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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课后导练新人教B版选修2_1


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2.3.2 双曲线的简单几何性质

基础达标

课后导练

1.双曲线与椭圆 x 2 ? y 2 =1 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y=-x,则双曲线方程为 16 64

()

A.x2-y2=96

B.y2-x2=160

C.x2-y2=80

D.y2-x2=24

答案:D

2.实轴长为 45 且过点 A(2,-5)的双曲线的标准方程是( )

A. x 2 ? y 2 =1 20 16

B. y2 ? x2 =1 20 16

C. x 2 ? y 2 =1 16 20

D. y2 ? x2 =1 16 20

答案:B

3.中心在坐标原点,离心率为 5 的圆锥曲线的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方程为( ) 3

A.y=± 5 x 4
答案:D

B.y=± 4 x 5

C.y=± 4 x 3

D.y=± 3 x 4

4.焦点为(0,6)且与双曲线 x 2 -y2=1 有相同渐近线的双曲线方程是( ) 2

A. x2 ? y2 =1 12 24

B. y 2 ? x 2 =1 12 24

C. y 2 ? x 2 =1 24 12

D. x 2 ? y 2 =1 24 12

答案:B 5.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率 e 等于( )

A. 2

B. 3

C. 5

D. 5 2

答案:C 6.双曲线 5y2-4x2=-20 的实轴长为_____________,虚轴长为_____________,渐近线方程为,

1

离心率为_______________.

答案:2 5 4 y=± 2 5 x 3 5

5

5

7.准线方程为 x+y=1,相应的焦点为(1,1)的等轴双曲线方程是_________________.
答案:xy= 1 2
8.已知双曲线 x2-3y2=3 上一点 P 到左、右焦点的距离之比为 1∶2,则 P 点到右准线的距离为 ______________. 答案:6

9.双曲线 x 2 ? y 2 =1 与直线 y=kx-1 只有一个公共点,求 k 的值. 94

解:直线 y=kx-1 过(0,-1)点,若使直线与双曲线只有一个公共点,必须直线与双曲线的渐 近线平行或直线与双曲线相切.

当直线与渐近线平行时,双曲线的渐近线方程是 y=± 2 x. 3
∴k=± 2 式. 3
10.双曲线与圆 x2+y2=17 有公共点 A(4,-1),圆在 A 点的切线与双曲线的渐近线平行,求
双曲线的标准方程.

解:∵点 A 与圆心 O 的连线的斜率为- 1 , 4
∴过 A 的切线的斜率为 4.
∴双曲线的渐近线方程为 y=±4x.

设双曲线方程为 x2 ?

y2 16



.

∵点 A(4,-1)在双曲线上,

∴16 ? 1 =λ ,λ = y 2 .

16

225

∴双曲线的标准方程为 x 2 ? y 2 =1. 255 255 16
综合运用

11.已知双曲线 x 2 a2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0),F1、F2 为双曲线的两个焦点,点

P

在双曲线上,求

|PF1|·|PF2|的最小值. 解 : 设 P 点 的 横 坐 标 为 x0 , 则 x0≥a 或 x0≤-a. 由 焦 半 径 公 式 得

|PF1|·|PF2|=|a-ex0||a+ex0|=|a2-

c a

2 2

x02|=

c2 a2

x02-a2=

a

2? a2

b2

x02-a2.

2

∵|x0|≥a,∴x02≥a2.

∴|PF1|·|PF2|≥

a2 ? b2 a2

·a2-a2=b2.

当|x0|=a 时,上式“=”成立. ∴|PF1|·|PF2|的最小值为 b2.

12.在双曲线 x 2 ? y 2 =-1 的一支上有不同的三点 A(x1,y1)、B(x2,6)、C(x3,y3),与焦 13 12

点 F(0,5)的距离成等差数列. (1)求 y1+y3 的值; (2)求证:线段 AC 的垂直平分线经过某一定点,并求出定点坐标.

答案:(1)解:∵ | PF | =e. y ? a2 c

∴|PF|=ey-a.又 A、B、C 到 F 的距离成等差数列, ∴2(ey2-a)=(ey1-a)+(ey3-a). ∴y1+y3=2y2=12.

(2)证明:由题意,得

? ?? ? ?

y12 12 y32

?? 12

? ?

x12 13 x32 13

? 1,
.
? 1.

①-②,得 1 (y1-y3)(y1+y3) ? 1 (x1-x3)·(x1+x3)=0.

12

13

∴ y1 ? y3 ? 12(x1 ? x3 ) ? x1 ? x3 . x1 ? x3 13( y1 ? y3 ) 13
若 x1+x3=0, 则 kAC=0,y1=y3=y2=6,A、B、C 三点共线,这是不可能的.

∴x1+x3≠0.则 AC 的中垂线方程为 y-6= ? 13 (x ? x1 ? x3 ).

x1 ? x3

2

即 y= ? 13 x ? 25 .

x1 ? x3

2

因此,AC 的中垂线过定点(0, 25 ). 2
13.双曲线的中心在坐标原点,离心率为 4,一条准线方程是 x= 1 ,求双曲线的方程. 2
解:∵双曲线的中心在原点,准线和 x 轴垂直,
∴双曲线的方程是标准的且焦点在 x 轴上.

3

∵ c =4, a 2 = 1 . a c2
∴a=2,c=8.∴b2=82-22=60.

∴双曲线的方程是 x 2 ? y 2 =1. 4 60

拓展探究

14.已知双曲线 x 2 ? y 2 =1,F 为其右焦点,A(4,1)为平面上一点,点 P 为双曲线上一点, 45
求|PA|+ 2 |PF|的最小值(如右图). 3

解:由双曲线的第二定义可知 | PF | =e,其中 d 为 P 到右准线 l:x= 4 的距离,e= 3 .

d

3

2

∴|PF|=ed= 3 d. 2

∴|PA|+ 2 |PF|=|PA|+ 2 · 3 d.

3

32

∴|PA|+ 2 |PF|=|PA|+d,则求|PA|+ 2 |PF|的最小值:在双曲线上求一点 P,使 P 到 A 的距

3

3

离与到右准线 l:x= 4 的距离之和最小,如题图,由平面几何的知识知道,从直线外一点向 3

该直线所引的线段中,垂线段最短,从而过点 A 向右准线 l:x= 4 作垂线AB,交双曲线于 3

P 点,此时|PA|+d 最小,即|PA|+ 2 |PF|最小,最小值为垂线段 AB 的长,易求|AB|= 8 ,故

3

3

|PA|+ 2 |PF|的最小值为 8 .

3

3

15.已知点 M(-2,0)、N(2,0),动点 P 满足条件|PM|-|PN|=22.记动点 P 的轨迹为 W.

(1)求 W 的方程;

(2)若 A、B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA · OB 的最小值.

解法一:(1)由|PM|-|PN|=2 2 知动点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长

a= 2 .

又半焦距 c=2,故虚半轴长 b= c2 ? a2 ? 2 .

4

所以 W 的方程为 x 2 ? y 2 =1,x≥ 2 . 22
(2)设 A、B 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 当 AB⊥x 轴时,x1=x2,y1=-y2.

从而 OA · OB =x1x2+y1y2=x12-y12=2.
当 AB 与 x 轴 不垂 直时, 设直 线 AB 的 方程为 y=kx+m, 与 W 的 方程 联立, 消去 y 得 (1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.



x1+x2=

2km 1? k2

,x1x2=

m2 k2

?2 ?1

.

所以 OA · OB =x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

= (1 ? k 2 )(m2 ? 2) ? 2k 2m2 ? m2

k2 ?1

1? k2

=

2k 2 k2

?2 ?1

?

2

?

k

4 2 ?1

.

又因为 x1x2>0,所以 k2-1>0,从而 OA · OB >2.

综上,当 AB⊥x 轴时, OA · OB 取得最小值 2.
解法二:(1)同解法一. (2)设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则 xi2-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2). 令 si=xi+yi,ti=xi-yi, 则 siti=-2,且 si>0,ti>0(i=1,2),所以

OA · OB =x1x2+y1y2

= 1 (s1+t1)(s2+t2)+ 1 (s1-t1)(s2-t2)

4

4

= 1 s1s2+ 1 t1t2≥ 22

s1s2t1t2 =2.

当且仅当

s1s2=t1t2,即

? ? ?

x1 y1

? ?

x2 , ? y2

时“=”成立.

所以 OA · OB 的最小值是 2.

5


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