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2017高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.9函数模型及函数的综合应用课时练理


2017 高考数学一轮复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.9 函 数模型及函数的综合应用课时练 理
时间:90 分钟 基础组 1.[2016·衡水二中猜题]汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若 把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是( )

答案 A 解析 汽车加速行驶时,速度变化越来越快,而汽车匀速行驶时,速度保持不变,体现 在 s 与 t 的函数图象上是一条直线,减速行驶时,速度变化越来越慢,但路程仍是增加的, 故选 A. 2.[2016·衡水中学月考]某种电热水器的水箱的最大容积是 200 升,加热到一定温度 可以浴用,浴用时,已知每分钟放水 34 升,在放水的同时注水,t 分钟注水 2t 升,当水箱 内水量达到最小值时,放水自动停止.现在假定每人洗浴用水 65 升,则该热水器一次至多 可供( ) B.4 人洗澡 D.6 人洗澡 A.3 人洗澡 C.5 人洗澡 答案 B 17 2 解析 设最多用 t 分钟,则水箱内水量 y=200+2t -34t,当 t= 时,y 有最小值, 2 17 此时共放水 34× =289 升,可以供 4 人洗澡. 2 3.[2016·枣强中学预测]若函数 f(x)=a+|x|+log2(x +2)有且只有一个零点,则实 数 a 的值是( A.-2 C.0 答案 B 解析 将函数 f(x)=a+|x|+log2(x +2)的零点问题转化为函数 f1(x)=-a-|x|的图 象与 f2(x)=log2(x +2)的图象的交点问题.因为 f2(x)=log2(x +2)在[0,+∞)上单调递 增,且为偶函数,因此其最低点为(0,1),而函数 f1(x)=-a-|x|也是偶函数, 在[0, +∞) 上单调递减,因此其最高点为(0,-a),要满足题意,则-a=1,因此 a=-1. 4.[2016·冀州中学模拟]某购物网站在 2013 年 11 月开展“全场 6 折”促销活动,在 11 日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6 折后)满 300 元时可减免 100 元”.某人在
2 2 2 2 2

) B.-1 D.2

1

11 日当天欲购入原价 48 元(单价)的商品共 42 件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订 单张数为( A.1 C.3 答案 C 解析 为使花钱总数最少,需使每张订单满足“每张订单金额(6 折后)满 300 元时可减 免 100 元”,即每张订单打折前原金额不少于 500 元.由于每件原价 48 元,因此每张订单 至少 11 件,所以最少需要下的订单张数为 3 张,选 C. 5. [2016·武邑中学预测]已知函数 f(x)=(x-a) +(ln x -2a) ,其中 x>0,a∈R, 4 存在 x0 使得 f(x0)≤ 成立,则实数 a 的值为( 5 A. C. 1 5 1 2
2 2 2 2 2 2

) B.2 D.4

) B. 2 5

D.1

答案 A 解析 (x-a) +(ln x -2a) 表示点 P(x,ln x )与点 Q(a,2a)距离的平方. 易知点 P 在曲线 g(x)=2ln x 上,点 Q 在直线 y=2x 上. 2 因为 g′(x)= ,且直线 y=2x 的斜率为 2,
2

x

2 所以令 =2,解得 x=1.

x

又当 x=1 时,g(x)=0, 从而与直线 y=2x 平行的曲线 g(x)=2ln x 的切线方程为 y=2(x-1),如图所示.

因为直线 y=2(x-1)与直线 y=2x 间的距离为 2 5 故|PQ|的最小值为 , 5 即 f(x)=(x-a) +(ln x -2a) 的最小值为?
2 2 2

2 5 = . 5 2 +?-1?
2 2

2

?2 5?2 4 ?= . ? 5 ? 5

2a-0 又当|PQ|最小时,P 点的坐标为(1,0),所以由题意知 x0=1,且 ×2=-1,解得 a a-1

2

1 = . 5

6. [2016·衡水二中一轮检测]函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象如图所示, 则函数 g(x) =ln x+f′(x)的零点所在的区间是( )

2

?1 1? A.? , ? ?4 2?
B.(1,2)

?1 ? C.? ,1? ?2 ?
D.(2,3) 答案 C 解析 由图象得,a+b+1=0,0<b<1,∴-2<a<-1,∵g(x)=ln x+2x+a 在(0,+

?1? ∞)上是增函数,且 g(1)=a+2>0,g? ?=a+1-ln 2<0,∴函数 g(x)=ln x+f′(x)的零 ?2? ?1 ? 点所在的区间是? ,1?. ?2 ?
7.[2016·枣强中学猜题]某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不 得超过 1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量 P(单位:mg/L)与过滤时间 t(单位:h)之 间的函数关系为 P=P0e 1 h 2
-kt

(k,P0 均为正的常数).若在前 5 个小时的过滤过程中污染物被排 ) 5 h 9

除了 90%.那么,至少还需过滤________才可以排放( A. B.

C.5 h 答案 C

D.10 h
-5k

解析 设原污染物数量为 a,则 P0=a.由题意有 10%a=ae 后污染物的含量不得超过 1%,则有 1%a≥ae 滤 10-5=5 h 才可以排放.
-tk

,所以 5k=ln 10.设 t h

,所以 tk≥2ln 10,t≥10.因此至少还需过

8.[2016·枣强中学周测]如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价 收入与付出成本的差)y 与乘客 x 之间的关系图象,由于目前该条公路亏损,公司有关人员 提出了两种调整的建议如图(2)(3)所示.

3

以下说法: ①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变; ③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; ④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中正确的序号是( A.①③ C.②③ 答案 C 解析 根据题意和题图(2)知,两直线平行即票价不变,直线向上平移说明当乘客量为 0 时,收入是 0,但是支出的变少了,即说明了此建议是降低成本而保持票价不变,故②正 确;由题图(3)知,当乘客量为 0 时,支出不变,但是直线的倾斜角变大,即相同的乘客量 时收入变大,即票价提高了,即说明了此建议是提高票价而保持成本不变,故③正确.故选 C. 9.[2016·衡水二中周测]有一位商人,从北京向上海的家中打电话,通话 m 分钟的电 话费由函数 f(m)=1.06×(0.5[m]+1)(元)决定,其中 m>0,[m]是大于或等于 m 的最小整 数.则从北京到上海通话时间为 5.5 分钟的电话费为________. 答案 4.24 元 解析 ∵m=5.5, ∴[5.5]=6.代入函数解析式, 得 f(5.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24 元. 10 . [2016· 衡 水 二 中 模 拟 ] 对 于 任 意 两 个 实 数 x1 , x2 , 定 义 max(x1 , x2) =
? ?x1, ? ?x2, ?

) B.①④ D.②④

x1≥x2, x1<x2.

若 f(x)=x -2,g(x)=-x,则 max(f(x),g(x))的最小值为________.

2

答案 -1

解析 f(x)-g(x)=x -2-(-x)=x +x-2,令 x +x-2≥0,解得 x≥1 或 x≤-2.
4

2

2

2

当-2<x<1 时,x +x-2<0,即 f(x)<g(x),
? ?-x -2<x<1, 所以 max(f(x),g(x))=? 2 ? ?x -2, x≥1或x≤-2,

2

作出图象,如图,由图象可知函

数的最小值为-1. 11.[2016·冀州中学周测]某厂去年的产值为 1,若计划在今后五年内每年的产值比上 年增长 10%,则从今年起到第五年这五年内,这个厂的总产值约为________.(保留一位小 数,取 1.1 ≈1.6) 答案 6.6 解析 第一年产值为 1×(1+10%)=1.1,第二年产值为 1×(1+10%) =1.1 ,?,第五 1.1×?1-1.1 ? 5 年的产值为 1.1 ,故前 5 年总产值为 ≈6.6. 1-1.1 12. [2016·衡水中学期中]某工厂生产某种产品,每日的成本 C(单位:万元)与日产量
5 2 2 5

x(单位:吨)满足函数关系式 C=3+x,每日的销售额 S(单位:万元)与日产量 x 的函数关系 k ? ?3x+ +5?0<x<6?, x - 8 式 S=? ? ?14?x≥6?,
(1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值. 已知每日的利润 L=S-C,且当 x=2 时,L=3.

k ? ?2x+ +2?0<x<6?, x - 8 解 (1)由题意可得,L=? ? ?11-x?x≥6?,
因为 x=2 时,L=3,所以 3=2×2+ +2. 2-8 解得 k=18. (2)当 0<x<6 时,L=2x+ 所以 L=2(x-8)+ 18 18

k

x-8

+2,

x-8

+18

18 ? ? =-?2?8-x?+ +18 8 -x? ? ? ≤-2 18 2?8-x?· +18=6. 8-x 18 ,即 x=5 时取得等号. 8-x

当且仅当 2(8-x)=

当 x≥6 时,L=11-x≤5. 所以当 x=5 时,L 取得最大值 6. 所以当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大值 6 万元. 13.[2016·武邑中学一轮检测]随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有 一家公司现有职员 2a 人(140<2a<420,且 a 为偶数),每人每年可创利 b 万元.据评估,在 经营条件不变的前提下,每裁员 1 人,则留岗职员每人每年多创利 0.01b 万元,但公司需付
5

下岗职员每人每年 0.4b 万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 3 ,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人? 4 解 设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,则 [x -2(a-70)x]+2ab. 100

y=(2a-x)(b+0.01bx)-0.4bx=-

b

2

3 a 依题意 2a-x≥ ·2a,∴0<x≤ .又 140<2a<420,70<a<210. 4 2 (1)当 0<a-70≤ ,即 70<a≤140 时,x=a-70,y 取到最大值; 2 (2)当 a-70> ,即 140<a<210 时,x= ,y 取到最大值; 2 2 所以当 70<a≤140,公司应裁员 a-70 人,经济效益取到最大值; 当 140<a<210,公司应裁员 人,经济效益取到最大值. 2 能力组 14.[2016·枣强中学仿真]国家规定个人稿费纳税办法为:不超过 800 元的不纳税;超 过 800 元而不超过 4000 元的按超过部分的 14%纳税; 超过 4000 元的按全稿酬的 11%纳税. 若 某人共纳税 420 元,则这个人的稿费为( A.3000 元 C.3818 元 答案 B 解析 由题意可建立纳税额 y 关于稿费 x 的函数解析式为 y= ) B.3800 元 D.5600 元

a

a

a

a

0,x≤800 ? ? ?0.14?x-800?,800<x≤4000, ? ?0.11x,x>4000

显然由 0.14(x-800)=420,可得 x=3800.

15.[2016·枣强中学期末]已知函数 f(x)的定义域为 R.若存在常数 c>0,? x∈R,有

f(x+c)>f(x-c),则称函数 f(x)具有性质 P.给出下列三个函数:
①f(x)=2 ;②f(x)=sinx;③f(x)=x -x. 其中,具有性质 P 的函数的序号是________. 答案 ①③ 解析 ①若 f(x)=2 ,则由 f(x+c)>f(x-c)得 2
x x+c x
3

>2

x-c

,即 x+c>x-c,所以 c>0 恒

成立, 所以①具有性质 P.②若 f(x)=sinx, 则由 f(x+c)>f(x-c)得 sin(x+c)>sin(x-c), 整理得 cosxsinc>0,所以不存在常数 c>0,? x∈R,有 f(x+c)>f(x-c)成立,所以②不具 有性质 P.③若 f(x)=x -x,则由 f(x+c)>f(x-c)得(x+c) -(x+c)>(x-c) -(x-c), 整理得 3x +c >1,所以只要 c>1,则 f(x+c)>f(x-c)成立,所以③具有性质 P,所以具有 性质 P 的函数的序号是①③. 16. [2016·冀州中学热身]已知函数 f(x)=2 ,g(x)=x +ax(其中 a∈R).对于不相等 的实数 x1,x2,设 m=
x
2 2 2 3 3 3

f?x1?-f?x2? g?x1?-g?x2? ,n= .现有如下命题: x1-x2 x1-x2
6

①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m>0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; ④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n. 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号). 答案 ①④ 2 1-2 2 解析 因为 f(x)=2 在 R 上是单调递增的, 所以对于不相等的实数 x1, x2, m= >0 x1-x2
x
2 x2 1+ax1-?x2+ax2? 恒成立, ①正确; 因为 g(x)=x +ax,所以 n= =x1+x2+a,正负不定, x1-x2 2

x

x

②错误;由 m=n,整理得 f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2).令函数 p(x)=f(x)-g(x)=2 -x -ax,则 p′(x)=2 ln 2-2x-a,令 t(x)=p′(x),
x x
2 2 2

x

2

则 t′(x)=2 (ln 2) -2,又 t′(1)=2(ln 2) -2<0,t′(3)=8(ln 2) -2>0,从而 存在 x0∈(1,3),使得 t′(x0)=2 0(ln 2) -2=0,于是 p′(x)有极小值 p′(x0)=2 0ln 2 - 2x0 - a = 2 2 2 - 2log2 2 - a ,所以存在 a =- 2log2 2 ,使得 p′(x0) = ln 2 ?ln 2? ?ln 2?
x
2

x

2 >0, 此时 p(x)在 R 上单调递增, 故不存在不相等的实数 x1, x2, 使得 f(x1)-g(x1)=f(x2) ln 2 -g(x2),不满足题意,③错误;由 m=-n,得 f′(x)=-g′(x),即-a=2 ln 2+2x.设
x

h(x)=2xln 2+2x,则 h′(x)=2x(ln 2)2+2>0,所以 h(x)在 R 上是单调递增的,且当 x→
+∞时,h(x)→+∞;当 x→-∞时,h(x)→-∞,所以对于任意的 a,y=-a 与 y=h(x) 的图象一定有交点,④正确.

17.[2016·枣强中学周测]如图所示,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀, 其中 AE=4 米,CD=6 米.为合理利用这块钢板,在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM,使 点 P 在边 DE 上. (1)设 MP=x 米,PN=y 米,将 y 表示成 x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形 BNPM 面积的最大值. 解 (1)作 PQ⊥AF 于 Q,所以 PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.

又△EPQ∽△EDF,所以 =

EQ EF x-4 4 ,即 = . PQ FD 8-y 2

1 所以 y=- x+10,定义域为{x|4≤x≤8}. 2 (2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米,则
7

x? 1 ? S(x)=xy=x?10- ?=- (x-10)2+50,

?

2?

2

S(x)是关于 x 的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为 x=10,所以当 x∈[4,8]时, S(x)单调递增.
所以当 x=8 米时,矩形 BNPM 的面积取得最大值,为 48 平方米.

8


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