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【名校使用】2014高考(文)复习资料:4-4数系的扩充与复数的引入


第4课时 数系的扩充与复数的引入

聚 焦 考 向 透 析

1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

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【知识梳理】 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和
虚部. b=0,则 a+bi 为实数,若 b≠0,则 a+bi 为虚数,若a= 若
0,b≠0 ,则 a+bi 为纯虚数.
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(2)复数相等:a+bi=c+di? a=c,b=d (a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭? a=c,b=-d (a,b,c,d∈R).

(4)复数的模 → 向量 OZ 的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+ bi|,即|z|=|a+bi|= 2.复数的四则运算 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1·2=(a+bi)· z (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 a+bi ?a+bi??c-di? ac+bd bc-ad (4)除法: = = = + z2 c+di ?c+di??c-di? c2+d2 c2+d2 .
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3.复数的几何表示

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复数z=a+bi 面向量 .

复平面内的点 Z(a,b)



【基础自测】 -i 1.(教材改编)复数 (i是虚数单位)的实部是( 1+2i 1 A. 5 1 C.- i 5 答案:D 1 B.- 5 2 D.- 5 )
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z 2.(课本精选题)已知 =3-i,则复数z的实部为( 1+i A.4 C.2 答案:A B.-4 D.-2

)

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7+i 3.(教材改编)复数 z= ,其中 i 为虚数单位,则|z|等于( 3+4i A.1 C.2 答案:B B. 2 D.5

)

4.(教材改编)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为________.
?a2-3a+2=0 ? 解析:? ?a-1≠0 ?

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,∴a=2.

答案:2

2i 5.(2013· 徐州模拟)在复平面内,复数 对应的点的坐标为 1-i ________. 2i 2i?1+i? 解析: = =-1+i. 2 1-i 答案:(-1,1),

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◆一种转化 复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方 法,其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质. ◆两个轴 实轴、虚轴:在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴 上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数. ◆四种结果 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.
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考向一

复数的有关概念

1+ai (1)(2011· 高考安徽卷)设i是虚数单位,复数 为纯虚数, 2-i 则实数a为( A.2 1 C.- 2 ) B.-2 1 D. 2

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(2)(2012· 高考江西卷)若复数z=1+i(i为虚数单位), z 是z的共轭 复数,则z2+ z 2的虚部为( A.0 C.1 【审题视点】 ) B.-1 D.-2 (1)化简后,利用纯虚数的概念求a.
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(2)写出 z 后计算.

【解析】 数.

1+ai ?1+ai??2+i? ?2-a?+?2a+1?i (1) = = 为纯虚 5 2-i ?2-i??2+i?
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∴2-a=0,a=2. (2)利用复数运算法则求解. ∵z=1+i,∴ z =1-i,z2+ z 2=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0. 【答案】 (1)A (2)A

【方法总结】 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为 复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形 式,列出实部、虚部满足的方程即可.

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11-7i 1. (2012· 高考江苏卷)设 a,b∈R,a+bi= (i 为虚数单位), 1-2i 则 a+b 的值为________. 11-7i 解析:化 为标准形式,利用复数相等,求出 a,b. 1-2i 11-7i ?11-7i??1+2i? 1 ∵ = = (25+15i)=5+3i,∴a=5,b=3, 1-2i ?1-2i??1+2i? 5 ∴a+b=5+3=8. 答案:8
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考向二

复数的几何意义
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2-i (1)(2011· 高考山东卷)复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对 2+i 应的点所在象限为( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

1-i a (2)(2013· 豫东、豫北十校测试)设 a 是实数,若复数 + (i 2 1-i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线 x+y=0 上,则实数 a 的值 是( ) A.-1 C.1 B.0 D.2
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【审题视点】 把复数化简为 a+bi,找出对应点的坐标(a,b).

【解析】

2-i ?2-i?2 3 4 (1)z= = = - i, 2+i ?2+i??2-i? 5 5

?3 4? 它在复平面内对应的点为?5,-5?. ? ?

1-i a?1+i? 1-i a+1 a-1 a (2)依题意得, + = + = + i,其在 2 2 2 2 2 1-i
?a+1 a-1? a+1 a-1 ? ,于是有 复平面内对应的点的坐标是 ? + =0, , 2 2 2 2 ? ?

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解得a=0,选B. 【答案】 (1)D (2)B

【方法总结】 系外,还要注意

除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关

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(1)|z|=|z-0|=a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a; (2)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.

1 2.(2013· 北京海淀二模)复数1+ 在复平面上对应的点的坐标是 i ( ) A.(1,1) C.(-1,-1) B.(-1,1) D.(1,-1)
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1 解析:因为1+ =1-i,所以它在复平面上对应点的坐标为 i (1,-1).故选D. 答案:D

考向三

复数的代数运算 )
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(1)(2012· 高考安徽卷)复数z满足(z-i)(2-i)=5,则z=( A.-2-2i C.2-2i B.-2+2i D.2+2i

(2)(2011· 高考大纲全国卷)复数z=1+i, z 为z的共轭复数,则 z z -z-1=( A.-2i C.i ) B.-i D.2i

i2+i3+i4 (3)(2011· 高考重庆卷)复数 =( 1-i 1 1 A.- - i 2 2 1 1 C. - i 2 2 【审题视点】

)
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1 1 B.- + i 2 2 1 1 D. + i 2 2 转化为复数除法或乘法,或者 i 的性质计算.

【解析】 (2) z =1-i

5 (1)∵z-i= =2+i,∴z=2+2i,故选D. 2-i
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∴z z -z-1=(1+i)(1-i)-(1+i)-1 =2-1-i-1=-i. i2+i3+i4 -i -i?1+i? 1 1 (3) = = = - i. 2 2 2 1-i 1-i 【答案】 (1)D (2)B (3)C

【方法总结】

(1)复数的代数运算技巧

复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i 的看作一类,不含i的看作另一类,分别合并即可,但要注意把i的 幂写成最简单的形式,在运算过程中,要熟悉i的特点及熟练应用运 算技巧.

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(2)几个常用结论 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度. 1+i 1-i (1)(1± =± i) 2i; =i; =-i; 1-i 1+i
2
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(2)-b+ai=i(a+bi); (3)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i;i4n+i4n 1+i4n 2+ i4n+3=0,n∈N*.
+ + + + +

2 3.(1)(2012· 高考课标全国卷)下面是关于复数z= 的四个 -1+i 命题: p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z的共轭复数为1+i, p4:z的虚部为-1. 其中的真命题为( A.p2,p3 C.p2,p4 ) B.p1,p2 D.p3,p4
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?1+i? ? ?2 013 (2)(2013· 临沂模拟)i 为虚数单位,则? =( 1-i? ? ?

)

A.-i C.i

B.-1 D.1
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2?-1-i? 2 解析:(1)z= = =-1-i,所以|z|= 2, -1+i ?-1+i??-1-i? p1 为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2 为真命题; z =-1+i, p3 为假命题;p4 为真命题.故选 C.
?1+i? ?2 013 (2)? =i2 013=i. ?1-i? ? ?

答案:(1)C (2)C

复数问题的实数化思想

(2011· 高考陕西卷)设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N=
? ?? 1? ?x??x- ?< i? ? ?? ? 2,i为虚数单位,x∈R? ?

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,则M∩N为(

)

A.(0,1) C.[0,1)

B.(0,1] D.[0,1]

【解题指南】

集合 M 为函数值域,N 为不等式的解集,其中
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? 1? ?x- ?为复数的模,弄清集合的元素是解题的关键. i? ?

【解析】 ∵y=|cos2x-sin2x|=|cos 2x|∈[0,1],所以 M=[0,1],
? 1? 又∵?x- i ?< ? ?

2?|x+i|< 2? x2+1< 2?x2+1<2?-1<

x<1,∴N=(-1,1),M∩N=[0,1),故选 C. 【答案】 C

阅卷点评 把复数的运算结合集合的运算出题. 创新点拨 本题的创新点如下: 不同于以往的复数高考题,不是单独考查复数的基本知识,而 是和三角函数、不等式、集合相交汇出题,综合性较大,是高考题 的一个新动向. 备考建议 解决复数的综合问题在备考时要高度关注: (1)掌握好复数的有关概念、复数的运算法则,是解答该类题的 关键. (2)对于复数综合题只要明确复数在其中的作用即可.
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-1+3i 1.(2012· 高考大纲全国卷)复数 =( 1+i A.2+i C.1+2i B.2-i D.1-2i

)

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-1+3i ?-1+3i??1-i? ?-1+3?+4i 解析: = = =1+2i,故选C. 2 1+i ?1+i??1-i? 答案:C

2.(2012· 高考山东卷)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单 位),则z为( A.3+5i C.-3+5i ) B.3-5i D.-3-5i
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11+7i ?11+7i??2+i? 15+25i 解析:由题意知z= = = 5 2-i ?2-i??2+i? =3+5i.故选A. 答案:A

3.(2012· 高考重庆卷)若(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,b∈R,i 为虚数单位,则a+b=________.
?a=1, ? 解析:∵(1+i)(2+i)=a+bi?1+3i=a+bi,∴ ? ?b=3 ?
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?a+

b=4. 答案:4

4.(2012· 高考湖南卷)已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位),则|z|= ________. 解析:(方法一)根据|z|2=|z2|求解. ∵z=(3+i)2,∴|z|=|(3+i)2|=|3+i|2=10. (方法二)将z化简后再根据复数模的求法求解. ∵z=(3+i)2=9+6i+i2=8+6i ∴|z|= 82+62=10. 答案:10
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