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一次函数、反比例函数和二次函数


一、重要考点: 1.会画一次函数、二次函数、反比例函数的图象; 2.掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质; 3.能根据条件确定函数的解析式; 4.能用函数解决实际问题。 二.重点提示: 1.一次函数
定义 如果 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0) 那么 y 叫做 x 的一次函数 当 b=0 时,一次函数 y=kx+b 变为 y=kx(k≠0),y 叫 x 的正比例函数 图象 k>0 k<0 k>0,b=0 k<0,b=0

经过(0,0)、(1,k)两点的直线 经过点(0,b), (性质 y 随 x 增大而增大 ,0)两点的一条直线 y 随 x 增大而减小 图象在一、 三象限内 y 随 x 增大而增大 b 决定直线与 y 轴交点的位置 图象在二、 四象限内 y 随 x 增大而减小

2.二次函数 抛物线 y=ax2+bx+c (a≠0)位置由 a、b、c 决定

(1)a 决定抛物线的开口方向:

(2)c 决定抛物线与 y 轴交点的位置

(3)a、b 决定抛物线对称轴的位置,对称轴 x=①a、b 同号 ②b=0 ③a、b 异号 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧

对称轴是 y 轴

(4)顶点(-



)

(5)Δ=b2-4ac 决定抛物线与 x 轴交点情况 ①Δ>0 ②Δ=0 ③Δ<0 抛物线与 x 轴有两个不同交点 抛物线与 x 轴有一个公共点(相切) 抛物线与 x 轴无公共点

(6)二次函数的最大最小值由 a 决定:

当 a>0 时,函数在 x=-

时,有最小值,y 最小=



当 a<0 时,函数在 x=-

时,有最大值,y 最大=



3.反比例函数 (1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数图象的两个分支关于原点对称. (2)当 k>0 时,反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内.且在每个象限内,y 随 x 的增大而减小;当 k<0 时,图象的两个分支分别在第二、四象限内,且在每个象限内,y 随 x 的增大而增大. 注意:不能说成“当 k>0 时,反比例函数 y 随 x 的增大而减小,当 k<0 时,反比例函数 y 随 x 的增大而增大。”因为, 当 x 由负数经过 0 变为正数时,上述说法不成立。

(3) 反比例函数解析式的确定:反比例函数的解析式 y=

(k≠0)中只有一个待定系数 k,因而只要有一组 x、y 的对应值

或函数图象上一点的坐标,代入函数解析式求得 k 的值,就可得到反比例函数解析式。 二、考题精选 1.(南京)如图,E、F 分别是边长为 4 的正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点,CE=1, CF= , 直线 FE 交 AB 的延长线于 G。 过线段 FG 上的一个动点 H 作 HM⊥AG, HN⊥AD,

垂足分别为 M、N。设 HM=x,矩形 AMHN 的面积为 y。

(1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)求 x 为何值时,矩形 AMHN 的面积最大,最大面积是多少?

解:(1)∵正方形 ABCD 的边长为 4,CE=1,CF=

,∴CF//AG,BE=3,



, ∴BG=4,

∵ HM⊥AG,CB⊥AG,∴HM//BE,∴

, ∴MG=

x。

∴ y=x(4+4-

x)=-

x2+8x。

(2)∵y=-

x2+8x=-

(x-3)2+12。

∴当 x=3 时,y 最大,最大面积是 12。 解题点拨: (1).要写出 y 关于 x 的函数关系式,就要在图形中寻找对应关系,把对应关系中的量分别用 y、x 或已知量来替换, 就可以找到 y 与 x 的关系式。 (2).这类题目,注意自变量 x 的取值范围。 2.( 北京东城区)已知:如图一次函数的图象经过第一、二、三象限,且与反比例函数的图象交于 A、B 两点,与 y

轴交于点 C,与 x 轴交于点 D。OB= (1)求反比例函数的解析式;

,tan∠DOB=



(2)设点 A 的横坐标为 m,△ABO 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围;

(3)当△OCD 的面积等于

时,试判断过 A、B 两点的抛物线在 x 轴上截得的线段长能

否等于 3。如果能,求此时抛物线的解析式;如果不能,请说明理由。 解:(1)过点 B 作 BH⊥x 轴于点 H。 在 Rt△OHB 中,

∵tan∠HOB= ∴HO=3BH。



由勾股定理,得 BH2+HO2=OB2。

又∵OB=



∴BH2+(3BH)2=( ∵BH>0, ∴BH=1,HO=3。 点 B(-3,-1)。

)2。

设反比例函数的解析式为 y= ∵点 B 在反比例函数的图象上, ∴k1=3。

(k1≠0)。

∴反比例函数的解析式为:y=



(2)设直线 AB 的解析式为 y=k2x+b(k2≠0)。 由点 A 在第一象限,得 m>0。

又由点 A 在函数 y=

的图象上,可求得点 A 的纵坐标为



∵点 B(-3,-1),点 A(m,

),



解关于 k2、b 的方程组,得

∴直线 AB 的解析式为 y=



令 y=0,求得点 D 的横坐标为 x=m-3。

过点 D 的横坐标为 x=m-3。 过点 A 作 AC⊥x 轴于点 G。 S=S△BDO+ S△ADO = DO· BH+ DO· GA

=

DO(BH+GA)

=

|m-3|(1+|

|)。

由已知,直线经过第一、二、三象限,

∴b>0,即

>0。

∵m>0,∴3-m>0。 由此得:0<m<3。

∴S=

(3-m)(1+

)。

即 S=

(0<m<3)。

(3)过 A、B 两点的抛物线在 x 轴上截得的线段长不能等于 3。 证明如下:

S△OCD=

DO· OC=

|m-3|· |

|=



由 S△OCD=

,得

=

·



解得 m1=1,m2=3。 经检验,m1=1,m2=3 都是这个方程的根。

∵0<m<3, ∴m=3 不合题意,舍去。 ∴点 A(1,3)。 设过 A(1,3)、B(-1,-3)两点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0)。



由此得

即 y=ax2+(1+2a)x+2-3a。 设抛物线与 x 轴两交点的横坐标为 x1、x2。

则 x1+x2=-

x1· x2=

令|x1-x2|=3。 则(x1+x2)2-4x1x2=9。

即 (-

)2-4·

=9。

整理,得

7a2-4a+1=0。

∵△=(-4)2-4× 7× 1=-12<0, ∴方程 7a2-4a+1=0 无实根。 因此过 A、B 两点的抛物线在 x 轴上截得的线段长不能等于 3。 3、(北京西城区)(本题 9 分)

已知:抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A(-1,4),其顶点的横坐标是 x1<x2),且 x12+x22=13。 (1)求此抛物线的解析式及其顶点 E 的坐标;

,与 x 轴分别交于 B(x1,0),C(x2,0)两点(其中

(2)设此抛物线与 y 轴交于点 D,点 M 是抛物线上的点,若△MBO 的面积为△DOC 面积的 解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A(-1,4), ∴a-b+c=4,即 c=4-a+b。 ①

倍,求点 M 的坐标。

∵抛物线顶点的横坐标是 ∴ 即 b=-a。 ②

∵抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴分别交于 B(x1,0),C(x2,0)两点(其中 x1<x2), ∴x1,x2 是方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个实根。

∵x1+x2=

,x1x2=

由已知 x12+x22=13, ∵(x1+x2)2-2x1x2=x12+x22

∴(

)2-

=13。



由①②③解得

经检验,a、b、c 的值使△>0,符合题意。 ∴抛物线的解析式为 y=-x2+x+6。

∵当 x=

时,y=

, )。

∴抛物线 y=-x2+x+6 的顶点 E 的坐标为(

(2)由(1)得 y=-x2+x+6,(如图,画草图帮自己分析) 令 x=0, ∴y=6,得 D(0,6)。

令 y=0, ∴-x2+x+6=0, 解得:x1=-2, x2=3。 ∴B(-2,0), C(3,0)。 设点 M 的坐标为(x,y),则点 M 到 x 轴的距离为│yM│。

∵S△MBO=

S△DOC,



·BO·│yM│=

× · OC· OD

∴ 得│yM│=6, ∴yM=± 6。 因为抛物线 y=-x2+x+6 开口向下,顶点E的坐标为( 若 yM=6, 因为 6< 解得 x1=0, x2=1。 ∴点 M 的坐标是(0,6)或(1,6)。 若 yM=-6, 则-x2+x+6=-6, ,有-x2+x+6=6, ),对称轴是直线 x=

解得 x3=-3,x4=4。 ∴点 M 的坐标是(-3,-6)或(4,-6)。 答:所求点 M 的坐标分别是(0,6),(1,6)(-3,-6),(4,-6)。 四.实战练习

1.(山西)在函数 y=

中,自变量 x 的取值范围是___________。

答案:x≥-1 且 x≠2 2.(天津)抛物线 y=x2-6x+4 的顶点坐标为____________。

答案: (3,-5) 3.(天津)若点 A(m,n)在第二象限,则点 B(|m|,-n)在: A、第一象限 答案:D B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

4.(天津)函数 y= A、全体实数 答案:B

的自变量 x 的取值范围是: C、x>0 D、x≥0

B、x≠0

5.(山西)将二次函数 y= A、y= C、y= 答案:A (x+2)2-2 (x-2)2-2

x2+x-1 化成 y=a(x+m)2+n 的形式是( (x+2)2+2 (x-2)2+2



B、y= D、y=

6.平面直角坐标系中,反比例函数 y=

的图象只可能是(



答案:B 7.图象经过点(0,-1)、点(2,3)的一次函数解析式是( A、y=-2x+1 答案:D 8.(天津)(本题 8 分) 已知:在 RtΔABC 中,∠B=90° ,BC=4cm, AB=8cm,D、E、F 分别为 AB、AC、BC 边上的中点。若 P 为 AB 边上的 一个动点,PQ//BC,且交 AC 于点 Q,以 PQ 为一边,在点 A 的异侧作正方形 PQMN,记正方形 PQMN 与矩形 EDBF 的公 共部分的面积为 y。 (1)如图,当 AP=3cm 时,求 y 的值; B、y=-2x-1 C、y= x-1 D、y=2x-1 )

(2)设 AP=xcm, 试用含 x 的代数式表示 y(cm2); (3)当 y=2cm2 时,试确定点 P 的位置。 答案:本题满分 8 分

解(1)∵ PQ//BC,



=



∵BC=4,AB=8,AP=3,

∴PQ=

1分

∵ D 为 AB 的中点,

∴ AD=

AB=4,PD=AD-AP=1

∵ PQMN 为正方形,DN=PN-PD=PQ-PD=



∴ y=MN· DN=

× =

(cm2)。

2分

(2)∵AP=x, 由

=

得:PQ=

x=PN

∴ AN=AP+PN=

x。 时,y=0;

当 AN<AD 时,有 0≤x<

当 AP<AD<AN 时,有

≤x<4 时,y=

(

x-4)=

x2-2x;

当 AD≤AP 且 AN<AB 时,有 4≤x<

时,y=2× x=x;

当 AP≤AB<AN 时,有

≤x≤8 时,y=2(8-x)=-2x+16。

6分

(3)将 y=2 代入 y=-2x+16( 即 P 点距 A 点 7cm;

≤x≤8)时,得 x=7,

将 y=2 代入 y=

x2-2x(

≤x<4)时,得 x=



即 P 点距 A 点

cm。


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