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图形计算器校本教材


第一讲
[我们将学到什么]

幂函数

通过对幂函数的研究,理解、掌握幂函数的图象与性质,并掌握研究幂函数的一般方法; [为什么学习本讲内容] 学会分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法,提高归纳与概括的能力;能够 培养积极思考,通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度;体会从特殊到一般的 思维过程.也在学习的过程中体会信息技术让研究有了落脚点,信息技术让数学更加真实有趣。
问题一: 阅读教材 P77 的具体实例(1)--(5),思考下列问题

子问题 1:它们的对应法则分别是什么? 子问题 2:以上问题中的函数有什么共同特征? 子问题 3:共同辨析这种新函数与指数函数的有什么不同?. 子问题 4:给新函数命名,明确研究对象。 问题二:幂函数的共同规律是什么? (一)动手操作,初次探究: 在这个环节中引导学生先共同研究引例中的幂函数, 讨论 a=1,2,3,1/2,-1 时的情形。 利用图 形计算器通过画图,探究它们的图象与性质.并将自己的探究结果记录在表格中,在研究过程中, 分别记录它们的图象与性质,分析归纳总结其中之间联系,并在探究过程中对幂指数的作用进行 了初步的探索.

1

(二) 深入探究,归纳分类
在这一环节中教师请学生尝试不同的幂函数,小组为单位,分类的方式,将他们研究的幂函数从形态上看 不同的图象分别画到黑板上,在学生的相互补充、教师的及时纠错和引导下,最终得到了九种不同形态的图象. 由教师补充了学生遗漏的 y=x 的图象,最后黑板上一共展示了十种不同形态的幂函数的图象.

心理学告诉我们:“兴趣是人们对事物的选择性态度,是积极认识某种事物或参加某种活动 的心理倾向.它是学生积极获取知识形成技能的重要动力.” 兴趣之根本在于它是使得学生知识 的形成是主动式的,而非传统的被动式形成;其次是使用图形计算器更能直观、形象、动态的展 示知识的形成过程,在解决某些数学问题时,有利于启迪学生的思维,让学生去寻找解决问题的 途径和方法。 (三)总结提练、提高能力 子问题 5:在得到了十种不同形态的图象后,教师指出,幂函数的情况比指数函数和对数函 数的情况复杂得多,继而提出问题:我们该如何去把握幂函数的图象呢? 1.学生提出根据幂指数的不同范围分 α >1,0<α <1,-1<α <0,α <-1 几类,进行讨论.在这 个环节中针对学生出现的几个问题,教师进行了适当引导,并且在这个过程中有效地突破了本节 课的教学难点: (1)学生回答当 α >1 时,幂函数的图象具有相同的共性. 此时教师引导学生观察图象,说明 α >1 时的几个幂函数的图象形态并不相同.进一步引导学 生发现实际上它们在第一象限图象的形态是一样的.从而提出实际上由于函数的奇偶性, 我们

2

只需考虑幂函数在第一象限内的图象规律即可,这样就大大简化了讨论的过程,这也是本节 课的教学难点. (2)在共同讨论-1<α <0 和 α <-1 时幂函数的图象时,发现它们在第一象限图象从形态上来 看没有差异, 指出对幂函数图象的讨论只需分 α >1, 0<α <1,α <0,α =1,α =0 这几种情况即可. 2.对幂函数在第一象限图象的归纳 在这一环节中教师引导学生将幂函数在第一象限不同形态的图象画出来,并请一名学生将图 象画到黑板上,通过对学生所画图象的纠错与分析和学生共同归纳出幂函数在第一象限的图象与 性质:

成果展示: (四)验收成果,分享喜悦

子问题 6.画出

的草图.

在这一环节中,教师首先选择了学生在课堂初始时举出的一个幂函数: 导学生画出函数的图象.

作为例子,引

3

通过此例使学生进一步熟悉一般幂函数的研究方法与过程:先将分数指数幂化为根式,确定 函数定义域,再根据解析式确定函数奇偶性,最后根据第一象限函数的图象特征确定函数图象. 子问题 7.寻找一个幂函数使其图象类似于 y=x2 的图象.

学生回答 y=x4,y=x10,教师引导学生寻找幂指数为分数的情形,学生给出了 通过画

这个函数.

的图象,进一步巩固了研究幂函数的一般方法,以及幂函数图象的特征.

通过这一环节,进一步明确了研究幂函数的一般方法与过程,同时也是本节课教学效果的一 个反馈. (五)回归生活,延时探究 研究 1.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四次方成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速率为 400cm3/s,求该气体通过半径为 r 的管道时,其 流量速率 R 的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5cm,计算该气体的流量速率. 研究 2.1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的平均增长率为 x%,2008 年底世界人口数为 y (亿),写出: (1)1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界人口数; (2)2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式.

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第二讲

函数 y ? A sin(?x ? ? )? A ? 0, ? ? 0? 的图象

[我们将学到什么] 结合物理中的简谐振动,了解 y ? A sin(?x ? ? )? A ? 0, ? ? 0? 的实际意义;了解三角函数图象 各种变换的实质和内在规律. [为什么学习本讲内容] 让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用, 体验各种变换的内在联系, 提高学生的分 析问题和解决问题的能力;在研究各种变换的过程中, 让学生体验由简单到复杂、 由特殊到一般的 化归思想. 通过合作学习,培养学生团结协作的精神. 问题一: 用“五点法”在同一坐标系用不同颜色的线画出下列几组函数的图象(要求有列表过程) : (1) y ? sin x ,y=2sin x ,y= sin x (2) y ? sin x ,y=sin( x +
? ? ),y=sin( x ? ) 4 3
1 2 1 2

(3) y ? sin x ,y=sin2 x ,y=sin

x

[设计意图]通过作三组不同函数的图象,进一步体会“五点法”作函数图象的基本方法 ,同时为本节课的图象 变换做好准备.

问题二: y ? A sin(?x ? ? )? A ? 0, ? ? 0? 与 y ? sin x 有何关系? 一.创设情境,呈现问题 1.借助 PPT 演示物理实例: 简谐振动中,位移与时间的关系 y ? A sin(?x ? ? )? A ? 0, ? ? 0? 2.介绍其中几个量的物理意义 A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离,称为振动的振幅;
T? 2? 是往复振动一次所需的时间,称为振动的周期; ? 1 ? f ? ? 是单位时间内往复振动的次数,称为振动的频率; T 2?

?x ? ? 称为相位, x =0 的相位 ? 称为初相.

5

问 题 : 函 数 y ? s i nx 就 是 y ? A sin ? ( x ? ? )? A ? 0, ? ? 0? 在 A=1, ? ? 1, ? ? 0 时 的 特 殊 情 况 , 在
A ? 1, ? ? 1, ? ? 0 时函数 y ? A sin(?x ? ? )? A ? 0, ? ? 0? 的图象与 y ? sin x 的图象有何关系?

[设计意图]结合生活中简谐振动创设问题情境 ,加强数学与物理学科的联系 ,让学生体会到数学 的应用价值. y ? sin x 为 y ? A sin(?x ? ? )? A ? 0, ? ? 0? 的特殊情况引起学生的探究兴趣,通过设置 问题,引起认知冲突,激发求知欲望. 二.互助探究,感受规律(分组讨论,寻求一般规律,每组选派代表汇报“研究成果”) .初步认识 问题 1

A 对图象的影响:
1 sin x 三者图象之间的联系. 2

寻找函数 y ? sin x , y ? 2 sin x , y ? 学生活动

(1)组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.

(2)借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受 y ? A sin x ( A ? 0) 的变化过程.

通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律: 一般地,函数 y ? Asin x( A ? 0, A ? 1) 的图象,可以看做是将函数 y ? sin x 图象上所有点的 纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍 (横坐标不变) 而得到的. 易知, 函数函数 y ? A sin x

6

的值域为 [? A, A] . 问题 2: ? 对图象的影响

?? ?? ? ? 寻找函数 y ? sin x , y ? sin ? x ? ? , y ? sin ? x ? ? ,三者图象之间的联系. 3? 4? ? ?
学生活动 (1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.

(2)引导学生借助图象上的对应变化点横坐标之间的对应关系理解图象平移变换的实质 (3)借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受 y ? sin(x ? ? ) 的变化过程.

通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律: 一般地, 函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象, 可以看做是将函数 y ? sin x 图象上所有点向左( ? ? 0 ) 或向右( ? ? 0 )平移 ? 个单位而得到的. 问题 3

? 对图象的影响:
1 2

寻找函数三者 y ? sin x ,y=sin2 x ,y=sin 学生活动

x 图象之间的联系.

7

(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.

(2)引导学生借助图象上对应变化点的坐标之间对应关系,理解图象周期变换的实质: (3)借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受 y ? sin ?x 的变化过程.

通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律: 一般地,函数 y ? sin?x(? ? 0且? ? 1) 的图象,可以看做是将函数 y ? sin x 图象上所有点 的横坐标缩短(ω >1)或伸长(0<ω <1)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变)而得到的.

[设计意图]将 A, ? , ? 对图象变换的影响进行分解,问题提出后,教师不急于讲解,而是有学生合作解决,教师适 当引导.在探究过程中注重借助图形计算器辅助思维,并通过前后坐标的变化理解图象变换的实质.

.深入探索 问题 4(难点突破) (1)函数 y ? sin 2 x 通过怎样变换可以得到函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象?

(2) 将函数 y=sin(2 x +

? ? )的图象向右平移 个单位,所得到的图象的函数解析式为 3 3

(3)一般地,函数 y ? sin(?x ? ? )?? ? 0, ? ? 0? 的图象,可以看做是将函数 y ? sin ?x 图象上所有点 ( ? ? 0 )或 ( ? ? 0 )平移 个单位而得到的.
8

(4)函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象通过怎样的变换可以得到函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象?

[设计意图]周期变换和相位变换的不同顺序对图象的影响是本课的难点 . 不能广而告之, 鼓励学生在提出猜 想的基础上,充分经历图象变换过程,共同发现规律,总结一般性结论,自然流畅,易于接受理解,从而突破难点.

三.典例分析,形成能力 例 若函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) ,x?R 表示一个振动量:

(1)求这个振动的振幅,周期,初相; (2)不用计算机和图形计算器,画出该函数的图象. 解:(1) 函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 的振幅为 3,初相为 ?
? 则x= 3

?
3

,周期为 ? .

(2)方法一“五点法”周期 T=?,令 X=2 x 列表

X?

3 ? x?? 2 2 6

?

x
2 x? 3

? 6
0
? ) 3

5? 12
? 2

2? 3

11? 12
3? 2

7? 6

? 0

2? 0

3sin(2 x -

0

3

-3

作图
y=3sin(2x- ? y
3

)
y=sin(2x- ?
3

0

1 ?? 16

)

y=sin(x- ?

3

)

x

9

方法二(先周期后相位) 作出正弦曲线, 并将曲线上每一点的横坐标变为原来的 图象;再将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 函数 y ? sin( 2 x ?
y ? 3 sin( 2 x ? 1 倍 (纵坐标不变) , 得到函数 y ? sin 2 x 的 2

?
3

? ? 个单位长度,得到函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象;再将 3 6

) 的图象上每一点的纵坐标变为原来的 3 倍(横坐标不变) ,即可得到函数

?
3

) 的图象.

y ? sin x ? y ? sin 2 x ? y ? sin( 2 x ?

?
3

) ? y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

)

方法三(先相位后周期)

? ? 个单位长度,得到函数 y ? sin( x ? ) 的图象;再将函数 3 3 ? 1 ? y ? sin( x ? ) 图象上每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin( 2 x ? ) 的 3 2 3 ? 图象;再将函数 y ? sin( 2 x ? ) 图象上每一点的纵坐标变为原来的 3 倍(横坐标不变) ,即可得到 3 ? 函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象. 3 ? ? ? y ? sin x ? y ? sin( x ? ) ? y ? sin( 2 x ? ) ? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3 3 3
作出正弦曲线,并将其向右平移
[设计意图]互动探究部分将 A, ? , ? 三元素对图象变换的影响进行分解,本环节通过例题让学生体会三者结合 对图象变化的作用,并着重分析先周期后相位与先相位后周期在图象变换过程中的注意点.

四.总结提炼\提高能力 1. “五点法”作图 2.图形变换过程 两种方法殊途同归
作 y=sinx(长度为 2?的某闭区间) 沿 x 轴平 移|φ |个单位 得 y=sin(x+φ ) 横坐标伸 长或缩短 得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短 横坐标 伸长或缩短 得 y=sinω x 沿 x 轴平 移|

? |个单位 ?

得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短

得 y=Asin(ω x+φ )的图象,先在一 个周期闭区间上再扩充到 R 上
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总结参数 A,ω ,φ 函数 y=Asin(ω x+φ )的影响. (1)振幅变化,由 A 的变化引起; (2)周期变化,由ω 的变化引起; (3)相位变化,由

? 或 ? 的变化引起. ?

[设计意图]引导学生从知识和方法两个方面进行小结.培养学生及时总结,概括提升的能力,为在 课后能继续独立探究思考埋下伏笔. 五.延时探究 问题 1 函数 y ? sin x 的图象通过怎样的变换可以得到函数 y ? cos3x ? sin 3x 的图象? 问题 2 问题 3 函数 y ? f ( x) 的图象经过怎样的变换可以得到 y ? f (2 x ? 3) 的图象? 阅读书后链接内容并通过网络了解三角函数知识在简谐运动 ,波的传播,交流电中的应 用;
[设计意图]通过阅读让学生了解数学学科与人类社会发展间的相互关系 ,体会数学的科学价值和应用价值;通 过思考题使知识更加完整,落实知识的掌握与思想方法的理解.

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第三讲
[我们将学到什么]

三角函数模型的简单应用

进一步熟悉函数 y ? A sin ??x ? ? ?的图像和性质, 并会运用它解决有关具有周期运动规律的实 际问题 [为什么学习本讲内容] 由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程,逐步养成运 用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯;进一步提升对函数概念的完整认识,培养用函数 观点综合运用知识解决问题的能力,培养理论与实践相结合,用科学、辩证的眼光观察事物, 进而抓住事物的本质; 问题一: 弹簧振子的振动是简谐振动。下表给出了振子在完成一次振动过程中的时间 t 与位移 s 之间的对 应数据。 t 0 1 2 3 4 5 6 s -20 -17.8 -10.1 -0.1 10.3 17.7 20 t 7 8 9 10 11 12 s 17.7 10.3 -0.1 -10.1 -17.8 -20 学生活动 1:你认为根据这些数据可以用什么函数模型刻画? 学生活动 2:你会设计什么方案解决这个问题? 学生活动 3:利用图形计算器实施你的方案,并在组内交流。 学生活动 4:反思问题解决的过程和本质是什么,谈谈你的体会。

问题二: (一) 设置情境,呈现问题 情境:圣米切尔山的涨潮、落潮----圣米切尔山是继巴黎铁塔同凡尔赛宫之后,法国第三大 景点。它的最大特点是"在水中央",潮涨时整座山几乎四面环"海",潮退时则一片荒漠。

问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地,早潮叫潮。晚潮叫 汐。在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋。下面是某港
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口在某季节每天的时间与水深关系表:

时刻 水深/米
时刻

0:00 5.0
9:00

3:00 7.5
12:00

6:00

5.0
15:00

水深/米
时刻

2.5
18:00

5.0
21:00

7.5
24:00

水深/米

5.0

2.5

5.0

就数学教育来说,素质教育的一个重要方面是应用意识和创新意识的培养,因此“从实际问 题中抽象出数学模型,进而用模型解决问题”是深化素质教育的重要体现。 (二)探索实践,寻找模型 前苏联教学论专家马赫穆托夫认为“ 问题教学”有两种:教师有意地创设问题情境,组织 学生的探索活动,让学生提出学习问题和解决这些问题(这种做法的问题性水平较高) ;由教师 自己提出这些问题并解决它们, 在此同时向学生说明在该探索情境下的思维逻辑 (这种做法的问 题性水平较低) 。 初步认识 要求探讨问题系列一: (1) 上述的变化过程中, 哪些量在发生变化?哪个是自变量? 哪个是因变量? (2) 大约什么时间港口的水最深?深度约是多少?大约什么 时间港口的水最浅?深度约是多少? (3) 在什么时间范围内,港口的水深增长?在什么时间范围 内,港口的水深减少? (4) 试着用图形描述这个港口从 0 时到 24 时水深的变化情 8 况。 7 (可以徒手画,也可以引导学生将表中的数据输入计算 6 5 器或计算机,画出它们的散点图,进行观察) 4 3 “问题系列一”中的问题较浅显、易回答,其目的在于不仅 2 1 使学生学会用数学的眼光认识自然与社会中存在的问题,而且 0 0 5 10 15 20 25 30 增强学生学好数学的信心,提高学生学习数学的兴趣。 ? 深入探索 要求进一步探讨问题系列二: (5) 选用一个适当的函数(最好是三角函数,但不一定必须是三角函数)来近似描述这个港口 的水深与时间的函数关系,给出整点时间的水深近似值。 (6) 货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4m,安全条例规定至少要有 1.5m 的安全间隙(船 底与洋底的距离) ,该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (7) 若某船的吃水深度为 4m, 安全间隙为 1.5m, 该船在 2:00 开始卸货, 吃水深度以每小时 0.3m 的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 就(5) :让学生进一步在散点图的基础上应用 Excel 的功能绘制不同类型的图表,如平滑线 散点图,折线散点图,三维柱形图,圆锥图,饼图。使学生学会从不同角度感受这些数据的特点, 并整理、提升出较好的函数模型。 ?

13

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 30

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 3 6 9 12 15 18 21 24 系列1

S1 0 3 6 9 12 15 18 21 24

利用三角函数的知识,这个港口的水深与时间的关系可以 ? 用 y ? 5 ? 2.5 sin t , t ? ?0,24 ? 近似描述。 6 就(6) :其数学表达式是 y ? 5.5 ,可用代数方法解此题, 不过最好由图像找近似解(如图) 。

14

12

10

8

f ?x? = 5+2.5 ?sin

?? ? ?
? 6 ?x g?x? = 5.5

6

4

2

5

10

15

20

25

-2

就(7) :在同一坐标系中作出函数 y ? 5.5 ? 0.3(t ? 2) (船呆 在港口需要的最低水深)的图像,找两曲线交点,曲线 y ? 5 ? 2.5 sin

?
6

t , t ? ?0,24 ? 在直线下方时即

不符合要求水深,此时 t 值即为船停止卸货离港时间。 引导学生注意:可参考(5)中已求出的整点时水深值,可以使用计算器。 让学生思考:两个图像的交点对应的 t 值是停止卸货离港的最好时刻吗? “问题系列二”中的问题在“系列一”的基础上逐步加深,从问题的表征向内延深入,再向 外延扩展,揭示数学的应用价值。在多处同时应用代数法和图像法来解题,让学生亲身体验这两 种方法的不同特点,从而提高何时用何种方法更好的判断能力。在多处使用信息技术帮助探究, 提高效率,形象直观,加强感受。
在一系列问题的解答过程中,使学生经历数学建模全过程的学习,提高数据的收集、分析和加以应用的能 力,学会“数学问题的解”应该回到实践中去接受检验,不断地修正和完善,从而得出具有较高精度和一定指 导价值的结论。

(三)回归现实,提出问题 考虑问题的实际意义。如,由模型解出的凌晨进港时间后,如果考虑到安全因素,在稍后的 半小时后进港是较为合适的。再如,在货舱的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货,将船驶 向较深的水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨。 在解决好上述问题之后,一则让学生就此模型再提出一些其它问题,并加以解决;二则让学 生找出现实生活中可能可以用函数模型解决的问题,并试着加以解决。 质疑能力是一个人最宝贵的能力之一,也是创新能力的重要表现。
14

(四)总结提练、提高能力
是否符合实际 修改

现实问题

现实模型的解
还原 说明

改 造

三角函数模型的解
数学 方法

解析式

现实模型

抽象 概括

三角函数模型 图 形

(五)延时探究 请学生分小组对以下的问题或自选问题进行合作探究,并将各组的结果(无论成与败)制成 PPT 在下节课上进行交流。 问题 1 电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的。有的每天播出,有的隔天播出,有的 一周播出一次。请查阅当地的电视节目预告,统计不同栏目的播出周期。 问题 2 请你调查你们地区每天的用电情况,制定一项“消峰平谷”的电价方案。

问题 3 一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的?收集其他有关的数 据并提供理论证据支持你的结论。
这一过程是探究活动在时间上的延续,是对课堂学习的必要补充。

15

第四讲 保持安全车距中的数学问题

[我们将学到什么] 本节课内容的学习,有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活 和其他学科的联系,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识 [为什么学习本课内容] 数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程,已经成为不同此层次数学教育 重要和基本的内容。课标指出,在数学建模活动中,应鼓励学生使用计算机、计算器等工具 8 天的十一长假已过,在人们纷纷感慨出行不易、景区拥挤的时候,一组关于交通事故的数 据更是惊醒众人:十一期间,全国共发生道路交通事故 68422 起,造成 794 人死亡。而这组数据 比之去年同期其实还是下降了的。人们不禁要问难道“高高兴兴出门,平平安安到家”就这么难 吗?相关统计数据表明: “保持安全车距是避免车祸的核心措施之一” ,大家知道前后车之间保持 怎样的距离才能称为安全车距吗?(安全车距与车速有关,不同的车速对应着不同的安全距离, 两车距离>刹车距离才安全)影响刹车距离的最直接因素又是什么呢? 问题一:我们对车速与刹车距离进行分析,明确了它们之间存在一定的数量关系,但是在实 际驾驶过程中我们又不可能时时去查看表格中的数据来确认与前车是否保持了安全车距,特别是 我们手里只有 7 组数据,如果我们想知道以交管部门允许的最高时速 70km/h(约 19.4/s)在城市 道路上行驶,至少应与前车保持多大的距离,该怎么办呢?(画出数据的散点图--拟合散点—建 立函数模型) 车速(m/s) 8.9 13.4 22.4 17.9 35.0 22.4 52.7 26.8 75.6 31.3 104.9 35.8 141.4

刹车距离(m) 12.8 探索实践

散点图

二次回归

16

三次回归

四次回归

指数回归 1

指数回归 问题二:之前给同学们布置了一项作业:搜集与“正常行驶中,如何与前车保持安全车距” 相关的说法、规则或结论,各组同学有什么收获吗?(展示学生搜集到的“正常行驶中,如何与 前车保持安全车距”的相关规则与结论) (一)预案: “一车长度规则” :美国的某些司机培训课程中有这样的规则:在正常驾驶的条件下,车速每 增加 16km/h(即 4.4m/s) ,后车与前车的距离应增加一个车身长度约 4.5m; “2 秒规则” :而另一种所谓计算安全刹车距离的简便方法是“2 秒规则” ,即后车司机从前车 经过某一标志开始默数至少 2 秒钟后到达同一标志,而不管车速如何。 “等时速规则” :还有一种“等时速规则”认为,一般多少公里时速下就保持多少米的跟车距 离,如 80 公里时速,保持 80 米的前后车间距离。 试结合我们刚刚建立的函数模型,判断同学们搜集到的说法和规则来确定安全车距的方法一 样吗?在驾驶时遵循这些规则真的足够安全吗?(以下数据仅以二次回归为例) 设计意图:在解决问题的每一个环节上,用问题引领学生进行探索,使学生在整个学习过程中充
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满着数学的观察、数学的思考,同时也将学生始终置于“问题场”的情景中,体现以问题为载体 的数学学习的过程,使学生认识到数学与生活的紧密联系,从而体会数学应用的价值。[由于数据 的特点,用图形计算器更易解决安全刹车距离的相关问题] 第一种“一车长度规则” :车速每增加 4.4m/s,后车与前车的距离应增加 4.5m,这表明车速 y 4 .5 与前后车距成正比例关系。设 y 表示车距,x 表示车速,则有 ? ,即 y ? 1.02x x 4 .4

当前后车距大于刹车距离的理论值就足够安全 由图形计算器显示显示可知:不管车速为多少时,车距都小于实际刹车距离,所以这种建议 基本不适用与我们国家。 第二种“2 秒规则” :汽车间隔只需要保持在以汽车现实速度行驶 2 秒的距离内,这表明车速 与前后车距成正比关系。设 y 表示车距,x 表示车速,则有 y ? 2 x

由图形计算器显示数据可知:当车速不超过 18.8m/s 时,汽车的间隔只需要保持在以汽车现 时速度行驶 2 秒的距离内是安全的。 第三种“等时速规则” :一般多少公里时速下就保持多少米的跟车距离,这表明车速与前后车 距成正比关系。设 y 表示车距,x 表示车速,则有 y ? 3.6 x

由图形计算器显示数据可知:当车速不超过 33.14m/s(119.27km/h)时,按照此规则行驶是 安全的,而这个速度接近我国最高等级的高速路的法定最高时速 120km/h, 因此这一规则在正常行 驶中相对比较合理。 既然有些规则并不十分合理,你是否能对已有规则进行修改或自己制定一个更合理的规则 呢?(学生分组讨论,设计探究合理方案) (二)方案一: “t 秒法则”

18

车速(m/s) 车速(km/h) 时间 t (s)

18.8 0~70 2

28.1 70~100 3

36.4 100~130 4

(方案二) :确认车距法则 车距(m) 车速(m/s) 车速(km/h) 50 21.8 0~80 100 30.5 80~110 150 36.9 110~130 200 42.2 130~150

分析误差 我们通过分析数据制定的安全刹车距离的法则,与实际刹车距离的真实情况会存在一定的误 差,你能分析一下产生误差的原因吗? (1) 没有考虑各种不同型号汽车之间的差异,以及司机的驾驶经验及习惯; (2) 没有考虑汽车转弯等情况; (3) 没有考虑天气不良情况以及路况差异。 引起误差的原因很多,我们抓住了影响刹车距离的主要因素车速,忽略了影响问题的许多次 要因素。 设计意图:由于实际问题中误差是难以避免的,如果偏差很大,得不到较满意的数学模型。通过 对误差客观的分析,得到相对准确的数据。同时这也是实际问题解决过程中必不可少的一步。 (三)总结提炼,提高能力 1、解决这个问题的基本想法你能概括一下吗? (面对现实生活中的实际问题,我们先搜集数据,影响问题的因素很多,我们忽略次要因素, 提炼主要因素,借助手持技术或科学计算器,迅速找出较满意的数学模型,从而解决实际问题。 ) 2、通过这个问题的解决你有什么收获?有什么想法?

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第五讲

简单的线性规划问题

[我们将学到什么] 本节进一步熟悉线性规划的方法和思路,并会应用它来解决生产和饮食方面的实际问题。 [为什么学习本讲内容] 线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,它能解决科学 研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题. 本讲以问题为载体,以学生为主体,以数学实验为
手段,以问题解决为目的,以图像计算器作为平台,激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引 导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程, “从具体到一般”的抽象思维过程,应用“数形结 合”的思想方法,培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。

问题一 (一) 设置情境,呈现问题 2013 年 10 月 31 号以来,吉林省松原市前郭尔罗斯不断发生 4---5 级地震,身处长春的我们 也感受到了震感。 地震这一自然灾害给我们的生产生活带来了很大的不便和困扰, 2013 年 4 月 20 日雅安地震是最让我们触目惊心的,灾后重建牵动着全国人民的心。长春某企业积极响应长春市 对口支援芦山县重建的号召,打算对中小学教学楼的重建(包括各项附属设施)提供支援,预算 投入资金不超过 1000 万元. 根据当前实际情况, 要求投入中学建设的资金不少于投入小学建设资 金的 1.8 倍, 初步估算中学教学楼的平均造价为每百平方米 14 万元, 小学教学楼的平均造价为每 百平方米 8 万元. 并且对两者的建设面积都不低于 1000 平方米. 请 你帮该企业计算一下, 如何分配这笔资金能使得教学楼重建后的面 积最大?最大面积为多少?

学生活动 1:你能分析出哪些数据,试着说明。 学生活动 2:你打算用什么样的方案去解决这个问题? 【问题情景使学生感到数学是自然的、 有用的, 学生已初步学会了 建立线性规划模型的三个过程: 列表 →建立数学关系式→ 画平面 区域, 可放手让学生去做, 再次经历从实际问题中抽象出数学问题 的过程,教师则在数据的分析整理加以指导】 (二)探索实践,寻找模型 【学生思维的最近发现区是上节的相关知识,因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问
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题,虽然这个过程计算比较繁琐,操作起来有难度,但是教学是一个过程,从中让学生体会 科学探索的艰辛,这样引导出教科书给出的数形结合的合理性,也为引入信息技术埋下伏笔】 针对“问题一”中提出的数学问题,让学生自己探究解决的方法,教师巡视观察. 设建设中学教学楼面积为 x 百平方米, 建设小学教学楼面积 y 百平方米, z=x+y 建筑总面积为 z 百平方米. z = x+y.

?14x ? 8y ? 1000 ? 14x ? 1.8 ? 8y ? 满足: ? x ? 10 ? ? y ? 10 ?
学生活动 3:学生合作交流,进行自主探究.

预案一:学生利用图形计算器的取点功能作出自由点,并度量其坐标,然后在所绘区域内移 动该点,并直接计算 x+y 的值进行比较,容易猜想出使 z 取得最大值的点的位置. 预案二:让学生思考使 z 取某个特殊值(如 60)时点的位置.部分学生容易想到:满足条件 的点的集合为直线 x+y =60 与所画区域的交集.可再取两个特殊值让学生思考,引导他 们发现直线之间的平行关系,并思考 z 的几何意义:把目标函数化成 y ? ? x ? z 的形式, 这表示一组平行直线,而 z 表示的是直线的纵截距,通过平移直线,当直线的纵截距最 大时,z 取最大值.

说明: (1) 引导学生合作交流,主动寻求问题的解答; (2) 培养学生利用现代信息技术手段辅助思维的意识; (3) 教师巡视观察,适当点拨; (4) 教师配合学生的探究结果,利用“ClassPad 300 计算机模拟软件”动态演示.

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(三)结合问题,介绍概念 结合前面两个实例,介绍线性规划的有关概念: (1)目标函数(线性目标函数) ; (2)约束条件(线性约束条件) ; (3)线性规划问题; (4)可行解、可行域、最优解. (四)总结提炼,提高能力

现实问题

是否符合实际 修改

现实模型的解
还原 说明

改 造

函数模型的解
数学 方法

解析式

现实模型

抽象 概括

函数模型 图 形

(五)延时探究 请学生分小组对以下的问题或自选问题进行合作探究,并将各组的结果(无论成与败)制成 PPT 在下节课上进行交流。 食品配制 营养学家对高一学生中午的营养配餐提出建议 :每人至少 需要从食物获 取 0. 120 kg 的碳水化合物, 0. 024kg 的蛋白质, 不超过 0. 032kg 的脂肪.现有两种食物 A 和 B,每种食物每千克中所含成分及 价格 如下表: 碳水化合物(kg) A (1kg) B (1kg) 0.120 0.096 蛋白质(kg) 0.020 0.032 脂肪(kg) 0.020 0.020 价格(元) 6 8

为满足上面的饮食要求, 并且食物 A 至少需 0.5kg, 则两种食物如何搭配可以使花费最低?

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最低为多少元?
说明: (1)借助练习,落实知识的掌握; (2) 通过题目中呈现出的最优解的不同情况,给学生一个完整的、严谨的数学概念.

(六) 回顾历史,感受文化

“线性规划之父”—— “丹齐克

“数学的战争”——

“波斯湾战争”

说明: 通过对“线性规划”的历史及应用的大致介绍,使学生感受数学的文化价值.

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第六讲

椭圆及其标准方程

[我们将学到什么] 理解椭圆的定义, 能正确推导椭圆的标准方程,学会用坐标化的方法求动点的轨迹方程 [为什么学习本讲内容] 由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程,逐步养成运 用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯;在选修 2 中,教材利用三种圆锥曲线进一步深化如 何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一 般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固,因此“椭圆及其标准方程”起到了承上

问题一:曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹,那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹 呢?要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹,首先要知道椭圆的几何特征. (一) 设置情境,呈现问题 2010 年 10 月 1 日 18 时 59 分 57 秒, 搭载着嫦娥二号卫星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星 发射中心点火发射。 这标志着我国航天事业又上了一个新的台阶,这是中国人的骄傲。请问: “嫦 娥二号”绕地球飞行的轨道是什么?(课件演示轨道图)

(二)探索实践,寻找模型 前苏联教学论专家马赫穆托夫认为“ 问题教学”有两种:教师有意地创设问题情境,组织 学生的探索活动,让学生提出学习问题和解决这些问题(这种做法的问题性水平较高) ;由教师 自己提出这些问题并解决它们, 在此同时向学生说明在该探索情境下的思维逻辑 (这种做法的问 题性水平较低) 。 (1)教师演示,引出研究思路 教师将一圆圈朝一个方向用力压或拉,圆圈变成椭圆形状,说明圆和椭圆有着密切关系,由 此点明可以像学习圆一样来学习椭圆。
24

(2)学生分组试验 教师指导学生利用 CASIO 图形计算器制作动态图像, 程序开始运行后, 随着 P 点的移动, |PF1| 与|PF2|的长度在随时变化,但是它们的和是一个不变的数(始终等于两定圆半径的和);而且可 以随时按键暂停,再按键程序继续运行,这样一来可以仔细观察图中数值的变化。通过实践与观 察,学生很容易领悟这些数值哪些是变化的?哪些没有变化?

(图一)

(图二)

(图三)

(图四)

初步认识 要求探讨问题系列一: (8) 上述的变化过程中,哪些量在发生变化?哪些量不变? (9) 各变量之间有什么关系? “问题系列一”中的问题较浅显、易回答,其目的在于不仅使学生学会用数学的眼光认识自然 与社会中存在的问题,而且增强学生学好数学的信心,提高学生学习数学的兴趣。 ? 深入探索 要求进一步探讨问题系列二: (10)选用一个适当的集合来描述点的轨迹。 (11)选用一个适当的坐标系(最好对称建系)来近似描述点的轨迹。 (12)给定 2a 和 2c 时,方程如何化简。 (13)如果改变建系方式 呢? 就(5)化简:这里带根式的方程的化简学生会感到困难,借助图形计算器可以这样完成这个步
25

?

骤。 把 ( x ? c) 2 ? y 2 和 ( x ? c) 2 ? y 2 的值分别存储在变量m 和n 中,

(图五) 把 ( x ? c) 2 ? y 2 和 ( x ? c) 2 ? y 2 的两边分别平方去根号。左边平方并展开得:

(图六) 即左边=2 ( x ? c) 2 ? y 2 × ( x ? c) 2 ? y 2 +2x +2y +2c 右边=4a
2 2 2 2

(图七)

移项方程可变为2 ( x ? c) 2 ? y 2 × ( x ? c) 2 ? y 2 =4a -(2x +2y +2c ) 把左右的值分别存储在变量m 和n中,则方程两边平方就可以去掉根号即方程可以写成

2

2

2

2

m2-n2=0,下面可以直接用图形计算器化简出方程的左边

一 (图八) 即方程变为16((a ?
2

(图九)

c2)x2+a2(y2? a2 +c2))=0

26

∴ (a2? c2)x2+a2y2= a2 (a2? c2)



x2 y2 ? ?1 a2 a2 ? c2 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

设a2? c2=b2 (b>0),得b2 x2+ a2y2= a2b2 得

设计意图:上述求解过程由教师带领学生共同完成。图形计算器在这个问题中的使用有利于学生 更好地理解数学知识的本质,并且可以拓宽学生的视野,从而激发学生的思维与兴趣。 (3)建立焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程 师生互动:引导学生借助化归思想,抓住图形间的联系,化未知为已知,将已知的焦点在 x 轴上 的椭圆的标准方程转化点在为焦 y 轴上的椭圆的标准方程。 设计意图:体会数学中的化归思想,化未知为已知,避免重复劳动。 “问题系列二”中的问题在“系列一”的基础上逐步加深,从问题的表征向内延深入,再向 外延扩展,揭示数学的应用价值。在多处同时应用代数法和图像法来解题,让学生亲身体验这两 种方法的不同特点,从而提高何时用何种方法更好的判断能力。在多处使用信息技术帮助探究, 提高效率,形象直观,加强感受。
在一系列问题的解答过程中,使学生经历数学建模全过程的学习,提高数据的收集、分析和加以应用的能 力,学会“数学问题的解”应该回到实践中去接受检验,不断地修正和完善,从而得出具有较高精度和一定指 导价值的结论。

(三)回归现实,提出问题 数学应用——巩固新知 例 1、下列哪些是椭圆的方程,如果是,判断它的焦点在哪个坐标轴上?并指明 a 、 b ,写出焦点 坐标

x2 y2 (1) ? ?1 9 4

(2)9x2 ? 25y 2 ? 225? 0
x2 y2 (4) 2 ? 2 ? 1(m ? 0) m m ?1

x2 y2 (3) ? ?4 25 16

设计意图:进一步巩固对椭圆标准方程形式的掌握。 例 2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:两个焦点的坐标分别是(-4,0) 、 (4,0) ,椭圆上一点 到两焦点距离的和等于 10. 解:由已知得:c=4,且长轴在 x 轴,短轴在 y 轴,2a=10,则 b=3 变式一:将上题焦点改为(0,-4) 、 (0,4) ,结果如何? 变式二:将上题改为两焦点距离为 8 ,椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于 10 ,结果如何? 解:此题有两解,分析后可以要求学生用图形机画图验证
27

当焦点在 x 轴上时:

(图十) 当焦点在 y 轴上时:

(图十一)

(图十二) 可以让学生更加深入地理解图形及其之间的联系。 例 3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

(图十三)

设计意图:体现数学知识之间的联系,培养学生养成深入思考的习惯。另外,用图形机辅助绘图,

3 5 两个焦点的坐标分别是 F1(0,-2) 、F2(0,2) ,并且经过点 P ( ? , ) 2 2 解:方法一: (待定系数法)

由已知得:c=2,且长轴在 y 轴,短轴在 x 轴 又 a2=b2+c2,可得 a2=b2+4,代入 P 点坐标,整理得 2b4-9b2-18=0 解得 b2=6,则 a2=b2+4=10 输入数据: 绘图:

(图十四)

(图十五)

28

方法二:(定义法)

2a ? F1 P ? F2 P ,

2c ? F1 F2



b2=a2-c2

(图十六) 解得:a2=10, b2=6 设计意图:分析两种解题思路,体会用待定系数法、定义法求椭圆的标准方程。

(四)总结提练、提高能力 (五)回顾反思——归纳提炼 1.知识点:椭圆的定义及其标准方程 2.数学方法:用坐标化的方法求动点轨迹方程 3.数学思想:数形结合思想、化归思想 (六)课后作业,巩固提高
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 1.(1)已知方程 4 m

.

(2)已知方程

X2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 m ?1 3 ? m

.

(3)方程

X2 y2 ? ? 1 ,分别求方程满足下列条件的 m 的取值范围: 25 ? m 16 ? m

①表示一个圆;②表示一个椭圆;③表示焦点在 x 轴上的椭圆。 设计意图:层层递进,环环相扣,使学生更加深刻地理解椭圆概念。

(五)延时探究 请学生分小组对以下的问题或自选问题进行合作探究,并将各组的结果(无论成与败)制成 PPT 在下节课上进行交流。 1.将圆 x +y =4 上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得的曲线的方程,并说
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2 2

明它是什么曲线? 设计意图:将圆按照某个方向均匀地压缩(拉长) ,可以得到椭圆;利用中间变量求点的轨迹方 程的方法是解析几何中常用的方法,可以用图形计算器画图分析。 2.已知圆 A:(x+3) +y =100,圆 A 内一定点 B(3,0),动圆 P 过 B 点且与圆 A 内切,求动圆心 P 的轨迹方程. 设计意图:体会定义法求轨迹方程,并为后续进一步研究椭圆的性质做好铺垫,可以用图形计算 器画图分析。
这一过程是探究活动在时间上的延续,是对课堂学习的必要补充。
2 2

30

第七讲
[我们将学到什么]

直线与双曲线的位置关系

利用 Casio 图形计算器的 “动态图” 功能使我们能够深入认识和理解与双曲线有且仅有一个公共点的直 线的位置特征,以及与双曲线有两个公共点、没有公共点的直线的位置特征

[为什么学习本讲内容]
直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一,是在解析几何教学中渗透方程思想与数学结 合思想的重要载体.学生在运用方程思想研究直线与双曲线的位置关系时,还需对消元后的方程的二次项系数 等于零或不等于零进行分类讨论才能确定方程实数根的个数,而这恰好是学生的薄弱点。如果运用数形结合思 想研究直线与双曲线位置,我们看到一条双曲线是由两支不封闭曲线组成的,并且双曲线有两条渐近线,这使 我们在判断时会感到困难,而且研究直线与双曲线的位置关系对于之后学习直线与抛物线的位置关系很有帮 助.这种位置的直观呈现,非图形计算器是无法实现的。

问题一: :已知直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : x2 ? y 2 ? 4 .
(1)若 l 与 C 有两个公共点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 有且只有一个公共点,求实数 k 的取值范围; (3)若 l 与 C 没有交点,求实数 k 的取值范围; (4)若 l 与 C 交于同一支上不同的两点,求实数 k 的取值范围; (5)若 l 与 C 交于不同支上的两点,求实数 k 的取值范围.

问题二:直线与双曲线的位置关系由哪些因素决定? (一) 设置情境,呈现问题
学生动手,运用方程思想采用消元的代数方法求解,对消元后的方程的二次项系数等于零或不等于零进行 分类讨论确定方程实数根的个数。

(二)探索实践,寻找模型 学生再次动手,分组进行:一组运用数形结合思想,作图讨论,结合方程确定公共点个数。 另一组运用图形计算器研究。 ? 初步认识
我们用 Casio 图形计算器动态演示,帮助学生加深理解与认识.为了使学生看清图像,我们可以将窗口适
2 2 当设置(图 1).接着我们输入双曲线 x ? y ? 4 的关系式 y1 ?

x 2 ? 4 与 y6 ? ? y1 (蓝色), 再输入渐近线

的关系式 y2 ? x 与 y7 ? ? x (红色) , 再输入关系式 y3 ? x ?1 与 y8 ? ? x ? 1 (绿色) , 再输入关系式 y4 ?

5 x ?1 2

与 y9 ? ?

5 x ? 1 (紫色) ,最后输入动直线关系式 y5 ? Ax ? 1(黑色) (图 2) .然后我们对动态变量 A 作参 2

31

数和速度设定(图 3) .我们画出双曲线的渐近线、过点 P 1 (0, ?1) 与渐近线平行的直线和过点 P 1 (0, ?1) 与双曲线 相切的直线,目的是以它们为参照观察直线与双曲线的交点的情况(图 4) .通过观察演示的动态过程,学生们 发现要判断直线与双曲线的位置关系关键是先找到直线与双曲线有且仅有一个公共点的情形,然后以此为参照 可以确定其他位置.

图1

图2

图3

图4 (4)方程①必须要有两个不等的同号实根,

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? ?k ? ?1 ?1 ? k 2 ? 0 ? ? 5 5 5 ? 5 ? ?? ?k? ? k ? (? , ?1) (1, ) 解法 1: ?? ? 0 2 2 2 ? ? 2 ?5 ? x1 x2 ? ?k ? 1, k ? ?1 ?0 ? 1? k 2 ?
解法 2:图解法,我们可以请学生运用数形结合的思想,利用 Casio 图形计算器,选择第一象限的情况重点 显示,在之前的演示中隐去关系式 y2 , y7 , y8 , y9 (图 5) ,动态变量 A 的设定和窗口作相应调整(图 6) ,作出 动态图可以知道 k ? (1, 答案.

5 5 .同理 k ? (? ) 符合条件(图 7) , ?1) 也符合条件,两者取并集我们就可以得到 2 2

图5

图6

图7 (5)方程①必须要有两个不等的异号实根,

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? ?k ? ?1 ?1 ? k 2 ? 0 ? ? 5 ? 5 ? ?? ?k? ? k ? (?1,1) 解法 1: ?? ? 0 2 2 ? ? ?5 ?1 ? k ? 1 ? x1 x2 ? ?0 ? ? 1? k 2 ?
解法 2:图解法,类似于第(4)小题,在之前的演示中隐去关系式 y2 , y4 , y7 , y9 (图 8) ,动态变量 A 的设 定和窗口作相应调整(图 9) ,作出动态图可以答案是 k ? (?1,1) 符合条件(图 10) .

图8

图9

图 10 学生小结:今后我们要判断直线与双曲线的位置关系时,可以先找到直线与双曲线有且仅有一个公共点 的情形,然后以此为参照确定其他位置的情况. 教师小结:因此我们在判断直线与双曲线的位置关系时,可以先研究经过某定点且与双曲线仅有一个公 共点的直线有几条,它们与双曲线又是怎样的关系就很重要. 思考

C : x ? y ? 4 仅有一个公共点有四 教师提问:在第(2)小题中我们看到,经过定点 P 1 (0, ?1) 与双曲线
2 2

34

条直线,其中两条是切线,另两条是与渐近线平行的直线.请问,如果我们改变动直线经过的定点位置,那么 与双曲线 C : x2 ? y 2 ? 4 仅有一个公共点的直线会有几条,它们与双曲线分别是怎样的关系?请学生们利用 Casio 图形计算器的动态演示功能,分小组研究讨论.

?

深入探索
y ? 一 小 组选 取了 定点 P 2 (2, 2) , 输入 关 系式 1 x 2 ? 4 与 y6 ? ? y1 ( 蓝色 ) , 再 输 入动 直线 关系 式

(图 11) , 并且对动态变量 A 作参数和窗口设定 (图 12) , 最后作出动态图 (图 13) . 学 y5 ? A? x ? 2? ? 2(黑色)

C : x2 ? y 2 ? 4 仅有一个公共点有两条直线,其中一条是切线,另一条是与 生发现经过定点 P 2 (2, 2) 与双曲线
渐近线平行的直线. 教师问:定点 P 2 (2, 2) 在什么区域?学生答:在不含焦点的区域内,并且在渐近线上.

图 11

图 12

图 13

(三)回归现实,提出问题

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对于定点在不同区域时直线与双曲线位置进行讨论,从特殊到一般进行分析。通过以上研究讨
论, 请大家思考过一定点 P ? m, n ? 与双曲线 位置是否有关?

x2 y 2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的条数与定点 P ? m, n ? 所在 a 2 b2

(四)总结提练、提高能力
1? P ? m, n ? 在双曲线的对称中心,直线不存在;

2? P ? m, n ? 在渐近线上,直线有 2 条,其中一条与渐近线平行,另一条是切线;

3? P ? m, n ? 在含焦点的区域内,直线有 2 条,这两条都与渐近线平行;
4? P ? m, n ? 在双曲线上的点,直线有 3 条,其中两条与渐近线平行,另一条是切线;

5? P ? m, n ? 在不含焦点的区域内且不在渐近线上,直线有 4 条,其中两条与渐近线
平行,另两条是切线.

(五)延时探究 请学生分小组对以下的问题或自选问题进行合作探究,并将各组的结果(无论成与败)制成 PPT 在下节课上进行交流。 问题 1 问题 2 请你对抛物线与过某定点的直线的位置进行研究,讨论公共点的个数。 请你对直线与双曲线其它情形进行研究。

这一过程是探究活动在时间上的延续,是对课堂学习的必要补充。

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第八讲

抛物线模型在生活中的应用

【我们将学到什么】 熟悉抛物线的图像和性质,了解抛物线模型在生活中的广泛应用,学会利用图形计算器解决 有关抛物线建模问题。运用图形计算器学习抛物线的一种新的应用模式:数据 图形 建模 解决问题。 【为什么学习本讲内容】 由实际问题出发学习并掌握数学模型的应用能够帮助开阔数学视野,发散思维。运用图形计 算器进一步学习抛物线的性质,有利于掌握数学模型的应用。通过对于图形的学习掌握解决一 类问题的方法,掌握问题的本质。CASIO 图形计算器功能强大,用途广泛。这次数学探究活动 的目的就是利用计算器的动态图功能, 通过动态函数的图形变换描绘出投篮运动轨迹并衍生出 超人大灌篮的完整过程。通过对生活中细节的观察,把生活场景融入到数学理论问题中,以此 来激起同学们学习数学的兴趣。 并在编辑图像的过程中, 逐步加深对抛物线性质的掌握和了解。 从应用数学的发展趋势来说,应用数学正迅速地从传统的应用数学进入现代应用数学的阶 段。数学建模不仅凸现出其重要性,而且已成为现代应用数学的一个重要组成部分。 【问题】 (一)设置情境,呈现问题 38 岁的老乔丹第二次复出,表现依然神勇,在全场比赛还剩最后一秒时,华盛顿奇才仍以 2 分 落后于纽约尼克斯,在这关键时刻,乔丹在三分线外出手了!

问题: (乔丹距篮框中心在地面的投影 6.25 米) ,乔丹出手高度为 2.37 米,篮框的高度为 3.05 米,篮球在飞行了 4 米(水平距离)后达到最高 3.37 米,乔丹此次能否力挽狂澜呢? (二)探索实践,寻找模型 前苏联教学论专家马赫穆托夫认为“ 问题教学”有两种:教师有意地创设问题情境,组织 学生的探索活动,让学生提出学习问题和解决这些问题(这种做法的问题性水平较高) ;由教 师自己提出这些问题并解决它们,在此同时向学生说明在该探索情境下的思维逻辑(这种做法 的问题性水平较低) 。 ?初步认识 探讨系列问题一: 1. 首先构造出篮球进筐的过程。 2. 根据目标,推导出所需数学模型,并进行解析式计算。
37

3. 构思出超人的形象,从篮球进筐的过程衍生出超人灌篮的过程和动作。 4. 在计算器的动态图中输入解析式,设定变量、取值范围,初步预览 【探究步骤】 1.首先我们需要确定一条抛物线, 这条抛物线将被用作篮球的运动轨迹. 由于是一个球进筐的 过程,抛物线开口应当朝下,应当取左半部分作为抛球轨迹.这里我们取 f(x)=-x2 /8+x 为轨 迹. 2.现在我们要做一个篮球,篮球运动轨迹应当在抛物线上.根据圆的方程,设圆心坐标为(a, b),半径为 r,则圆的表达式为(x-a)2+(y-b)2=r2.由于圆沿抛物线移动,因而设圆心为抛物线 上的动点,其坐标为(A,-A2/8+A),其中 A 就是动态图中的变量.因此篮球的表达式方程为 (x-A)2+(y+A2/8-A)2=1/4(我们设球的半径为 1/2).之后,我们要把表达式转化成 y 打头的模 式.因为开根号后涉及到正负问题,我们只能用两个半圆来表示一个圆.

Y1= Y2=-

0.25 ? ( x ? A) 2 ? 0.125 A2 ? A 0.25 ? ( x ? A) 2 ? 0.125 A2 ? A

3.下面我们来构造篮筐。 篮筐由五条线段构成。 篮筐要在抛物线轨迹上以确保球最终会进入篮筐, 水平线段只需输入 Y 值,并用中括号标明自变量范围即可。在此我们不妨设定两条水平线段方程 分别为:
Y3=1.5,[5.5,7] Y 4 ? 0.5,[5.5,6.5]

由于垂直的线段需要使用到参数方程,因此在编辑的时候按 F3,并选择其中的“参数”功能,即 可进行有关参数的解析式的编辑。三条垂直线段的编辑方程如下: Xt 5 ? 5.5

38

Yt 5 ? T ,[0.5,1.5]
Xt 6 ? 6.5

Yt 6 ? T ,[0.5,1.5]
Xt 7 ? 7

Yt 7 ? T ,[?5,1.5]

将上面解析式输入后几个得到篮球入筐的过程,点击执行键“EXE”,进入变量设置界面,控制好 变量的范围,要使其满足到球进筐的位置,设置如下:

我们已经构造了篮球进筐的场景(由于后面还要进行其他动作设计,而总共只有二十个函数,因 而难免显得有些简陋) , 以此便可以衍生出超人灌篮的场景。 构造的方法是将抛物线上的点 (球心) 平移从而在球旁边绘制出超人形象。由于球心是沿抛物线的动点,因而随着变量的改变,人也会 随球心的变化而改变。 探讨系列问题一: (1) 上述过程中篮球的路径发生了怎样的变化,走了一个怎样的路线? (2) 我们应该如何设定坐标轴来建立这个数学模型?应该建立哪种数学模型? (3) 篮球飞行的过程中抛物线顶点是哪一点?应设立在直角坐标系的什么位置? (4) 在哪一段路径中篮球是上升的?在哪一段路径中篮球又是下降的? (5) 试着绘制篮球运动的曲线。 (可以徒手画,也可以引导学生将表中的数据输入计算器或计算机,画出它们的散点图,进 行观察)

39

?深入探索 进一步探讨问题系列三: (6) 选用一个适当的函数 (根据抛出的篮球运动方式应选择抛物线模型) 来描绘篮球运动高 度与水平距离的关系。 (7) 计算出篮球运行轨迹方程,求出篮球是否能够命中篮筐。 (8) 结合图形与方程谈谈你对运用图形计算器解决此类问题的感悟,你收获了什么呢? (三)回归现实,提出问题 要投篮成功,希望得到较高的抛物线,以同样的投射速度计算,在离地面较高的位置把球放出, 除了能避开防守球员的拦截外,更可产生较高的抛物线,从而有较大的机会命中篮圈圆心。难怪 篮球运动员一般都会练习跳射技术。 1、低抛物线,球的飞行距离短,力量容易控制。但由于球的飞行弧度低,近于水平,球对蓝圈的 面积小,不易投进。 2、中抛物线,球的飞行抛物线的最高点大致与篮板的上沿在同一水平线上,对篮圈的面积大,容 易命中,是比较适宜的抛物线。 3、高抛物线,球飞行入篮的抛物线过高,近于垂直,对篮面积大,容易进,但飞行路线过长,不 易掌握飞 行方向,从而影响命中 是否符合实际 现实问题 现实模型的解 率 修改 (四)总
改 造 数学 方法 还原 说明

结提练、提高能力

抛物线模型的解 解析式
40

现实模型

抽象 概括

抛物线模型 图 形

(五)延时探究 请学生分小组对以下的问题或自选问题进行合作探究,并将各组的结果(无论成与败)制成 PPT 在下节课上进行交流。 问题 1 问题 2 搜集你身边建筑中和抛物线有关问题。 请你上网查找手电筒和太阳灶光学原理。

问题 3 思考 在体育比赛中,足球运动员射门,和投掷铅球等项目中如何运用抛物线知识和 图形计算器整合,从而取得理想成绩。 在解决好上述问题之后,一则让学生就此模型再提出一些其它问题,并加以解决;二则让学 生找出现实生活中可能可以用抛物线模型解决的问题,并试着加以解决。

41

第九讲

抛物线光学性质的应用

[我们将学到什么] 进一步熟悉抛物线的几何性质,借助于图形计算器探究抛物线的光学性质,以及抛物线的光 学性质在实际生活中的应用。 [为什么学习本讲内容] 借助图形计算器,从形象、动态的演示入手,使学生对抛物线有一个较为深刻的认识,进一 步地去揭示抛物线的光学性质,从而认识到数学知识在实际生产生活中的重要性,我们学习的是 有用的数学。抛物线的光学性质是奇妙的,奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系,理论与实践相结 合,引导学生发现问题,提高学生解决问题的能力。 问题:抛物线的光学性质在实际生活中有哪些应用应用?
(一) 设置情境,呈现问题

汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线,灯口直径为 197mm,反光曲面的顶点到灯口 的距离是 69mm.为了获得反光曲面反射后的光线是平行光线,应怎样安装灯泡?(精确到 1mm)

y

A

C O x

B

(二)探索实践,寻找模型 抛物线的光学性质 :从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后,反射光线都平行于抛 物线的轴。

?

要探究圆锥曲线的光学性质,首先必须将这样一个光学实际问题,转化为数学问题,进行解
42

释论证。 ? 初步认识

圆锥曲线的切线与法线的定义: 设直线 l 与曲线 c 交于 P,Q 两点,当直线 l 连续变动时,P,Q 两点沿着曲线渐渐靠近,一直到 P,Q 重合为一点 M ,此时直线 l 称为曲线 c 在点 M 处的切线,过 M 与直线 l 垂直的直线称为曲线 c

在点 M 处的法线。

预备定理:若点

P( x0 , y0 ) 是 抛 物 线 y

2

? 2 px 上 任 一 点 , 则 抛 物 线 过 该 点 的 切 线 方 程 是

y0 y ? p( x ? x0 )
43

证明:由 y 2 ? 2 px ,对 x 求导得: 2 yy ' ? 2 p ? k ? y ' |x? x0 ? 当 y0 ? 0 时,切线方程为 y ? y ?
2 即 y0 y ? y0 ? px ? px0 2 而 y0 ? 2 px0 ? y0 y ? p( x ? x0 ) ??????①

p y0

p ( x ? x0 ) y0

而当 y0 ? 0, x0 ? 0 时,切线方程为 x0 ? 0 也满足①式 故抛物线在该点的切线方程是

y0 y ? p( x ? x0 ) .

?

深入探索

定理:抛物线上一个点 P 的焦半径与过点 P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点 P 处法线平分。 已知:如图,抛物线 C 的方程为为 y 2 ? 4cx ,

直线 l 是过抛物线上一点 P( x0 , y0 ) 的切线, 交 x 轴于 D , ?DPF ? ? , ?PDF ? ? , 反射线 PQ 与 l 所成角记为 ? , 求证: ? ? ? 证明: 如图 ,抛物线 C 的方程为
C : y 2 ? 4cx ,点 P( x0 , y0 ) 在该抛物线上,

y
L

L
?
P

??
F? L? D

??

?
F

P

?
F
x
L

D

?

?

P

??
F? L? D

??

?
F

则过点 P 的切线为 y0 y ? p( x ? x0 ) 切线 l 与 x 轴交于 D(? x0 ,0)

定理

44

焦点为 F (c ,0) , ? ? ? (同位角) ∵ | PF |? ( x0 ? c)2 ? y02 ?| x0 ? c |,| DF |?| x0 ? c | ∴ | PF |?| DF | ∴? ? ? ? ? ? ?
(三)回归现实,提出问题

经独立思考,小组合作,得出如下结论. 解:如图,在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系.设抛物线方程为 y 2 ? 2 px(p>0) 灯应安装 在其焦点F处. 在x轴上取一点C,使OC=69,过C作x轴的垂线,交抛物线于A、B两点,AB就是灯口的直径, 即AB=197,所以A点的坐标为(69,98.5) . 将A点坐标代入方程 y 2 ? 2 px,解得p≈70.3,它的焦点坐标约为F(35,0) .因此,灯泡应该安 装在距顶点约35mm处. 通过以上问题转化可知,圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解 题和生产生活中有何应用呢? (四)总结提练、提高能力

抛物线这种聚焦特性,成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、汽车大灯等 反射镜面的纵剖线是抛物线,把光源置于它的焦点处,经镜面反射后能成为平行光束,使照射距 离加大,并可通过转动抛物线的对称轴方向,控制照射方向.卫星通讯像碗一样接收或发射天线, 一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的,把接收器置于其焦点,抛物线的对称轴跟踪对准卫星,
45

这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线,最大限度地集中到接收器上,保证接收效果;反之, 把发射装置安装在焦点,把对称轴跟踪对准卫星,则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达 卫星的接收装置,同样保证接收效果.最常见的太阳能热水器,它也是以抛物线镜面聚集太阳光, 以加热焦点处的贮水器的. (五)延时探究 问题 1.已知抛物线 C: y 2 ? 4x , F 是其焦点,点 Q(2,1) ,M 是 C 上的动点,求|MF|+|MQ|的取值 范围。 分析:由于抛物线不是封闭曲线,显然没有最大值,因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质 (从焦点射出的光线经抛物线反射,反射光线与对称轴平行,反之也成立) ,结合光线的“最近传 播”特点,我们猜想:过 Q 与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点, 设为 P 点(见下图) 。可由抛物线的定义证明猜想是正确的,且|PF|+|PQ|≥3

问题 2.某种碟形 太阳能热水器的外形示意图如图 1,其中 F 为 加热点; 碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面; 抛物线以 cm 为单位的设计尺寸如图 2. 为 了达到最佳加热效果,F 应距碟底多少? 解 :以碟形内壁底为原点,抛物线的对称轴为 x 轴,开口方向为 x 轴的正向,建立坐标系如 图 3.4.2 ,则内壁抛物线方程为 y2=2px .据所示尺寸,抛物线过坐标为 (40,85) 的点,所以 852=2p?40=80p,p?90.3. 加热点 F 应置于抛物线的焦点.焦点坐标为( p ,0)?(45.2,0).所以 F 应距碟底约 45.2cm
2

F

y 5 85 x O 40 图2

图1

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第十讲

函数的极值与导数

[我们将学到什么] 在本节课中要求学生能结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值,并能归纳概括出求函数 y ? f ? x ? 极值的 一般步骤. [为什么学习本课内容] 学生前面已经掌握了利用导数解决函数的单调性问题, 本节课将继续学习利用导数知识求可导 函数的极值,其后还有利用导数求函数的最值问题,因此本节课起承上启下的作用.

问题一:讨论函数 y ? x3 ? 3x2 ? 1 的单调区间
(一)结合情境,呈现问题 学生利用导数求函数的单调区间,并利用CASIO图形计算器根据图形进行验证.

(二)探索实践,寻找模型 1.提出问题:观察函数 y ? x3 ? 3x2 ? 1 的图形,能否从数和形两个方面分析以下问题: ①函数图像在定义区间上是否连续不断,函数有无最值? ②从图象上看有无特殊点,有何特殊性? ③能否从数量上刻画出大小关系? 学生操作:局部放大函数在 x ? 0 处的函数的图像,并观察函数值的变化得出规律.

同样可以局部放大函数在 x ? 0 处的函数的图像,观察函数值的变化规律. 指导学生观察函数切线斜率值的变化,从数量上刻画结论.帮助学生寻找函数极值点与导数之 间的关系. (利用图象与表格,从数和形两个方面进行说明) 学生观察局部图形,并进行动态实验得出:(1)曲线在点 x ? 0 处切线的斜率为 0 ;(2)曲线在点 x ? 0 左侧切线的斜率为正,右侧为负. 同样可以分析得出曲线在点 x ? 2 左侧切线的斜率为负,右侧为正.
47

从图形观察

从数量观察

结果 在 点 x?0 处附近左侧

f ' ? x? ? 0

在 点 x?0 处函数值 f ? 0? 比 附 近函数值 大,且

f ' ? 0? ? 0

在 点 x?0 处附近右侧

f ' ? x? ? 0

(三)回归现实,提出问题 观察右图,对一般函数图像进行类比分析研究得出,函数 y ? f ? x ? 在点 x ? a 的函数值 f ? a ? 比它在点 x ? a 附近的函数值 都大, 且 f '? a? ? 0 ; 在点 x ? a 左侧 f ' ? x ? ? 0 , 右侧 f ' ? x ? ? 0 . 同 样, 函数 y ? f ? x ? 在点 x ? b 的函数值 f ? b ? 比它在点 x ? b 附近的 函 数 值 都 小 , 且 f ' ?b? ? 0 ; 在 点 x ? b 左 侧 f ' ? x ? ? 0 , 右 侧

f ' ? x? ? 0 .

这时,把点 a 叫做函数 y ? f ? x ? 的极大值点, f ? a ? 叫做 函数的极大值;点 b 叫做函数 y ? f ? x ? 的极小值点, f ? b ? 叫 做函数的极小值.极大值点和极小值点统称为极值点,极大 值和极小值统称为极值. 指导学生分析概念,并归纳出:① f ? x0 ? 一定存在,且函
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数 y ? f ? x ? 图像在点 x0 附近是连续不断的;②极值点是定义域内的点;③极值是一个局部概念; ④函数的极值不一定是唯一的;⑤极大值与极小值之间的大小关系不确定. 概念巩固练习: 判断下面命题,其中是真命题序号为 ② . ①函数的极小值一定小于极大值(设极小值、极大值都存在) ; ②函数在极值点必有定义; ③函数的极小值(或极大值)不会多于一个. 1 问题二:求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 的极值. 3 学生使用图形计算器对结果的正确性进行实验. 学生小结: 根据极值概念,分析函数极值点与导数之间的关系.

指导学生归纳:求可导函数 f ? x ? 的极值的步骤: (1)求导函数 f ' ? x ? ; (2)解方程 f ' ? x ? ? 0 ; (3)检查 f ' ? x ? 在方程的根左右的值的符号.

如果在 x0 附近的左侧 f ' ? x ? ? 0 ,右侧 f ' ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是函数 f ? x ? 的极大值; 如果在 x0 附近的左侧 f ' ? x ? ? 0 ,右侧 f ' ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是函数 f ? x ? 的极小值. 反思性引申思考:函数极值点与 f ' ? x0 ? ? 0 的逻辑关系.

拓展延伸:求函数 y ? ( x2 ?1)3 ? 1 的极值.
学生会仿照进行书写,这时教师提出思考问题:满足条件 f ' ? x0 ? ? 0 的点 x0 是否是极值点?学 生利用CASIO图形计算器验证发现函数在 x ? ?1,1 处的切线水平穿过了函数的图像,并且从数值 上分析出在 x ? ?1,1 的两边导数值并不相反.

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从图形分析

从数量分析

结果 函数满足条 件 f ' ? ?1? ? 0 , 但在 x ? ?1 两 侧的都有 f ' ? x? ? 0 ; 在 x ?1 处 有 相同结果. 所 以 x ? ?1,1 不是函数的 极值点.

再次强调:要想知道 x0 是极大值点还是极小值点就必须判断 f ? x0 ? 左右侧导数的符号. 即 x0 为函数极值点与 f ' ? x0 ? ? 0 的逻辑关系,点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的 导数异号;点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为 0 .

(四)总结提炼,提高能力 函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数 f ? x ? 的极值的三个步骤.可导函数极 值点的导数为 0 ,但导数为零的点不一定是极值点,还要看这点两侧的导数是否异号.

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第十一讲

图形计算器在研究特殊函数中的应用

[我们将学到什么] 通过 CASIO fx-CG20 图形计算器形象直观的图形呈现,帮助学生做到充分的理解特殊函数的 各种性质,从而达到抽象思维与形象思维的有机结合 [为什么学习本课内容] 导数是研究函数的有力工具,它给高中函数问题的研究注入了新的生机和活力,借助于导数我们 可以探究初等函数和非初等函数的性质 问题一:已知 a 、 b 均为实数,函数 f ( x) ? (1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 在区间 (m,2m ? 3) 上单调递减,求实数 m 的取值范围; (3)若 P( x0,y0 ) 为 f ( x) ? 线 l 的斜率 k 的取值范围.
ax ax 图象上的任意一点,直线 l 与 f ( x) ? 2 的图象切于 P 点,求直 x ?b x ?b
2

ax 在 x ? 1 处取得极值 2 . x2 ? b

(一)提出问题,引出新知 解析: (1) (2)略,该题第三问其实是求斜率的函数 f ( x) ? 方法一:导数方法(多数学生) : ∵ f '( x) ?
?8 x( x 2 ? 1) 2 ? 4 x( x 2 ? 1)(4 ? 4 x 2 ) 8 x( x 2 ? 1)( x ? 3)( x ? 3) ?? 2 4 ( x ? 1) ( x 2 ? 1) 4
4 ? 4x2 ( x 2 ? 1) 2

的值域

令 f '( x) ? 0 ,则 x ? ? 3 或 0 列表:
x
f '( x) f ( x)
? 3

(??, ? 3)
?

(? 3, 0)
?

0 0 4
1 2

(0, 3)
?

3

( 3, ??)

0
? 1 2

0
? 1 2

由上表可知,当 x ? ? 3 时, ymin ? ? ;∴ k ? ? 方法(二) :换元法
f ( x) ? 4 ? 4x2 2 1 ? 4[ 2 ? 2 ], 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 1)

1 2



1 1 ? t , t ? (0,1] ,则原式 ? 4(2t 2 ? t ), t ? (0,1] ,所以 y ? [? , 4] ( x 2 ? 1) 2

思考 1:两种方法殊途,却不同归,问题究竟出在什么地方呢?利用导数研究了函数的单调性画出
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了草图,为什么不对呢?方法二似乎也在提醒我们这个函数并不是趋向无穷大的。

(二)深化问题,深入探究 探究 ln( x ? 1) ? ln a 在 x ? (3, ??) 上恒成立,则实数 a 的最小值为
x?2

利用图形计算器你能猜想到那些结论?

变式 1:若关于的不等式 ln x ? ln a 在 x ? (1, ??) 上恒成立,则实数 a 的最小值为
x ?1

函数在 x ? 1 处不连续,导致无法将自变量代入函数求出最值,我们借助于图形计算器生成函 数在 x ? 1 附近的函数值,会发现函数值趋向于 1。

事实上在高等数学中由求极限的洛必达法则可得:
1 ln x (ln x) ' lim ? lim ? lim x ? 1 ,∴ f ( x) ? 1 x ?1 x ? 1 x ?1 ( x ? 1) ' x ?1 1

1 1 ln x (ln x) ' ln x (ln x) ' x ? lim ? lim ? ?? , lim ? lim ? lim x ? 0 ; 且 lim x ?0 x ? 1 x ? 0 ( x ? 1) ' x ?0 1 x ??? x ? 1 x ??? ( x ? 1) ' x ?? 1

∴ x 轴和 y 轴是函数 y ? 方法(二)
ln x ? 0 ? ln a , x ?1

ln x 的渐近线 x ?1

这是一个很有个性的分式,一个比值,能不能从几何维度考虑呢? 在我的启发下,有人提出看成点 ( x, ln x)和(1, 0) 的斜率 k ?
ln x ? 0 , x ?1

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随着 x 的增大,斜率越来越小。斜率的最大值即为函数 f ( x) ? ln x 在 x ? 1 时的导数值。

随着 x 的增大,斜率越来越小。斜率的最大值即为函数 f ( x) ? ln x 在 x ? 1 时的导数值。 而由问题 2 和变式 1,我们不难提炼出一个不等式即
ln x ln( x ? 1) ? 1( x ? 1) ( ? 1( x ? 2) ) x ?1 x?2

刚刚我们发现 x ? 1 时,分子分母都为零,再次提炼: ln x ? x ? 1( x ? 1) 关于不等式的证明: 方法 (三) 借用不等式: ln x ? x ? 1( x ? 1) 证明: ln x ? x ? 1 当 x ? 1 时,等于号成立。 当 x ? 1 时,即证 ln x ? ( x ? 1) ? 0
1 1? x 令 f ( x) ? ln x ? ( x ? 1) , f '( x) ? ?1 ? ?0 x x
f ( x) 在 [1, ??) 上单调递减, f ( x) ? f (1) =0,

∴ ln x ? ( x ? 1) ? 0 ,即 ln x ? ( x ? 1) ∴
ln x ? 1 , ln a ? 1 , a ? 2 . x ?1 f ( x) ,若函数 g ( x) 至少有一个零点,求 m 的范围。 x

(三)巩固练习,强化理解 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2ex 2 ? mx ? ln x ,令 g ( x) ? 解析:方法(一) g ( x) ? x2 ? 2ex ? m ?
ln x , x ln x x

令 g ( x) ? 0 ,分离参变量, m ? ? x2 ? 2ex ? 令 h( x) ? ? x2 ? 2ex ?
h( x) ? ? x2 ? 2ex ?

ln x ,则函数的值域即为参数 m 的取值范围。 x

ln x 1 ? ln x , , h '( x) ? ?2 x ? 2e ? x x2

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x 令 h '( x) ? ?2x ? 2e ? 1 ? ln ? 0 ,则 x ? e 2 x

∵当 0 ? x ? e , h '( x) ? 0 , x ? e, h '( x) ? 0 , ∴函数在 x ? (0, e) 上单调递增, (e, ??) 上单调递减。
1 1 h( x)max ? h(e) ? e2 ? , m ? e2 ? e e

学生活动设计: 方法(一)是一种较为常规的思路,我们回过来再来审视这道题,究竟设计者有没有其匠心 独运的地方呢?细心观察发现函数 g ( x) ? ( x 2 ? 2ex ? m) ? ( ln x ) 是由两个特殊的函数 f ( x) ? x2 ? 2ex ? m
x



h( x) ?

ln x ln x 组合而成。 二次函数 f ( x) ? x2 ? 2ex ? m 开口向上, 且对称轴是 x ? e ; 而函数 h( x) ? 在 x x

(0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减。何不“分离函数” ,用两个函数在 x ? e 时最值进行比较,

实现对题意的等价转换呢? 方法(二)让学生利用图形计算器分别画出 g ( x) ? 的变化范围,讲图像进行上下移动。 利用函数 g ( x) ?
ln x 1 , f ( x) ? x2 ? 2ex ? m 的单调性,∴ f ( x)min ? g ( x)max , m ? e2 ? (如图) x e ln x , f ( x) ? x2 ? 2ex ? m 的图像,设置参数 m x

回顾研究问题的过程,体会研究问题的方法。不仅教学生学习数学知识,而且教学生学习数学方法,在做中学, 在运用方法的过程中学习方法,让学生自己发现发明,实现对学生创造力的培养。

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第十二讲

正态分布

[我们将学到什么] 离散型随机变量的分布列得到连续型随机变量的分布密度函数 [为什么学习本课内容] 正态分布在统计中是很常用的分布,它能刻画很多随机现象,反映了连续型随机变量的分布规律. 正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布,从形式看,它属于概率论的范畴,但同时又是 统计学的基石,它在概率和统计中占有重要的地位。同时,正态分布广泛存在于自然现象、生产 和生活实际之中

问题一:高尔顿板的实验说明了什么数学本质?
(一)设置情境,呈现问题 学生没有接触过正态曲线,对正态曲线的来源也没有认识,因此,教师向学生出示高尔 顿板模型引入本节课,并提出问题 . 子问题 1: 同学们是否见过此模型?在哪见过?如何利用高尔顿板进行试验? 预设学生活动:学生不仅见过还在通用技术课上自己制作过高尔顿板,并知道高尔顿板 试验是让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层障碍物碰撞, 最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内 . 活动 1:高尔顿板试验 为了观察到小球的运动,得到小球的分布规律,我把全班分成 6 个小组,以小组为单位进 行高尔顿板试验,思考下面问题 . 子问题 2:试验过程中,小球碰撞和落入的位置,随着试验次数增加,球槽中小球堆积的高 度及形状特点。 学生以小组为单位边试验边观察,并思考教师提出的问题,教师以小组选派代表的方式总结 每个小组的试验观察结果. 预设学生活动:学生能够观察到小球从高尔顿板上方下落的过程中,小球经过每一层都要 和其中的一个障碍物发生碰撞,碰撞有两种可能,从左落下或从右落下,最后落入底部的球 槽,小球落入哪个球槽是随机的;随着试验次数的增加,掉入各个球槽内的小球的个数就会 越来越多,球槽中小球堆积的高度也会越来越高;随着试验次数增加,小球堆积的形状具有 中间高两边低的特点,如果有学生观察出左右对称的特点,教师应给与鼓励和表扬. (二)探索实践,寻找模型 一.钟形曲线
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感性认识要上升到理性认识,为方便研究问题,我们从左到右给球槽编号,小球落入哪个球 槽是不是有一定规律可遵循 . 子问题 3: 如何用我们所学的知识研究落在各个球槽内的小球的分布情况? 预案 1:用 X 表示球槽编号,则 X 是一个随机变量,每投放一个小球就可以看做 1 个试验, 重复投放 n 个小球,相当于做了 n 次独立重复试验,某一槽中球的个数就是小球落在这个槽中的 频数,可以在大量重复的试验下,用频率估计概率,列出球槽编号 X 的分布列; 预案 2:以球槽的编号为横坐标,可以画出小球分布的频率分布直方图 . 学生讨论比较 2 种预案,哪种预案好? 预设学生活动:对于离散型随机变量而言,其分布列完全刻画了它的概率分布规律,但只能 通过频率来近似,现在无法知道所构造的随机变量的分布列.而频率分布直方图更加准确直观形 象,所以经过学生讨论用频率分布直方图进一步探究小球的分布规律 . 【设计意图】借助频率分布直方图更加准确直观形象的研究小球的分布规律,为正态曲线的 得出做铺垫. 活动 2:画频率分布直方图 由于课堂时间所限,让学生在课前进行试验,并记录落入各个球槽内小球的频数,利用 图形计算器画频率分布画直方图,课上请 1 个小组的同学展示在课前画的频率分布直方图 . 教师出示课前收集到的其他小组画出的频率分布直方图,并思考下面问题 .

问题 4: 观 察频率分布直方 图有何共同特 点? 预设学生活动:学生可发现频率分布直方图具有中间高两边低(左右两边对称)的特点, 并且频率分布直方图的外形与试验中小球的堆积形状是一样的 . 活动 3:试验次数不断增加、组距不断缩小 子问题 5: 是不是只有小球的分布具有中间高两边低的特点?

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预设学生活动:教师引导学生调用在必修 3 统计的学习中,收集过身高、体重、成绩等数据, 借助图形计算器,可以画出这些数据的频率分布直方图,发现这些数据都具有中间高两边低的特 点. 为了更好的探究这些数据的分布规律,教师引导学生由频率分布直方图过渡到频率分布 折线图 . 除了频率分布直方图外,在必修 3 的学习中,我们连接频率分布直方图中各小长方形上 端的中点,就得到了频率分布折线图,频率分布直方图和折线图都能刻画小球的分布规律 . 请同学们借助图形计算器画出身高、体重、成绩等数据的频率分布折线图 .思考下面问题 . 子问题 6:画出身高、体重、成绩等数据的频率分布折线图,随着试验次数增加或组距不断 缩小,观察频率分布折线图有何特点? 组内讨论交流后,以小组选派的代表的方式请 1-2 名学生展示 . 预设学生活动:随着试验次数增加或组距不断缩小,频率分布折线图的形状也越来越光滑. 子问题 7: 生活中我们是否见过类似形状的东西? 预设学生活动:象我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东西,我们称之为钟形曲线. 二.正态曲线 对钟形曲线有了初步的认识,如何由钟形曲线得到正态曲线 . 活动 4:教师用计算机演示 教师借助几何画板演示,引导学生观察当试验次数增加或组距不断缩小时,频率分布折线图 越来越象一条钟形曲线. 【设计意图】借助几何画板演示更加直观形 规律,为正态曲线概念的得出做铺垫,有利于学 的培养. 对于这条钟形曲线,早在十八世纪 30 年代,棣莫弗、斯特灵等数学家经过十几年的努力,应 用求导、对数、无穷级数、积分、变量代换等数学方法就推导出这条钟形曲线就是函数
? 1 ?? ,? ( x) ? e 2π? ( x ? ? )2 2? 2

象,使学生发现 生观察发现能力

的图象,其中 ? 和 ? ( ? ? 0 )为参数,我们称 ? ? ,? ( x) 的图象为正态分布

密度曲线,简称正态曲线.

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在对正态曲线认识的基础上进入理性分析,得到正态分布的概念. 三.正态分布 知道了小球的分布规律是正态曲线,为了引导学生由正态曲线认识正态分布设计了下面的问 题. 子问题 8: 一个小球从高尔顿板口落下,会落在哪?为什么? 预设学生活动:一个小球从高尔顿板口落下,落在中间的可能性大,概率大. 子问题 9: 如何计算小球落在某个区间 ( a , b] 的概率? 采用小组讨论的方式探究此问题,教师 指导.这样就需要我们建立适当的坐标系,如 最下边的球槽,沿高尔顿板底部建立一个 度单位为球槽的宽度,若用 X 表示落下的 尔顿板底部接触时的坐标 . 学生能够结合定
b a

巡视, 并做适当的 果去掉高尔顿板 水平坐标 轴, 刻 小球第 1 次与高 积分和概率的知

识想到用定积分求曲边梯形的面积,这样就得到 P(a ? X ? b) ? ? ?? ,? ( x)dx .通过下面的问题总结

X 是什么样的量?它受到哪些因素的影响.
子问题 10: 判断下面说法是否正确,说明理由. (1) X 是一个障碍物作用的结果; (2)如果小球与第 1 个障碍物相撞后向左落下,那么小球与第 5 个障碍物相撞后也向左落下; (3) X 主要受最后一次与小球碰撞的障碍物的影响. 预设学生活动: X 是一个随机变量,受到了很多个障碍物的作用;每个障碍物是互不影响、 互不相干; 小球落在什么位置是很多次碰撞的结果, 这些碰撞不分主次.因此,X 是一个随机变量, 受到了众多的、互不相干的、不分主次的因素的影响. 由学生给出描述小球分布规律的正态分布的定义, 教师给与补充进一步完善正态分布的概念. 一般地,如果对于任何实数 a , b ( a ? b ) ,随机变量 X 满足

P(a ? X ? b) ? ? ?? ,? ( x)dx ,
a

b

则称随机变量 X 服从正态分布,记为 X ~ N ( μ, ?2 ) ,参数 ? 可以用样本的均值估计,? 可以用样 本的方差估计.

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很据前面对随机变量 X 的特点的分析,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次 的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布。 在现实生活中,长度测量误差,某一地区同龄人群的身高、体重、肺活量等,一般都服从正 态分布. 正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际中,正态分布在概率和统计中占有重要 的地位。因此,在对概念有初步认识的基础上,就需要我们提升认知,探究正态曲线的特点和意 义, (三)回归现实,提出问题
? 1 正态曲线一方面是函数 ?? ,? ( x) ? e 2π? ( x ? ? )2 2? 2

的图象,另一方面正态曲线是刻画随机变量的

概率分布规律,因此我们可以从函数和概率两个方面探究正态曲线的特点和意义. 子问题 11: 结合 ?? ,? ( x) 的解析式及概率的性质,说一说正态曲线都有哪些特点? 预设学生活动:学生可以从函数的定义域、最值和对称性等方面探究曲线的特点,也可以利 用图形计算器,画出函数的图象探究曲线的特点. 正态曲线特点 (1) (2) (3) 曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交 曲线是单峰的,它关于直线 x ? ? 对称 曲线在 x ? ? 处达到峰值
1 2 π?

(4)

曲线与 x 轴之间的面积为 1

为了调动学生的探究热情,采用组内合作,组间竞争的学习方式,分组讨论后采用小组选 派代表的方式交流探究成果. (四)总结提炼,提高能力 为了进一步培养学生的概括和语言表达能力,课堂小结设置了 2 个问题: (1)本节课我们学习的知识有哪些? (2)在正态曲线、正态分布概念的得出和正态曲线特点的探究上,我们用了哪些研究问题的 方法,体现了哪些数学思想? 我们用一节课的时间认识了正态分布,事实上,从历史上看,正态分布从 1733 年问世到作为 分析统计数据的概率模型经历了 100 多年,经过棣莫弗、高斯、凯特莱和高尔顿等很多科学家的 辛苦努力.课后请同学们查阅相关的资料,了解正态分布的发展史.
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棣莫佛





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