ? ) ,得 tan ? ? 4 ,

??? ?

????

3 ??? ? ??? ? 所以 | OA ? OB |? (sin ? ? cos? )2 ?1 ? 2 ? 2sin ? cos?

? cos ? ? 2 ? 2 tan ? ? 75 ????????????? 12 分 ? 2 ? 2sin 2 sin ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 5
18. (本小题满分 12 分)
5

(Ⅰ)证明:取 AD 的中点 G,连 PG,BG,CG;

? PG ? AD ? ? AB ? AD ? ? ? AD ? 平面PGB ? ? BG ? AD ? ?DAB ? 60?? ? PB ? 平面PGB
(Ⅱ) ∵ 侧面 PAD⊥底面 ABCD,PG⊥AD, ∴ PG⊥底面 ABCD;

PA ? PD

?????????????? 5 分

? ? ? AD ? PB ?

P

在底面直角梯形 ABCD 中,由已知可得 BC ? 3 , 由

VP ? ABCD ? 3 ,即 2
G A

1 [ 1( ? 1 ? 2) ? 3] ? PG ? 3 ,得 PG ? 3 , 3 2 2
而 BG=CG= 3 ,DG=1,

D

C

B

在 Rt△PGB、Rt△PGC、Rt△PGD 中分别可求得 PB= 6 、PC= 6 、PD=2,
2 2 2 在△PCD 中, cos PDC ? PD ? CD ? PC ? ? 1 ,

2 ? PD ? CD

4



sin PDC ? 15 ,∴△PCD 的面积 S? PDC ? 1 ? PD ? CD ? sin PDC ? 15 , 4 2 4 2 15 , 5

设点 B 到平面 PCD 的距离为 h,由 VP?BCD ? VB ?PCD 得 h ?

2 15 ? 1 ? 10 . ∴ PB 平面 PCD 所成角的正弦值为 h ? PB 5 6 5
?????????????? 12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景,则其概率为

1 1 1 ? ? ; 2 3 6
2 5 10

若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景,则其概率为 1 ? 3 ? 3 . 故所求概率为 P2 ?
1 3 7 ? ? . 6 10 15

?????????????? 4 分

(Ⅱ)第 n ? 1 次按下按钮后出现蓝色背景的概率为 Pn?1 (n ? N , n ? 2 ) ,则出现绿色背景 的概率为 1 ? Pn ?1 . 若第 n ? 1 次、第 n 次按下按钮后均出现蓝色背景,则其概率为 Pn ?1 ?

1 ; 3

3 若第 n ? 1 次、 第 n 次按下按钮后依次出现绿色背景、 蓝色背景, 则其概率为 (1 ? Pn ?1 ) ? . 5

6

所以, Pn ?

1 3 4 3 Pn ?1 ? (1 ? Pn ?1 ) ? ? Pn ?1 ? (其中 n ? N , n ? 2 ). 3 5 15 5
?????????????? 8 分

(Ⅲ)由(2)得 Pn ?

9 4 9 ? ? ( Pn ?1 ? ) (其中 n ? N , n ? 2 ). 19 15 19 9 1 4 故 {Pn ? } 是首项为 ,公比为 ? 的等比数列, 19 38 15 1 4 9 (? ) n ?1 ? (n ? N , n ? 1). 所以 Pn ? ?????????????? 12 分 38 15 19

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意,2c=a=4,∴ c=2,b= 2 3 ;
2 y2 ∴椭圆 C 的标准方程为 x ? ? 1;

16 12

?????????????? 2 分

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,由(Ⅰ) , F1 (?2,0) ,设 P( x0 , y0 ) , M ( x, y ) 过椭圆 C 上过 P 的切线方程为: 直线 F1 P 的斜率 k F1P ?

x0 x y0 y ? ? 1, 16 12



y0 x ?2 ,则直线 MF1 的斜率 k MF1 ? ? 0 , x0 ? 2 y0 x0 ? 2 ( x ? 2) , y0

于是,则直线 MF1 的方程为: y ? ? 即

yy0 ? ?( x0 ? 2)( x ? 2) , ②
?????????????? 8 分

① 、②联立,解得 x = -8, ∴ 点 M 的轨迹方程为 x = -8;

(Ⅲ)依题意及(Ⅱ) ,点 M、N 的坐标可表示为 M (?8, yM ) 、 N (?2, yN ) , 点 N 在切线 MP 上,由①式得

yN ?

3( x0 ? 8) , 2 y0 6( x0 ? 2) , y0

点 M 在直线 MF1 上,由②式得

yM ?

2 | NF1 |2 ? yN ?

2 9( x0 ? 8)2 36[ y0 ? ( x0 ? 2)2 ] 2 2 2 , , | MF | ? [( ? 2) ? ( ? 8)] ? y ? 1 M 4 y 02 y 02



2 y02 | NF1 |2 9( x0 ? 8)2 1 ( x0 ? 8) , ③ ? ? ? 2 2 | MF1 |2 4 y02 36[ y0 ? ( x0 ? 2)2 ] 16 y0 ? ( x0 ? 2)2

注意到点 P 在椭圆 C 上,即

2 x0 y2 ? 0 ? 1, 16 12

7

于是 y0 ?

48 ? x 02 | NF1 |2 1 ? , 代人③式并整理得 4 | MF1 |2 4
?????????????? 12 分



| NF1 | 的值为定值 1 . | MF1 | 2

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ?

? ? (t )dt ? ?
a

x

x

a

a dt ? ?a[1]|x ? ?a( 1 ? 1 ) ? x ? a ; ????? 3 分 t2 t a x a x

(Ⅱ)∵ h? ? x ? ? ( x ln x)? ? ln x ? 1 ( x ? 0) , ∴ f ( x) ? ln x ? 1 ? x ? a ? 1? ln x ? x ? a ( x ? 0) ,

x x x ? ( x ? a) x ? a f ?( x) ? 1 ? ? 2 ( x ? 0) , x x2 x

∵ a>0,∴ 函数 f ( x ) 在区间 (0, a ) 上单调递减,在区间 (a, ??) 上单调递增, 函数 f ( x ) 的最小值为 f (a) ? ln a ,函数 f ( x ) 无最大值; ?????? 7 分 (Ⅲ)取 a =1,由(Ⅱ)知, f ( x) ? ln x ? x ? 1 ? f (1) ? 0 ,

x

1 ∴ ln x ? x ? 1? 1 ? 1 ,即 1 ? 1 ? ln x ? ln e ,亦即 e x ? e ,??? 10 分

x

x

x

x

x

分别取 x ? 1, 2,?, n 得
1 1 1 1 e1 ? e , e 2 ? e , e 3 ? e ,?, e n ? e , 1 3 2 n

将以上各式相乘,得: e

1? 1 ? 1 ??? 1 2 3 n

?e n!
n

???????????? 12 分

22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 证明: (Ⅰ)由已知得 ?ADC ? 90? ,从而 A, B, C , D 四点共圆, AC 为直径, P 为该圆 的圆心. 作 PM ? BD 于点 M ,知 M 为 BD 的中点,

1 ?BPD = ?A ? 60? , 2 从而 ?PBM ? 30? . ?????????????? 5 分 1 D (Ⅱ)作 SN ? BP 于点 N ,则 SN ? SB . 2 1 又 DS ? 2 SB , DM ? MB ? BD , 2 M S 3 1 P ∴ MS ? DS ? DM ? 2 SB ? SB ? SB ? SN , 2 2
所以 ?BPM =
A N

C

B
8

∴ ∴

Rt△ PMS ≌Rt△ PNS , ?MPS ? ?NPS ? 30? ,

1 ?NPS ? 15? , 2 故 ?DAC ? 45? ? ?DCA ,所以 AD ? DC .
又 PA ? PB ,所以 ?PAB ? 23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (1)圆 C 的方程为 x ? y ? 4
2 2

????????10 分

?????????????? 1 分 ?????????? 3分

直线 L 方程为 3 x ? y ? 3 ? 2 ? 0

? x' ? x x2 ? 2 2 (2)由 ? ' 1 和 x ? y ? 4 得 C ' ? y2 ? 1 4 ?y ? y ? 2
设 M 为?

??????? 5 分

? x ? 2cos? ? 2 2 ,则 x ? 3 xy ? 2 y ? 3 ? 2 cos(2? ? ) 3 ? y ? sin?
3 3 ) 或 (?1, ? ) 时原式取得最小值 1. 2 2

?? 8 分

所以当 M 为 (1,

????? 10 分

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 已知正数 a,b,c 满足 a+b+c=6,求证: 证明:由已知及均值不等式:

1 ? 1 ? 1 ? 1. a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a) 2

3 1 ? 1 ? 1 ? a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a) 3 abc(1 ? a)(1 ? b)(1 ? c)

?

3

3 3 ? abc ? 3 (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) a ? b ? c ? 1 ? a ? 1 ? b ? 1 ? c 3 3
????????? 10 分

? 3 ?1 2?3 2

9


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