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高一数学绝对值不等式的解法



学科: 学科:数学 教学内容: 教学内容:含绝对值不等式的解法

【自学导引】 自学导引】

1.绝对值的意义是: x =

x ( x ≥ 0) . x ( x < 0)

. 2.|x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a} |x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a 或 x>a} . 【思考导学】 思考导学】 1.|ax+b|<b(b>0)转化成-b<ax+b<b 的根据是什么? 答:含绝对值的不等式|ax+b|<b 转化-b<ax+b<b 的根据是由绝对值的意义确定. 2.解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么? 答:解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对 值符号的一般不等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同. 【典例剖析】 典例剖析】 [例 1]解不等式 2<|2x-5|≤7.

| 2 x 5 |> 2 解法一:原不等式等价于 解法一 | 2 x 5 |≤ 7

7 3 2 x 5 | 2或 2 x 5 < 2 x > 或 x < 即 ∴ 2 2 7 ≤ 2 x 5 |≤ 7 1 ≤ x ≤ 6
∴原不等式的解集为{x|-1≤x<

3 7 或 <x≤6} 2 2 解法二: 解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集
2 x 5 ≥ 0 (Ⅰ) 2 < 2 x 5 ≤ 7

2 x 5 < 0 (Ⅱ) 2 < 5 2 x ≤ 7

7 <x≤6} 2 3 不等式组(Ⅱ)的解集是{x|-1≤x< } 2 3 7 ∴原不等式的解集是{x|-1≤x< 或 <x≤6} 2 2 解法三: 解法三:原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集. (Ⅰ)2<2x-5≤7 (Ⅱ)2<5-2x≤7 7 不等式(Ⅰ)的解集为{x| <x≤6} 2 3 不等式(Ⅱ)的解集是{x|-1≤x< } 2 3 7 ∴原不等式的解集是{x|-1≤x< 或 <x≤6} . 2 2 点评: 点评:含绝对值的双向不等式的解法,关键是去绝对值号.其方法一是转 化为单向不等式组如解法一,再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三. [例 2]解关于 x 的不等式: (1)|2x+3|-1<a(a∈R); R (2)|2x+1|>x+1. 解:(1)原不等式可化为|2x+3|<a+1 当 a+1>0,即 a>-1 时,由原不等式得-(a+1)<2x+3<a+1 a+4 a2 <x< - 2 2 当 a+1≤0,即 a≤-1 时,原不等式的解集为 , a+4 a2 < x< } 综上,当 a>-1 时,原不等式的解集是{x|- 2 2 当 a≤-1 时,原不等式的解集是 . (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解
不等式组(Ⅰ)的解集为{x|

2 x + 1 ≥ 0 2 x + 1 < 0 或(Ⅱ) (Ⅰ) 2 x + 1 > x + 1 ( 2 x + 1) > x + 1
不等式组(Ⅰ)的解为 x>0 不等式组(Ⅱ)的解为 x<-

2 3

2 或 x>0} 3 点评: 点评:由于无论 x 取何值,关于 x 的代数式的绝对值均大于或等于 0,即不可能小于 0, 故|f(x)|<a(a≤0)的解集为 . 解不等式分情况讨论时,一定要注意是对参数分类还是对变量分类,对参数分类的解集 一般不合并,如(1)对变量分类,解集必须合并如(2). [例 3]解不等式|x-|2x+1||>1. 解:∵由|x-|2x+1||>1 等价于(x-|2x+1|)>1 或 x-|2x+1|<-1 (1)由 x-|2x+1|>1 得|2x+1|<x-1
∴原不等式的解集为{x|x<-

2 x + 1 ≥ 0 2 x + 1 < 0 ∴ 或 2 x + 1 < x 1 ( 2 x + 1) < x 1

1 1 x ≥ x < 即 2 或 2 均无解 x < 2 x > 0
(2)由 x-|2x+1|<-1 得|2x+1|>x+1

2 x + 1 ≥ 0 2 x + 1 < 0 ∴ 或 2 x + 1 > x + 1 ( 2 x + 1) > x + 1
1 1 x < 2 x ≥ 2 即 ,∴x>0 或 x<- 2 或 3 x > 0 x < 2 3

2 或 x>0}. 3 点评: ,反复应用解答绝对值 点评:这是含多重绝对值符号的不等式,可以从“外”向“里” 基本不等式类型的方法,去掉绝对值的符号,逐次化解.
综上讨论,原不等式的解集为{x|x<- 【随堂训练】 随堂训练】 1.不等式|8-3x|>0 的解集是( A. B.R R C.{x|x≠ D.{

)

8 ,x∈R} R 3

8 } 3 答案: 答案: C 2.下列不等式中,解集为 R 的是( ) A.|x+2|>1 B.|x+2|+1>1 2 C.(x-78) >-1 2 D.(x+78) -1>0 答案: 答案: C 3.在数轴上与原点距离不大于 2 的点的坐标的集合是( A. x|-2<x<2 } { B. x|0<x≤2 } {
C. x|-2≤x≤2} { D. x|x≥2 或 x≤-2} { 解析: 所求点的集合即不等式|x|≤2 的解集. 解析: 答案: 答案: C ) 4.不等式|1-2x|<3 的解集是( A. x|x<1 } {

)

B. x|-1<x<2 } { C. x|x>2} { D. x|x<-1 或 x>2} { 解析: 解析: 由|1-2x|<3 得-3<2x-1<3,∴-1<x<2 答案: 答案: B 5.不等式|x+4|>9 的解集是__________. 解析: 解析: 由原不等式得 x+4>9 或 x+4<-9,∴x>5 或 x<-13 答案: 答案: {x|x>5 或 x<-13 } 6.当 a>0 时,关于 x 的不等式|b-ax|<a 的解集是________. 解析: 解析: 由原不等式得|ax-b|<a,∴-a<ax-b<a

b b -1<x< +1 a a b b ∴{x| -1<x< +1 } a a b b 答案: 答案: {x| -1<x< +1} a a
∴ 【强化训练】 强化训练】 1.不等式|x+a|<1 的解集是( A. x|-1+a<x<1+a { B. x|-1-a<x<1-a } { C. x|-1-|a|<x<1-|a| } {

)

D. x|x<-1-|a|或 x>1-|a|} { 解析: 解析: 由|x+a|<1 得-1<x+a<1 ∴-1-a<x<1-a 答案: 答案: B 2.不等式 1≤|x-3|≤6 的解集是( ) A. x|-3≤x≤2 或 4≤x≤9} { B. x|-3≤x≤9} { C. x|-1≤x≤2} { D. x|4≤x≤9} {

x 3 ≥ 0 x 3 < 0 解析: 或 解析: 不等式等价于 1 ≤ x 3 ≤ 6 1 ≤ 3 x ≤ 6
解得:4≤x≤9 或-3≤x≤2. 答案: 答案: A 3.下列不等式中,解集为{x|x<1 或 x>3}的不等式是( A.|x-2|>5 B.|2x-4|>3

)

x 1 -1|≤ 2 2 x 1 D.1-| -1|< 2 2 解析: 解析: A 中,由|x-2|>5 得 x-2>5 或 x-2<-5
C.1-|

∴x>7 或 x<-3

7 或 x<-1} 2 C 的解集为{x|x≤1 或 x≥3} D 的解集为{x|x<1 或 x>3} 答案: 答案: D 4.已知集合 A={x||x-1|<2},B={x||x-1|>1},则 A∩B 等于( ) A.{x|-1<x<3} B.{x|x<0 或 x>3} C.{x|-1<x<0} D.{x|-1<x<0 或 2<x<3} 解析: 解析: |x-1|<2 的解为-1<x<3,|x-1|>1 的解为 x<0 或 x>2. ∴A∩B={x|-1<x<0 或 2<x<3}. 答案: 答案: D 5.已知不等式|x-2|<a(a>0)的解集是{x|-1<x<b},则 a+2b= 解析: 解析: 不等式|x-2|<a 的解集为{x|2-a<x<2+a} 由题意知: x|2-a<x<2+a}={x|-1<x<b} {
同理,B 的解集为{x|x>



2 a = 1 a = 3 ∴ 2 + a = c c = 5
∴a+2b=3+2×5=13 答案: 答案: 13 6.不等式|x+2|>x+2 的解集是______. 解析: 解析: ∵当 x+2≥0 时,|x+2|=x+2,x+2>x+2 无解. 当 x+2<0 时,|x+2|=-(x+2)>0>x+2 ∴当 x<-2 时,|x+2|>x+2 答案: 答案: {x|x<-2} 7.解下列不等式: (1)|2-3x|≤2;(2)|3x-2|>2. 解:(1)由原不等式得-2≤2-3x≤2,各加上-2 得-4≤-3x≤0,各除以-3 得 ≥0,解集为{x|0≤x≤

4 ≥x 3

4 }. 3 4 ,故解集为{x|x<0 或 x 3

(2)由原不等式得 3x-2<-2 或 3x-2>2,解得 x<0 或 x> >

4 }. 3 8.解下列不等式:(1)3≤|x-2|<9;(2)|3x-4|>1+2x. 解:(1)原不等式等价于不等式组

由①得 x≤-1 或 x≥5; 由②得-7<x<11,把①、②的解表示在数轴上(如图), ∴原不等式的解集为{x|-7<x≤-1 或 5≤x<11}. (2)原不等式等价于下面两个不等式组,即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的 并集:

3x 4 ≥ 0, 3x 4 < 0, ① ② 3x 4 > 1 + 2 x; (3x 4) > 1 + 2 x.
由不等式组①解得 x>5;由不等式组②解得 x< ∴原不等式的解集为{x|x<

3 . 5

3 或 x>5}. 5 , ,求集合 M,使其同时满足下列 9.设 A={x||2x-1|≤3} B={x||x+2|<1} 三个条件: (1)M [(A∪B)∩Z] Z ; (2)M 中有三个元素; (3)M∩B≠ 解:∵A={x||2x-1|≤3}={x|-1≤x≤2} B={x||x+2|<1}={x|-3<x<-1} ∴M [(A∪B)∩Z]={x|-1≤x≤2}∪{x|-3<x<-1}∩Z={x|-3<x≤2} Z Z ∩Z={-2,-1,0,1,2} Z 又∵M∩B≠ ,∴-2∈M. 又∵M 中有三个元素 ∴同时满足三个条件的 M 为: {-2,-1,0}{-2,-1,1}{-2,-1,2}{-2,0,1}{-2,0,2}{-2, , , , , , 1,2} .
【学后反思】 学后反思】 解绝对值不等式,关键在于“转化” .根据绝对值的意义,把绝对值不等式转化为一次 不等式(组). |x|<a 与|x|>a(a>0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集. 不等式|x|<a(a>0)的解集是 x|-a<x<a} 其解集在数轴上表示为(见图 1—7): { .

不等式|x|>a(a>0)的解集是{x|x>a 或 x<-a} ,其解集在数轴上表示为(见图 1 —8): 把不等式|x|<a 与|x|>a(a>0)中的 x 替换成 ax+b,就可以得到|ax+b|<b 与|ax+b|>b(b>0)型的不等式的解法.

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