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高考数学一轮复习 第三章 第八节 正弦定理和余弦定理的应用课件 理 新人教版_图文


第八节 正弦定理和余弦定理的应用 [主干知识梳理] 一、实际问题中的有关概念 1.仰角和俯角: 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫 仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图1). 2.方位角: 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位 角为α(如图2). 3.方向角: 相对于某一正方向的水平角(如图3) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向. (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似. 4.坡度: (1)定义:坡面与水平面所成的二面角的度数 (如图4,角θ 为坡角). (2)坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4,i为坡 比) . 二、解三角形应用题的一般步骤 1 . 审 题,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量 与量之间的关系; 2 .根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型; 3.选择正弦定理或余弦定理求解; 4 .将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、 近似计算要求. [基础自测自评] 1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β 之间的关系是 A.α>β C.α+β=90° B.α=β D.α+β=180° ( ) B 2.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且 AC=BC,则点A在点B的 ( ) A.北偏东15° C.北偏东10° B.北偏西15° D.北偏西10° B [如图所示, ∠ACB=90°, 又AC=BC, ∴∠CBA=45°, 而β=30°, ∴α=90°-45°-30°=15°. ∴点A在点B的北偏西15°.] 3.(教材习题改编)如图,设 A、B 两点在河 的两岸,一测量者在 A 的同侧,选定一 点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB =45°,∠CAB=105°,则 A、B 两点 的距离为 A.50 2 m C.25 2 m B.50 3 m 25 2 D. 2 m ( ) A [由正弦定理得 2 AC·sin ∠ACB 50× 2 AB= = 1 =50 2(m).] sin B 2 4.(2014·泰州模拟)一船向正北航行,看见正东方向有相距8 海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏东60°,另一灯塔在船的南偏东 75°,则这艘船每小时航行________海里. 解析 如图,由题意知在△ABC 中,∠ACB=75°-60°=15°, B=15°, ∴AC=AB=8. 在 Rt△AOC 中, OC=AC· sin 30°=4. 4 ∴这艘船每小时航行1=8 海里. 2 答案 8 5.如图,某人在斜坡上仰视对面山顶上 的一座铁塔 AB,发现在 P 点处的视 2 角∠APB 的正切值为 ,若铁塔所在 11 的山高为 OA=220 米,OC=200 米, 观测者所在斜坡 CP 的直线距离为 1 60 5米,斜坡与水平面的夹角为α ,且 tan α =2,据此推测, 塔高 AB 约为__________米(点 P 与 O、A、B、C 在同一竖直 平面内). 解析 如图,过点 P 分别作 OC、OB 的垂线 PM、PN,垂足分别 为 M、N, 1 ∵PC=60 5,tan α= , 2 ∴CM=120,PM=ON=60, ∴AN=OA-ON=160, PN=OM=OC+CM=320, AN 1 tan ∠APN=PN=2. 在 Rt△PNB 中,tan ∠BPN=tan(∠APN+∠BPA) tan ∠APN+tan ∠BPA = 1-tan ∠APN·tan ∠BPA 1 2 2+11 = 1 2 1- × 2 11 3 =4. BN 又 tan ∠BPN=PN,∴BN=240, ∴AB=BN-AN=80. 答案 80 [关键要点点拨] 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个 三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两 个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三 角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几 个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 测量距离问题 [典题导入] (2014·肇庆模拟)如图,某测量人员为了测量西江 北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一 点C,从C点可以观察到点A,B;找到一点D,从D点可以观 察到点A、C;找到一点E,从E点可以观察到点 B,C;并测 量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°, ∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1百米. (1)求△CDE的面积; (2)求A,B之间的距离. [听课记录] (1)在△ CDE 中, ∠DCE=360° -90° -15° -105° =150° , 1 1 S△ CDE=2DC· CE· sin 150° =2× sin 30° 1 1 1 =2× 2=4(平方百米). (2)连接 AB,依题意知,在 Rt△ ACD 中, AC=DC· tan∠ADC=1× tan 60° = 3, 在△ BCE 中,∠CBE=180° -∠BCE-∠CEB =180° -105° -45° =30° , BC CE 由正弦定理sin ∠CEB=sin∠CBE, 1 CE 得 BC=sin∠CBE· sin∠CEB=sin 30° × sin 45° = 2. ∵cos 15° =cos(60° -45° ) =cos 60° cos 45° +sin 60° sin 45° 6+ 2 1 2 3 2 =2× 2 + 2 × 2 = 4 , 在△ ABC 中,由余弦定理 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos∠

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