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导数专项训练及答案


导数专项训练 例题讲解 【1】导数的几何意义及切线方程

1.已知函数

f

(x)

?

a x



x

? 1 处的导数为

?2

,则实数 a

的值是________.

2. 曲线 y=3x-x3 上过点 A(2,-2)的切线方程为___________________.

3. 曲线 y ? 1 和 y ? x 2 在它们的交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是 . x
4.若直线 y=kx-3 与曲线 y=2lnx 相切,则实数 k=_______.

5.已知直线 y ? x ? 2 与曲线 y ? ln?x ? a?相切,则 a 的值为 _______.

6. 等比数列{an} 中, a1 ? 1, a2012 ? 9 ,函数 f (x) ? x(x ? a1)(x ? a2 ) (x ? a2012 ) ? 2 ,则曲线
y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为_____________. 7.若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上的任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为________. 8. 若点 P、Q 分别在函数 y=ex和函数 y=lnx 的图象上,则 P、Q 两点间的距离的最小值是_____. 9. 已知存在实数 a ,满足对任意的实数 b ,直线 y ? ?x ? b 都不是曲线 y ? x3 ? 3ax 的切线,则 实数 a 的取值范围是_________. 10. 若关于 x 的方程 ex ? 3x ? kx 有四个实数根,则实数 k 的取值范围是_____________. 11. 函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1, c)处具有公 共切线,则 c 的值是___________.

【2】常见函数的导数及复合函数的导数

1.f(x)=2

? ?

e

x 2

?

?
e

x 2

? ?

,

则 f’(2) =______.

?

?

2. 设曲线 y = ln x 在点(1, 0)处的切线与直线 x-ay+1=0 垂直,则 a=_______.

x ?1

3.函数 f (x) ? (x3 ?1)(x3 ? 2) (x3 ?100) 在 x ? ?1处的导数值为___________.

4. 已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是

____________.

? ? 5. 若函数 f (x) ? xn?1 n? N* 的图像与直线 x ? 1 交于点 P ,且在点 P 处的切线与 x 轴交点

的横坐标为 xn ,则 log2013 x1 ? log2013 x2 ? log2013 x3 ? ? log2013 x2012 的值为



6. 设 f1(x)=cos x,定义 f n?1 (x) 为 f n (x) 的导数,即 f n?1 (x) ? f 'n (x) , n ? N * ,若 ?ABC的

内角 A 满足 f1(A) ? f2( A) ?
【3】导数与函数的单调性

?

f

(
2013

A)

?

0 ,则 sin A 的值是______.

1. 函数 y ? 1 x2 ? ln x 的单调递减区间为______. 2

2.

已知函数

f (x) ? ln x(a ? R) ,若任意 x1、x2 ?[2,3] 且 x2

?

x1 ,t =

f ? x2 ? ? f (x1) ,则实数 t
x2 ? x1

的取值范围____________.

3. 已知函数 f(x)=x3-6x2+9x+a 在 x?R 上有三个零点,则实数 a 的取值范是



4.设 f '(x) 和 g '(x) 分别是 f (x)和 g(x) 的导函数,若 f '(x)g '(x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f(x)

和 g(x)在区间 I 上单调性相反.若函数 f(x)= 1 x3 ? 2ax 与 g(x)=x2+2bx 在开区间(a, b)上单调性 3

相反(a>0),则 b-a 的最大值为



【4】导数与函数的极值、最值

1. 已知函数 f (x) ? x3 ? 3mx2 ? nx ? m2 在 x ? ?1 时有极值 0,则 m ? n ?



2. 已知函数 f (x) ? 2 f ?(1) ln x ? x ,则 f (x) 的极大值为

.

3. 已知函数 f(x)=x4+ax3+2x2+b,其中 a, b?R .若函数 f(x)仅在 x=0 处有极值,则 a 的取值范
围是______________.

4. 设曲线 y ? (ax ?1)ex 在点 A?x0 , y1 ?处的切线为 l1 ,曲线 y ? ?1 ? x?e?x 在点 B(x0, y2 ) 处的切

线为

l2

.若存在

x0

?

???0,

3 2

? ??

,使得

l1

?

l2

,则实数

a

的取值范围为____________.

5.已知函数 f(x)=ex-1, g(x)= -x2+4x-3 若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为______.

6.

f

'(x) 是函数

f

(x)

?

1 x3 3

? mx2

? (m2

? 1) x

?n

的导函数,若函数

y

?

f[f

'(x)] 在区间[m,

m+1]上单调递减,则实数 m 的取值范围是__________.

【解答题】

1. 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左

右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 80? 立方米,且 l ? 2r .假设该容器的建造 3
费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米

建造费用为 c ?c ? 3? .设该容器的建造费用为 y 千元.

(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域;

(2)求该容器的建造费用最小时的 r

l

rr

rr

2. 已知函数 f(x)= ax2 -(a+2)x+lnx.
(1)当 a=1 时,求曲线 y = f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f (x)在区间[1,e)上的最小值为-2,求 a 的取值范围.
3. 已知函数 f (x) ? (x ? a) ln x ,( a ? 0 ).
(1)当 a ? 0 时,若直线 y ? 2x ? m 与函数 y ? f (x) 的图象相切,求 m 的值;
(2)若 f (x) 在 ?1,2?上是单调减函数,求 a 的最小值; (3)当 x ??1,2e?时, f (x) ? e 恒成立,求实数 a 的取值范围.( e 为自然对数的底).
4.已知函数 f (x) ? ln x ? 2a , a ? R . x
(1)若函数 f (x) 在[2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f (x) 在[1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值.

5.设函数 f (x) ? ex ?1? x ? ax2
(1)若 a ? 0 ,求 f (x) 的单调区间; (2)若当 x ? 0 时 f (x) ? 0 ,求 a 的取值范围

导数专项练习答案

【1】导数的几何意义及切线方程

1. 2;

2. y=-2 或 9x+y-16=0 3.

6. y ? 32012 x ? 2 ; 7. 2;

8.

11. 4

【2】常见函数的导数及复合函数的导数

1.

e-

1 e

;

2.

?

1 2

3. 3 ? 99!

3;

4. 2 e;

4

2;

9.

a? 1 3

4. 2x-y-1=0; 5. -1 ;

5. 3;
10. ?0,3 ? e?
6. 1;

【3】导数与函数的单调性

1. (0, 1);

2.

? ??

1 3

,

1 2

? ??

;

3. (-4, 0);

1 4. 2

【4】导数与函数的极值、最值

1. 11;

2. 2ln2-2;

3.

????

8 3

,

8? 3 ??

;

4.

1? a ?

3 2

;

5. ?1,3? ; 6. m ? 0

[5] 解答题

1. 答案

解:(1)由题意可知? r2l

?

4 ? r3 3

?

80 ? 3

?l

?

2r ?

,即 l

?

80 3r 2

?

4 3

r

?

2r

,则 0

?

r

?

2.

容器的建造费用为

y

?

2? rl ? 3 ?

4? r2

?c

?

6? r

? ??

80 3r 2

?

4 3

r

? ??

?

4? r2c

,

? ? 即 y ? 160? ? 8? r2 ? 4? r2c ,定义域为 x 0 ? r ? 2 .
r

(2)

y?

?

?

160? r2

?16? r ? 8? rc ,令

y? ?

0 ,得 r

?

3

20 c?2

.

3
令r ?

20

? 2 ,得 c ? 9 ,

c?2

2

①当 3 ? c ? 9 时, 3 20 ? 2 ,当 0 ? r ? 2 时, y? ? 0 ,函数单调递减,∴当 r ? 2 时 y 2 c?2
有最小值;

②当 c ? 9 时, 3

20

3
? 2 ,当 0 ? r ?

20

3
时, y? ? 0 ;当 r ?

20

时, y? ? 0 ,

2 c?2

c?2

c?2

3
∴当 r ?

20

时 y 有最小值.

c?2

综上所述,当 3 ? c ? 9 时,建造费用最小时 r ? 2 ;当 c ? 9 时,建造费用最小时 r ? 3 20

2

2

c?2

2. 答案

(2)函数f ? x? ? ax2 ? ?a ? 2? x ? ln x的定义域是?0,+??,

当a ? 0时,f ?? x? ? 2ax ? ?a ? 2? ? 1 ? 2ax2 ? ?a ? 2? ?1? x ? 0?......5分

x

x

令f ?? x? ? 0,即f ?? x? ? 2ax2 ? ?a ? 2? ?1 = ?2x ?1??ax ?1? ? 0,

x

x

所以x ? 1 或x ? 1 .???.............................................................6分

2

a

3. 解答 4.

① 若 2a ? 1,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?(x) ? 0 在[1, e] 上恒成立,此时 f (x) 在[1, e] 上是
增函数.
5. 解答


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