伤城文章网 >  > 2019【全国百强校】上海市延安中学高二数学下册课件:12.5双曲线及其标准方程1教育精品.ppt_图文

2019【全国百强校】上海市延安中学高二数学下册课件:12.5双曲线及其标准方程1教育精品.ppt_图文


12.5 双曲线及其标准方程
反比例函数图像

生活中的双曲线

双曲线型自然通风冷却塔

金沙江上的溪落渡水电站: 双曲拱坝

实验:
? 取一条拉链,拉开它的一部分,在 拉开的一边上取其端点,在另一边 的中间部分取一点,分别固定在 F1、F2 两点处,使一边比另一边 多出 。
拉链画双曲线(xin).gsp

定义:

平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值

等双于曲常线数. 2a(大于0,小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做M ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;

② |F1F2|=2c ——焦距.

F
1

oF
2

思 考

(1)为什么要有2a大于0小于︱F1F2︱?

(2)若2a等于0呢?

线段F1F2的中垂线

? (3)若2a等于︱F1F2︱呢? 以F1、F2为端点的两条射线

(4)若2a大于︱F1 F2︱呢? 无轨迹

1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴,线 段F1如F2何的求中这点条为曲原线点的建方立程直?角
坐标系 2.设点.设M(x , y),双曲线的焦

距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0)

F1

常数=2a

3.列式.|MF1| - |MF2|= ?2a

y
M
o F2 x

即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.

(x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? ?2a

? ? ? ? 2

2

(x ? c)2 ? y2 ? ? 2a ? (x ? c)2 ? y2

y

M

F1 o

x
F2

cx ? a 2 ? ?a (x ? c)2 ? y 2

(c2 ? a 2)x2 ? a 2 y2 ? a 2(c2 ? a 2)

b2 ? c2 ? a2

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

0,b

?

0)

双曲线的标准方程

y

y

M

M

F
1

OF
2

x

F2 x
O
F1

x2 ? y2 ?1 a2 b2
(a ? 0,b ? 0)

y2 a2

?

x2 b2

?1

(a ? 0,b ? 0)

定义 图象

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)

y

y

M

M

F2

F1 o F2 x

x
F1

方程 焦点
a.b.c 的关系 确定焦点位置

x2 a2

?

y2 b2

?1

F ( ±c, 0)

y2 a2

?

x2 b2

?1

F(0, ± c)

c2 ? a2 ? b2
看系数正负,右边等于1时,哪个系数正, 焦点就在对应坐标轴上

? 例题1(补充):判断下列方程是否表示双曲线, 若是,求出其焦点的坐标.

1) x2 ? y2 ? 1 42
焦点 ( 6,0)(? 6,0)

2) x2 ? y2 ? 1 22
(?2,0)(2,0)

x2 y2 3) ? ? ?1
42
焦点 (0, 6)(0,? 6)

4)4 y2 ? 9x2 ? 36
(0, 13)(0,? 13)

2表.示(双补曲充线),填则空的:取已值知范方围程是2

x2 ?m

? y2 ?1
;m 若?1表

示焦点在x轴上的双曲线,则的取值范围



.

结论:若 x2 ? y2 ? 1表示双曲线,则mn>0 mn

练习:若 x2 ? y2 ? 1表示双曲线,则m ? ______ m m?1

例2已知点M (x,y)到点F1(-3,0)的距离与它到点F2(3,0)的 距离的差的绝对值等于4,求点M的轨迹方程.
变式:1.去掉绝对值三字结果有什么变化? 2.把4改为6 结果又有何变化? 3.若不知道焦点坐标,只知道焦距为6?

解:据题意得,所求轨迹是双曲线,且焦点在 x 轴上。

设它的标准方程为:

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a ? 0,b ? 0)

∵ 2a =4, c=3

∴ a = 2, c = 3 ∴ b2 = 32-22 =5
所以轨迹方程为:x2 ? y2 ? 1 45

例3.已知双曲线的焦点在y轴上,并且两点P1 (3,?4 2 ) 、

P2 (9/4 ,5)在双曲线上,求双曲线的标准方程。

解:由题意可设双曲线方程为 y2 a2

x2 ? b2

? 1(a

?

0,b ?

0)

把点P1,P2坐标代入得

?(?4 2)2

? ?

a2

9 ? b2

?1

?

?25

? ?

a2

?

( 9 )2 4 b2

?1

?a2 ? 16 ? ??b2 ? 9

所以所求双曲线的标准方程为

y2 16

?

x2 9

?1

变式:若去掉焦点在y轴上的条件,如何?

结论
1.用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤: (1) 确定焦点所在位置 (2) 求a,b的值
2.已知双曲线过两点,而又不能确定其焦点位置时,可 不讨论而设方程为mx2-ny2=1(mn>0),避免讨论.

小结
1、双曲线的定义(注意定义中的条件) 2、双曲线的标准方程(注意焦点的位置 与方程形式的关系)

双曲线与椭圆之间的区别与联系:

椭圆

定义 方程

|MF1|+|MF2|=2a

x2 a2

+

y2 b2

=

1

y2 a2

+

x2 b2

=1

焦点

F(±c,0) F(0,±c)

a.b.c 的关系 a>b>0,a2=b2+c2

双曲线

||MF1|-|MF2||=2a

x2 a2

-

y2 b2

=

1

y2 a2

-

x2 b2

=

1

F(±c,0) F(0,±c)

a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2


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